范文武
根据方差的定义可以推导如下公式:
D(ξ)=E(ξ-E(ξ))2=E(ξ2-2ξE(ξ)+(E(ξ))2)=E(ξ2)-2(E(ξ))2+(E(ξ))2=E(ξ2)-(E(ξ))2.因为D(ξ)≥0,所以E(ξ2)≥(E(ξ))2.在求含多元变量最值的题目中,可以根据题目结构特征,巧妙的构造离散型随机变量的概率分布列,利用E(ξ2)≥(E(ξ))2解决问题.
例1 已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为
______.
解 构造随机变量ξ的分布列为
ξa2b3c
P131313
所以E(ξ)=a+2b+3c3,E(ξ2)=a2+4b2+9c23.根据E(ξ2)≥(E(ξ))2,所以a2+42+9c23≥(a+2b+3c3)2,整理可得a2+4b2+9c2≥12,即a2+4b2+9c2的最小值为12.
例2 设x,y是正实数,且x+y=1,求x2x+2+y2y+1的最小值.
解 因为x+y=1,所以x+24+y+14=1.构造随机变量ξ的分布列为
ξxx+2yy+1
Px+24y+14
所以E(ξ)=x4+y4=14,E(ξ2)=14(x2x+2+y2y+1),根据E(ξ2)≥(E(ξ))2,所以14(x2x+2+y2y+1)≥116,整理可得
x2x+2+y2y+1≥14,即x2x+2+y2y+1的最小值为14.
例3 已知x>0,y>0,且x+y=1,求
2x+1+2y+1的最大值.
解 构造随机变量ξ的分布列为
ξ
2x+12y+1
P1212
所以E(ξ)=12(2x+1+2y+1),E(ξ2)=12(2x+1+2y+1)=2.根据E(ξ2)≥(E(ξ))2,所以2≥14(2x+1+2y+1),整理可得2x+1+2y+1≤22,即2x+1+2y+1的最大值为22.
例4 设不等式
x+y≤ax+y对任意正实数x,y恒成立,求a的取值范围.
解 构造随机变量ξ的分布列为
ξxyP1212
所以E(ξ)=12(x+y),E(ξ2)=12(x+y).根据E(ξ2)≥(E(ξ))2,所以12(x+y)≥14(x+y)2,整理可得x+yx+y≤2,即a的取值范围[2,+∞).
例5 已知x2+y2=16,求证:x+y≤42.
证明 显然x=0时,y=4,满足x+y≤42;y=0时,x=4,满足x+y≤42.
当x≠0且y≠0时,由x2+y2=16,变形得
x216+y216=1
,所以设x216与y216为概率.构造随机变量ξ的分布列为
ξ
1x1y
Px216y216
E(ξ)=116(x+y),E(ξ2)=18.根据E(ξ2)≥(E(ξ))2,所以18≥1256(x+y)2,整理可得x+y≤42.
例6 若正数a,b,c满足a+b+c=1,求13a+1+
13b+2+13c+2
的最小值.
证明 由(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)9=1,所以设3a+29、3b+29与3c+29为概率.构造随机变量ξ的分布列为
ξ13a+213b+213c+2
P3a+293b+293c+29
所以E(ξ)=13,E(ξ2)=19(13a+2+13b+2+13c+2).
根据E(ξ2)≥(E(ξ))2,
所以19(13a+2+13b+2+13c+2)≥19,
整理可得13a+2+13b+2+13c+2≥1.
练习 1.已知a,b∈R,求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ac.
2.若4x+1y=4,x>0,y>0,则x+2y的最小值为______.