数学文化融入高师数学课堂教学的案例与分析*

彭维玲，历建兰

(通化师范学院 数学学院，吉林 通化134002)

数学文化融入高师数学课堂教学的案例与分析*

彭维玲，历建兰

(通化师范学院 数学学院，吉林 通化134002)

在数学文化观下，高师数学课堂教学除了遵循数学规律传授数学知识、数学思想和数学方法外，更应挖掘其文化价值．文章在给出数学文化内涵的基础上，结合课堂教学实际，列举了数学分析、高等代数和常微分方程中数学文化的教学案例，并且进行了分析，这些对于深化高师数学课堂教学改革，培养学生的数学素养有一定的帮助．

数学文化；数学分析；高等代数

1 数学文化的内涵

关于“数学文化”一词的内涵，不同学者从不同的角度给出了不同的定义，美国数学家怀尔德从人类学的角度提出了“数学是一种文化体系”[1]；我国学者黄秦安从系统论的角度提出了“数学文化是以数学科学体系为核心，由数学的精神、思想、知识、方法、技术、理论等组成的一个动态系统”[2]．郑毓信从表现形式的角度提出了“数学概念存在于文化之中，数学真理存在于个人降生其内的文化传统之中”[3].而顾沛从广义和狭义两个方面给出了数学文化的内涵，“狭义是指数学的精神、思想、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展；广义的解释是除这些以外，还包含数学史、数学美、数学与人文的交叉、数学与各种文化的关系”[4].

高师数学课程教学除了传授数学知识以外，更为重要的是培养能力，提高数学素养，以胜任将来的中小学数学教学．然而，我国现行的大多数数学教材严格遵循定义——定理——例题——习题的思路，将数学符号一一展示出来，将数学的抽象性和逻辑的严谨性表现得淋漓尽致，但缺少数学文化内容的渗透，使学生失去了了解这部分知识来龙去脉的机会．这样的授课模式对培养高素质的数学教师是十分不利的.所以张奠宙提出“数学文化必须走进课堂，在实际数学教学中使得学生在学习数学的过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣．体会数学的文化品味和世俗的人情味”．

2 数学分析中数学文化的教学案例及分析

数学分析中含有丰富多彩的数学思想、方法和技巧，在教学中要开发好教学案例，激发学生探索的好奇心，深刻领会数学的本质，凸显数学文化的教育功能．

2.1 有限与无限的问题

初等数学更多地是以有限为手段讨论问题，而数学分析则更多地是在无限的领域里讨论问题，如极限、导数和定积分，在授课时，可以先引入芝诺悖论的阿基里斯追不上乌龟的故事．阿基里斯是古希腊传说中跑得最快的神，而乌龟是爬得最慢的动物，芝诺说，如果先让乌龟爬出一段距离后，那么阿基里斯永远也追不上乌龟．这当然是荒谬的，产生悖论的原因在于无限长度的和有可能是有限的，无限段时间的和也可能是有限的．表面上看起来，阿基里斯要追上乌龟需要跑无穷段路，由于是无穷段，所以感觉永远也追不上．实际上这无穷段路的和却是有限的，所以只要阿基里斯跑完这段有限的路程后，其实已经追上乌龟了．

数学中的有限和无限是进行对立与统一、量变与质变等辩证唯物主义教学的好案例，有助于培养学生的世界观和方法论．数学的思想方法往往隐藏在数学的概念、定理之中，通过数学文化的学习，可以加深学生对数学本质的认识，把数学知识提升到观点、思想和精神的层面上．

