特殊走向一般，一般包含特殊——“整式乘法”复习课教学与思考

☉江苏省无锡市南长实验中学 王宇峰

特殊走向一般，一般包含特殊
——“整式乘法”复习课教学与思考

☉江苏省无锡市南长实验中学 王宇峰

整式乘除与因式分解在数式运算领域既是“双基”（基础知识、基本技能），同时又是发展学生数学思想的教学功能，特别是贯穿全章的“特殊与一般”的数学思想方法．基于上述理解，我们在该章复习时，特别增加了一节复习课时，专题引导学生关注和辨析“特殊与一般”的数学思想方法，取得了较好的教学效果．本文记录该课的教学流程，并跟进阐释相关教学立意，提供研讨．

一、复习课教学流程

活动一：客从何处来——感受归纳推理思想

教材再读：幂的运算性质从何而来？

（PPT展示同底数幂的运算性质）

演算：25×22=______；x3·x2=______；4m·4n=______.

归纳：am·an=______（m，n为正整数）.

证明：…….

（PPT展示幂的乘方性质）

演算：（42）3=42×42×42=46；（x2）3=x2×x2×x2=x6；（am）3=am× am×am=a3m；….

归纳：（am）n=amn（m，n为正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘．

证明：…….

（PPT展示积的乘方性质）

演算：（ab）2=（ab）·（ab）=（a·a）·（b·b）=a2b2；（ab）3=（ab）·（ab）·（ab）=（a·a·a）·（b·b·b）=a3b3．

归纳：（ab）n=anbn（n为正整数）.

证明：…….

（PPT展示两个乘法公式从何而来）

平方差公式：

一组计算：（1）（x+1）（x-1）=_______；（2）（y+2）（y-2）=__________；（3）（a+3）（a-3）=_______；（4）（2m+ 1）（2m-1）=__________．

归纳并证明平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.

完全平方公式：

一组计算：（1）（x+1）（x+1）=_________；（2）（y+2）2= _______；（3）（a-3）2=________；（4）

归纳并证明完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2；（a-b）2= a2-2ab+b2.

一组计算：

（1）（a-2）（a-3）=_______，（b+4）（b-1）=________；

（2）（y-2）（y+4）=________，（y-9）（y-3）=_______.

归纳“新公式”：…….

设计意图：PPT展示上述教材内容时，一方面是复习基本概念、性质及公式，另一方面还引导学生从它们出现的方式进行同类识别，发现它们都是由特例出发归纳猜想之后，再进行严格的推理证明，特别是让学生感受本章中从特殊到一般的归纳思想．

活动二：字母代表谁——积累整体思想方法

（PPT展示学生此前已做过的一组计算题）

一组计算：（1）（xy+1）（xy-1）=______；（2）（2a-3b）（3b+ 2a）=_______；（3）（-2b-5）（2b-5）=_______；（3）（2a+5b）2= ________；（4）（4x-3y）2=_________；（5）（-2m-1）2= ______．

教师：这组计算同学们都做好了，说说你们是如何快速计算的？

学生：运用公式．

教师：请分别指出哪个项相当于公式中的a、b呢？

预设意图：让学生指出单项式相当于公式中的字母a、b，让他们体会整体思想．

（PPT展示学生此前已做过的一组分解因式题）

分解因式：（1）（2x+y）2-（x+2y）2=________；（2）4+ 12（a-b）+9（a-b）2=_________．

教师：在因式分解时，你是如何确定公式中的字母a、b呢？

学生：在（1）中2x+y、x+2y这两个整体分别对应着a、b；在（2）中2、3（a-b）这两个式子对应着完全平方公式中的a、b．

预设意图：通过这组因式分解的回顾，让学生感受到一个多项式也可以是一个整体，对应着公式中的a、b．由此加深对字母代表数的认识，即性质、公式中的字母能代表什么，整体思考问题的着眼点．

