平面薄板密度函数的反演问题

朱晓彬 吴玉海

摘 要： 本文考虑了由平面薄板质心函数反演密度函数的问题，从理论上给出了平面薄板密度函数存在性和表达式，从数值算法上给出了平面薄板密度函数近似式及其图像。运用数值仿真两个例子，说明了数值算法给出密度函数的近似式具有很高的精确性，从而为在一定条件下由质心函数推演密度函数近似表达式提供了帮助。

关键词： 密度函数 质心函数 二重积分数值算法 MATLAB

1.引言

如果已知一根非均匀的横木在各点处的密度函数值，那么根据质心的定义，由微积分知识很容易计算得到该横木的质心函数[1]。反过来，如果知道横木在区间[0，x]（？坌x∈[0，1]）上的质心坐标，即已知该横木的质心函数，那我们能否反演出它的密度函数呢？由文献2的结果可知，在一定条件下，由横木质心函数所决定的密度函数在差一个非零常数倍意义下是唯一的。进一步有如下结果：当假定整条横木在[0，1]上的质量，且已知质心函数为C（x），x∈[0，1]时，则横木密度函数为

本文要研究的是二维情况，即已知一块平面薄板的质心函数（包括质心的横坐标函数和纵坐标函数），能否由所给的质心函数来唯一确定平面薄板的二维密度函数，以及如何反演出它的二维密度函数的问题。本文结构安排如下：第二部分通过理论的推导，给出了密度函数的具体解析表达式。第三部分针对平面薄板质心函数比较复杂的情况，通过将二重积分数值算法，给出了相对简单的由平面薄板质心函数反演出密度函数的数值计算方法。第四部分通过两个实例的仿真，验证了数值算法的有效性。

2.二维薄板密度函数反演问题理论推导

再由薄板的质量在[0，1]×[0，1]上为1的假设和式（1，10）知，

定理得证。

3.平面薄板密度函数反演问题的数值算法

由定理1知，我们可以通过公式（1.2）由平面薄板质心函数计算出密度函数，但是有的时候要根据质心函数计算密度函数不是那么简单。事实上，很多情况下我们并不关心平面薄板密度函数具体的表达式，而是关心密度函数的大致走势，我们只是想知道密度函数在哪些地方取值比较大，在哪些地方比较小罢了。本节给出了在满足一定的精度下，由平面薄板质心函数反演得到平面薄板密度函数的数值算法。

形。在数值积分的时候，把每一小正方形上平面薄板密度函数的值都看成是常数，都用该正方形下方两顶点函数值的一半来代替，以此计算密度函数在每个小正方形上二重积分。考虑到为了要让迭代可以进行，首先需要定出密度函数在坐标轴上各顶点的函数值，因此我们先通过预处理得到落在坐标轴上小正方形各顶点处密度函数的取值，然后给出算法格式进行迭代，从而得到各个小正方形顶点处密度函数的值。

3.1预处理过程

用同样的方法所有落在x轴上的小正方形顶点处的薄板密度函数表达式

用同样的方法所有落在y轴上的小正方形顶点处的薄板密度函数表达式

3.2迭代过程

求得平面薄板密度函数在落在坐标轴上各小正方形顶点的函数值之后，接下来开始迭代，把二重积分写成所有小正方形上的二重积分之和，然后将每一小正方形上的积分近似地表示为被积函数在小正方形下方两顶点处值的一半乘以小正方形面积，由此可得到下面的方程：

从而有

其中i=1.2...n，j=1.2...n-1.

4.数值仿真实验

由上面的两个实例可知，在精度要求不是太高的情况下，我们的数值求解方法还是具有一定的有效性的。因此，在比较复杂的情况下，或者精度要求不高的情况下，我们可以使用上述数值算法由质心函数反演出薄板密度函数的图像。

5.研究结论与意义

本文针对平面薄板密度函数的反演问题展开讨论，从理论上进行分析推导，得出的结论是在质心的横、纵坐标函数满足一定条件，则其对应的密度函数表达式可由（1.2）给出。更进一步地从数值算法的角度进行近似计算，由此得到密度函数在各个网格上的近似值，进而得到近似密度函数的图像。综合理论和数值计算所得到的两个密度函数，我们发现近似密度函数与理论密度函数差距不是特别明显，因此得出的结论是在精度要求不高的情况下，我们完全可以用数值计算的方法得到薄板密度函数的图像，从而避免了直接用质心函数计算密度函数时繁琐的计算过程，对我们了解薄板的密度分布有很大的帮助。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析第三版上下册.高等教育出版社，2001.

[2]Charles W.Groetsh.反问题—大学生的科技活动.清华大学出版社，2007.

[3]Polya，Mathematical Methods in Science，Mathematical Association of American，Washington，1977.

[4]E.Math，The Science of Mechanics，Open Court，LaSalle，IL，1942.

[5]C.W.Groetsch，Shapes of centroids as inverse problems，PRIMUS，Vol.3，315-322，1993.

[6]卓金武.MATLAB在数学建模中的应用.北京：北京航空航天大学出版社，2011.

[7]韩中庚.数学建模方法及其应用.北京：高等教育出版社，2009.

本文为江苏大学本科生科研立项资助項目。