2.2 历史上的三次数学危机

著名数学家陈省身曾说过“了解历史的变化是了解这门科学的一个步骤”．数学发展史上共有三次数学危机，每一次都是数学的基本部分受到质疑，实际上这三次危机引发了三次思想解放，推动了数学科学的发展．第一次数学危机发生在公元前5世纪，危机来源是毕达哥拉斯学派内部提出的，当时认为所有的数都能表示为整数之比，但突然发现有的数，如π和e不能表示成两个整数之比，引起了学者们的恐慌，其实质是π和e是无理数，全体整数之比构成的是有理数系，随着有理数系的扩充，问题得到了完美的解决；第二次数学危机发生在十七世纪牛顿创立微积分以后，贝克莱大主教对牛顿的“无穷小量”的说法提出质疑，其实质是微积分的概念中用到了极限，但由于当时极限理论的基础还没有建立，有限与无限之间可经任意通行造成的，直到十九世纪，建立了严格的极限理论，问题才得以解决；到了十九世纪末，集合论出现了，这给数学家带来了曙光，甚至庞加莱在1900年的巴黎数学家大会上宣称：“现在我们可以说，完全的严格性已经达到了”，但是在1902年罗素发现了悖论，引发了第三次数学危机，其实质是“其本身成员的所有集合的集合”这样界定集合的说法犯了自我指谓、恶性循环的错误，人们对康托的集合论进行了改造，提出了公理集合论，诞生了“数学基础”学科，这样数理逻辑和数学基础就成为了整个数学大厦的基石．

从历史上的三次数学危机可以看出，每次都有典型的悖论作为代表，解决这些悖论不仅没有导致数学大厦的坍塌，反而推动了数学向前发展，这表明数学文化具有很强的传递性和继承性．高师院校的学生已经经历12年的数学学习，但是对数学的宏观认识和总体把握还不是很强，关于历史上的三次数学危机的介绍，可以涉及数系、微积分以及集合论的发展过程，提高学生对数学的宏观认识．

3 高等代数中数学文化的教学案例及分析

高等代数具有独特的理论体系和思想方法，对其中的数学典故和思想方法进行讨论，能够提高学生的学习兴趣．

3.1 韩信点兵的故事与带余除法

带余除法是高等代数中多项式整除理论的基础，在讲解带余除法之前，可以从韩信点兵的故事说起，韩信是汉高祖刘邦的大将，屡建战功，他阅兵时，先让一队士兵5人一行排队从阅兵台前面走过，他记下最后一行士兵的人数(1人)；再让这队士兵6人一行排队从阅兵台前面走过，他记下最后一行士兵的人数(5人)；再让这队士兵7人一行排队从阅兵台前面走过，他记下最后一行士兵的人数(4人)；再让这队士兵11人一行排队从阅兵台前面走过，他记下最后一行士兵的人数(10人)，然后韩信凭这些数求得这队士兵的总人数．这里给出的条件是作除法时的余数，由此如何求出士兵的人数？可以让全班学生进行讨论，发表自己的看法，教师可以进行适当的引导和提醒，然后在分析的基础上，让学生提出解决问题的办法，讲解带余除法的具体内容，讲完以后再让学生求解这个问题．

这种教学法被称之为问题驱动教学法，它不像传统的教学那样先学习理论知识再解决问题，它是充分发挥学生的主体作用、以问题作为学习的起点，以问题来规划学习内容，让学生围绕问题展开讨论，寻求解决方案，在此过程中教师是问题的提出者、课程的设计者以及效果的评估者；这样可以提高学生学习的主动性，提高学生的参与程度，容易激起学生的求知欲，活跃学生的思维．对于启发学生学习兴趣，培养创造性思维是非常有效的．因此在数学文化观指导下的数学教学有一个更为广阔的空间，它可以培养学生发现和创新的能力．

3.2 初等变换与类比法

矩阵是高等代数的重要研究对象，矩阵初等变换是高等代数的一种重要的计算工具，而初等变换包括行初等变换和列初等变换，但教材中只介绍了行初等变换的方法，并说明了行初等变换的应用. 在教学中，要鼓励学生利用类比法，积极探索列初等变换的方法，然后研究列初等变换定理的应用．包括列初等变换定理：矩阵的列初等变换不改变列向量组的线性相关性和线性组合关系，利用列初等变换定理能解决以下五个问题：讨论向量组的线性关系；求向量组的极大线性无关组；求任一向量在任意一个基下的坐标；判断两个向量组的等价；求从一个基到另一个基的过渡矩阵等．

