刍议向量在解决高中数学问题中的应用

李银

内蒙古赤峰市克什克腾旗职业技术教育中心学校

为了更好的掌握和理解解题的技巧，在高中数学的学习中可以利用多种灵活的解题方式进行分析，而向量则是其中一种非常重要的灵活解题方式，在高中数学的许多内容中都可以应用。如不等式、三角函数、线性规划、最值、离心率等方面。因此我们可以通过具体的问题来探究向量在解决高中数学问题方面的应用。

一、向量的概述

1.向量的概念

在高中数学中，通常把既有大小又有方向的量总结称为向量，向量和普通的只有大小的数量不同，向量最为重要的特征就是其不仅有大小的数值还具有方向，通常情况下向量是用一条线段来表示，线段的长度就是向量的大小，也称作向量的模。

2.高中数学向量教学的要求

（1）要通过向量背景的学习来了解平行向量以及相等向量的含义以及可以用几何来正确的表示向量。（2）要通过具体的例子来懂得如何计算向量的加减法和乘除法，并充分的掌握其几何意义，同时通过向量的共线含义，可以解答线性运算的问题。（3）要简单的理解向量的基本定义，通过平面向量的正交分解的表示，来从坐标中绘制平面向量的加减和乘除运算。（4）通过物理学中有关功的例子，来掌握平面向量的数量积和投影之间的关系，并能够进行数量积的运算。

3.学生向量知识学习的必要性

首先向量的最早应用是在物理学中，物理学和数学尤其独特的共通行，通过向量的学习不仅可以解决数学中的问题还能解决物理问题，如加速度、力、位移等物理问题。再者空间向量的深入学习对数学平立体几何的发展具有重要的作用，可以利用向量将空间几何转化成可以理解的代数形式。其次向量具有几何和代数的双重属性，学生可以通过向量的学习来很好的掌握几何和代数之间的联系，从而为学生解题提供重要的工具支撑。

二、向量在解决高中数学问题中的应用

1.向量在解决几何问题上的应用

高中数学的整体分支包括几何知识和代数学习，几何知识的学习和解答需要学生具备丰富的空间想象能力，在几何问题中多为证明问题，需要学生通过一步又一步的分析和运算来证明题中需要证明的问题，因此对于高中数学的学习来说是一个非常重要的难点问题。例如我们可以从例1中进行分析：

例1：如图1所示平行四边形ABCD是正方形，BD为正方形ABCD的对角线，P为对角线BD上的一点，F为DC上一点，E为BC上一点，PECF为矩形，证明：（1）PA=EF；（2）PA⊥EF。

这道题是一道很简单的平行和垂直证明的问题，我们可以用向量来证明，具体的解题思路：（1）运用向量我们建立直角坐标系，如图2所示。（2）我们可以对点P进行坐标设置。（3）可以用点的坐标表示向量的坐标，然后进行解析证明。

证明：（1）如图2，首先建立直角坐标系，设P（t，t），0≦t≦1,在这之中，AEF的坐标分别为：（0，1）、（t，0）、（1，t），所以AP=（t，t-1），EF=（1-t，t）.

所以|AP|=t2+（t-1）2=|EF|，即PA=EF；

（2）又因为AP·EF=（t1-t）+（t-1）t=0，所以AP⊥EF.

2.向量在解决不等式问题上的应用

高中数学的不等式问题也是教学内容的重点，在解答不等式问题时如果用常规的问题进行解析，将提高解题的难度，不利于学生的理解和学习，同时也浪费了学生解题的时间，但是如果可以将向量准确的应用其中，就是一种很有效率的解题方法，我们可以从例2中来看：

例2：已知x+y+z=1，证明：x2+y2+z2≧1/3

证明：设p=（x，y，z），q=（1，1，1），则|p·q|≦|p|·|q|。

所以|x+y+z|≦x2+y2+z2·3。

由此可以得出x2+y2+z2≧1/3

所以从该例题中我们得知当遇到不等式的问题时，向量的应用可以很好的转化，运用向量假设的方法，将代数的不等式转化成向量的不等式，然后运用代入的方法将不等式代入其中。这样既可以节约学生的解题时间，又便于学生和判卷老师的理解，是解题的方式更加的灵活和方便化。

3.向量在解决三角函数问题上的应用

三角函数的学习不仅是高中教学的重点同时也是教学的难点，利用空间向量的方法可以很好的解答三角函数的问题，可以在简化解答步骤的同时，降低解题的实际难度，同时还有利于对学生发散性思维的培养。我们可以从例3中进行分析：

例3：用向量的解法，求证cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ。

证明：设（e1，e2）为平面上的正交基，m，n为平面上的向量，假设m和e1之间的夹角为α，n和e2的夹角为β，并且向量m在（e1,e2）上的坐标为（cosα,cosβ）,n的坐标为（cosβ,cosβ）；

那么|m|=|n|=1。

则 m·n=|m|·|n|·cos（α-β）=（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ.

所以此命题成立。

结语

高中数学知识的学习内容和学习难度逐渐提升，而向量则是高中数学中非常重要的知识运用，它贯穿到学生解题的方方面面，所以通过向量的深入学习来解决高中数学中的重点题型，从而使解题的思路更加灵活。

[1]朱庆华.向量在解决高中数学问题中的应用研究[J].中学生数理化（尝试创新版）,2014,(5):26.