活动三：敢问路何方

拓展思考1：从完全平方公式出发，继续思考如何展开（a+b）3，（a+b）4，（a+b）5，……应用多项式与多项式相乘展开后有无特别之处呢？（PPT简介顺便推介数学史话“杨辉三角”）

拓展思考2：某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有三种方案：

方案A：第一次提价m%，第二次提价n%；

方案B：第一次提价n%，第二次提价m%；

其中m、n是不相等的正数．三种方案哪种提价最多？

讲评预设：根据教学经验，不少学生对这样抽象晦涩的数学问题难以获得思路，可以安排如下的特例引路，设原来定价为200元.

方案A：第一次提价10%，第二次提价20%；

方案B：第一次提价20%，第二次提价10%；

方案C：第一、二次均提价15%．

三种方案中哪种提价最多？

在此基础上，先让学生获得明确的解题方向，再从特例过渡到一般，感受数学思维的彻底推理与理性推理的力量．

活动四：课堂小结

问题1：举例说说你对从特殊到一般的数学思想方法的理解.

问题2：请到教材上再找出两个体现特殊与一般思想方法的例习题，并说说你选择该题的理由？

二、进一步的思考

以下将围绕上述课例就特殊到一般的数学思想方法及其教学给出进一步的思考．

1.数学思想是默会知识，但需要恰当的知识载体呈现，并努力将其显性化

众所周知，数学是训练思维，促进学生学会数学地思考，并在此过程中感悟和体会数学思想方法．然而数学思想是一种默会知识，它不宜直接告知式地传递或讲授，需要恰当的知识载体，并努力将其显性化．像上文中课例中的大量例习题这样，既是学生熟悉的教材例习题，又表征着它们的共性：特殊与一般之间的关系．开放这样的复习课既是复习知识、巩固技能，同时又通过这样的方式让一部分优秀的学生能超越“双基”，并继续向上挑战，理解数学知识和技能背后的数学思想方法，包括解决问题的着眼点，并初步体会特殊与一般之间的辩证关系．

2.数学思想的教学重在平时，但不宜过分标签化地解读与推介

虽然我们在这个课例中旗帜鲜明地提出要重视数学思想方法的教学，并作为本课的主线之一，然而数学思想是隐会知识，它的教学更重要的应该是在平时的教学中渗透，不宜过分标签化地解读与推介．此外，教师还要注意区别数学基本思想与解题过程中的方法或策略，关于数学基本思想推荐阅读史宁中教授的系列著作《数学思想概论》（第1～5辑），史教授在该书中对抽象、推理、模型进行了深入浅出的讲解，比较适合一线教师阅读；而关于解题过程中的具体的数学方法或策略可以阅读罗增儒教授的《数学解题学引论》或相关文献，这样会对数学基本思想和方法有深刻的认识．再从数学思维训练的角度，还可推荐郑毓信教授关于数学思维的相关著作与文献．

三、写在最后

《义务教育数学课程标准》要求我们要重视“双基”，发展“四基”，作为后“两基”的数学基本思想的渗透、基本活动经验的积累，需要我们认真研习教材，深刻理解教学内容．本文提供的课例专题聚焦特殊与一般之间的思想方法，想来这既是具体的解题方法，也应该属于史宁中教授所指出基本数学思想中的归纳推理吧．

1.汤志良．步步有据：推导幂的运算性质——李庾南老师“幂的运算性质”课例赏析［J］．中学数学（下），2015（5）.

2.雍亚波．运算更高效，题型更丰富，思考更深入——以“乘法公式的再认识”习题课教学为例［J］．中学数学（下），2015（11）．

3.刘东升．关联性：一个值得重视的研究领域［J］．中学数学（下），2013（12）.

4.夏建明．一类值得重视的代数运算应用题［J］．中学数学（下），2015（11）．

5.史宁中．数学思想概论（第1～5辑）［M］．长春：东北师范大学出版社，2008、2009、2009、2010、2015．H