把握核心本质 万变不离其宗——菱形视角下圆锥曲线问题的解答

☉安徽省宣城中学 陈光明

把握核心本质 万变不离其宗
——菱形视角下圆锥曲线问题的解答

☉安徽省宣城中学 陈光明

圆锥曲线问题几何关系错综复杂，常与菱形、平行四边形等几何图形交织在一起，且运算烦琐，因此针对不同的问题，采用相应的解题策略、将问题进行转化变形，显得至关重要.本文以以菱形为背景的圆锥曲线模拟题为引例，就相应的解题策略给予说明.

一、把握平面几何特征，直接代数化

菱形是特殊的平面几何图形之一，对于以菱形为背景的试题，解题时要善于挖掘菱形的相关性质，如菱形是四条边都相等的平行四边形；对角线互相垂直且平分；对角线平分菱形面积等.

（1）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；

（2）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.

因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分.所以可设A（1，m）.代入椭圆方程，得即m=.所以菱形OABC的面积是

（2）假设四边形OABC为菱形.

因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设直线AC的方程为y=kx+m（k≠0，m≠0）.

设A（x1，y1），C（x2，y2），则.所以AC的中点为M

因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为-1.因为k·（ 1 ）≠-1，所以AC与OB不垂直.

4k-4k

所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾.

所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形.

评析：本题解答中充分把握菱形的几何性质：对角线垂直且平分，以直线AC为主线，设出直线方程、交点坐标，将几何特征代数化，进而解决问题.部分同学在解题中，因对条件的理解不到位，多余地引入了点B的坐标来表示OB的斜率，使问题复杂化，造成解题半途而废.

二、利用几何方法恰当转化，间接代数化

在问题探究过程中，注意综合运用合情推理与演绎推理、综合法与分析法探索问题解决的思路，感悟数形结合思想、化归与转化思想在分析和解决这类问题中的作用.

（1）求椭圆M的方程.

（2）是否存在菱形ABCD，同时满足下列三个条件：①点A在直线y=2上；②点B、C、D在椭圆M上；③直线BD的斜率等于1.如果存在，求出A点的坐标；如果不存在，说明理由.

由Δ=（6m）2-16（3m2-3）＞0，解得-2＜m＜2.所以BD的中点为

由BD垂直AC，得直线AC的斜率为-1.直线AC的方程为进而得点又Q为AC的中点，所以.而点C在椭圆上，故满足椭圆方程，代入整理得7m2-40m+52=0，解得m=2或与-2＜m＜2矛盾.

故不存在满足条件的菱形ABCD.

评析：在假设所求菱形存在的条件下，利用菱形的几何特殊性，将问题转化为判断点C是否在椭圆上，结合判别式得出结论.

三、多角度分析，优化解题思维

圆锥曲线问题因计算烦琐，使部分同学望而却步.计算量大是事实，但在解题中如果采取恰当的策略，可使原本复杂的过程有效简化.注意下笔前多从不同角度分析问题，并预测多种途径的繁简程度，以优化解题思路.

例3 同例2.

解法2：（1）同解法1.

（2）设线段BD的中点为Q（x0，y0），点A（t，2），B（x1，y1），D（x2，y2）.

由Δ=（2m）2-16（m2-3）＞0，解得-2＜m＜2.

因为四边形ABCD为菱形，所以Q是AC的中点.

因为点C在椭圆M上，所以yC≥-1.这与yC＜-1矛盾.所以不存在满足题意的菱形ABCD.

评析：本解法中，在得出点C的坐标后，不需代入曲线方程，结合判别式，将点C的纵坐标与-b进行比较，可直接判断菱形ABCD是否存在，从而使计算量减少.

四、拓展思考

菱形是特殊的平行四边形，可将条件一般化，即将菱形回归于平行四边形，进而锻炼我们分析问题、解决问题的能力.

例4 设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆E上，且点P和F关于点

1）对称.

（1）求椭圆E的方程.

（2）过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A、B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问：是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.

（2）由题意可知直线l、直线PQ的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-1），直线PQ的方程为

由题意可知Δ＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=

若四边形PABQ的对角线互相平分，则PB与AQ的中点重合，所以即x1-x2=1-x3，故（x1+x2）2-.所以解得.所以直线l为3x-4y-3=0时，四边形PABQ的对角线互相平分.

结论：存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分.

评析：对角线互相平分的四边形是平行四边形，进而将问题转化为判断四边形PABQ是否为平行四边形.本题的求解中，利用了平行四边形的对角线的中点重合的性质.另外由于平行四边形的对边平行且相等，已知边PQ与AB平行，故令|PQ|=|AB|亦可将问题解决.A