这样在传授数学知识的同时，传授了类比法，即根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推出它们在其他方面也可能相似或相同的一种推理方法．类比的过程是由已知推向未知的过程，使用它可以达到事半功倍的效果，因此它不仅是获得新思路、新发现的一种手段，也是提高创新能力的一种途径．

4 常微分方程中数学文化的教学案例及分析

常微分方程的产生和发展源于实际问题的需要，同时它也成为解决实际问题的有力工具．

4.1 海王星的发现

海王星是太阳系最远的行星，它是1846年在数学计算的基础上被发现的．十九世纪，人们在观测天王星时，发现它的运行总是偏离轨道，数学家贝塞尔和一些天文学家猜想，在天王星的外侧一定还存在着一颗行星干扰着天王星的运行．1845年，法国数学家勒威耶利用微分方程，计算出这颗新行星的运行轨道．柏林天文台的工作人员收到了勒威耶的信，当夜按照勒威耶指定的位置观察，很快就找到一颗以前没有见过的星，即太阳系的第八颗大行星——海王星．

海王星的发现是数学事先计算出来的，这是数学理性思维的一大胜利．

4.2 传染病模型

随着人类文明的进步和医疗水平的提高，很多传染性疾病得到了有效的控制，但是还有一些如艾滋病毒等至今仍在蔓延.2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大地危害．建立传染病的数学模型，描述传染病的传播过程、分析传染病的变化规律，控制传染病的蔓延途径等变得尤为重要．这个问题可以通过SI模型、SIS模型、SIR模型来刻画．

这是微分方程造福人类的生动一例．类似例子还有很多，比如我国人口发展预测、马王堆一号墓年代的确定、经济增长模型和悬链线方程在桥梁建筑中的应用等等，让学生深切感受到微分方程的应用之广、威力之大，进而确立了学以致用的理念，增强了勤奋学习报效国家的信心和决心．

5 结束语

数学文化融入高师数学课堂教学，不仅可以让学生了解数学发展简史，开阔视野；而且可以拓宽学生对数学的认识，引起兴趣；更主要的是可以感悟数学的思想方法，提高学生的数学素养；最终掌握以数学的理性思维观察世界的方法．正如郑毓信所说“如果您的教学始终只是停留于知识与技能的层面，您就只能算是一个‘教书匠’；如果您的教学能够很好地体现数学的思维，您就是一个‘智者’，您给学生带来了真正的智慧；如果您的教学能给学生无形的文化熏陶，那您是一个真正的大师，您的生命也因此而充满了真正的价值”[5].

[1]Smorynski C.数学——一种文化体系[J].数学译林,1988,7(3):247.

[2]黄秦安.数学文化观念下的数学素质教育[J].数学教育学报,2001(8):12-17.

[3]郑毓信,王宪昌,蔡仲.数学文化学漫谈数学文化[M].成都:四川教育出版社,2001.

[4]顾沛.数学文化[M].北京:高等教育出版社,2008.

[5]郑毓信.漫谈数学文化[J].小学教学(数学版),2008(3):37-39.

(责任编辑:陈衍峰)

Case and Analysis of Mathematical Culture Blending into Mathematics Classroom Teaching in Normal Universities

PENG Wei-ling,LI Jian-lan

(CollegeofMathematics,TonghuaNormalUniversity,Tonghua,Jilin134002,China)

In view of mathematical culture,mathematics classroom teaching in addition to follow the mathematical laws teaches mathematical knowledge,mathematical thought and mathematical methods,but should explore cultural value.In this paper,based on the connotation of mathematical culture,combining with classroom teaching practice,gives the teaching cases of mathematical culture of the mathematical analysis,higher algebra and ordinary differential equation,and analyzes these for deepening of the reform of mathematical classroom teaching in normal universities,the training of students' mathematical literacy have some help.

mathematical culture;mathematical analysis;higher algebra

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2015.04.026

2014-11-20

2012年吉林省高等教育教学改革课题“数学文化融入高师数学课程教学的研究与实践”；吉林省教育科学“十二五”规划课题“数学文化融入中学数学课堂教学的研究与实践”(GH13522)

彭维玲,女,吉林抚松人,教授．

G642

A

1008-7974(2015)02-0077-03