几类常见绝对值函数的图像、性质及其应用

☉浙江省衢州第二中学 傅建红

几类常见绝对值函数的图像、性质及其应用

☉浙江省衢州第二中学 傅建红

绝对值函数是高中数学中的重要函数，同时也是令许多学生感到困惑、迷茫和难以捉摸的函数.解决此类函数的常规方法是分类讨论（将其转化为不含绝对值的函数），但单纯的分类讨论往往难以绕开计算烦琐带来的弊端（尤其是当函数中含有参数时）.能否有效回避讨论？或不进行全面讨论？本文剖析高中数学中几类常见绝对值函数的图像与性质，并就其对称性与最值问题例说其应用，供参考.

一、图像与性质

说明：类型一、三所述函数的图像可由翻折得到，而类型二所述函数的图像则必须通过分类讨论获得.由于上述性质均可通过观察图像获知，故证明从略.

二、性质的应用

例1（2008年山东卷（理））设函数f（x）＝｜x+1｜+｜x-a｜的图像关于直线x＝1对称，则a的值为（ ）.

评注：例1利用了当a＝b时，函数f（x）＝a｜x-p｜+b｜x-q｜为轴对称函数的性质；例2则利用了当a＝-b时为中心对称函数的性质.显然，一旦了解性质，此类问题即可迎刃而解.

例3（2015年重庆卷（理））若函数f（x）＝｜x+1｜+2｜x-a｜的最小值为5，则实数a＝_________.

解析：由类型二所述函数的性质可知，函数f（x）在R上的最小值为min{f（-1），f（a）}，易得f（-1）＝2｜-1-a｜＝2｜a+1｜，f（a）＝｜a+1｜，显然f（a）≤f（-1），所以｜a+1｜＝5，所以a＝6或-4.

评注：解决类型二函数的常规方法是去绝对值，即取零点、分段讨论.但若了解此函数的性质，即可回避讨论，使问题快速获解.

例4（2015年湖北卷（文））a为实数，函数f（x）＝｜x2-ax｜在区间［0，1］上的最大值记为g（a）.当a＝_________时，g（a）的值最小.

评注：本题的常规解法是对对称轴在定义区间的内外进行分类讨论，但情形相对复杂.而若了解类型三所述函数的性质，则可快刀斩乱麻（回避烦琐讨论），使问题的解决干净利落.

综上可知，上述性质在解决相应函数的对称与最值问题时，可化难为易、变繁为简，能有效地回避讨论.其理解是直观形象的，其操作是简单易行的，其效果也是立竿见影的.

1.潘佩.绝对值函数的常见类型及其求解策略［J］.高中数学教与学，2015（3）.F