续挖例题现“甘泉”，双向变式求拓展

徐向清

苏科版数学教材第20页例题：如图1，△ABC≌△A′B′C′，AD，A′D′分别是对应边上的高.求证：AD=A′D′.

此处不再详细讲解教材上的解法了，值得思考的却是如何将问题向其他角度拓展.

变式1 如图2，△ABC≌△A′B′C′，AE，A′E′分别是对应边上的中线.

求证：AE=A′E′.

【思路简述】利用“SAS”证明△ABE≌△A′B′E′可获证.

变式2 如图2，如果AE，A′E′是△ABC和△A′B′C′的对应角平分线，求证：AE=A′E′.

【思路简述】利用“ASA”证明△ABE≌△A′B′E′可获证.

到此，是不是可以归纳出一个重要性质：

如果两个三角形全等，那么这两个三角形中的对应线段一定相等.

如果还不满足上面的归纳，还可以进行如下探索验证，比如，如图3，分别在BC，B′C′边上取一点M，M′，使BM=B′M′，再连接AM，A′M′，求证：AM=A′M′.

【思路简述】利用“SAS”证明△ABM≌△A′B′M′可获证.

似乎已得到很多相关的结论，深入追问、成果扩大是数学人的兴趣，让我们再把问题逆向思考，让成果扩大吧！

逆向思考1 如图1，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的高线，且AD=A′D′.求证：△ABC≌△A′B′C′.

【思路简述】利用“HL”先证明△ABD≌△A′B′D′可得∠B=∠B′，同理可证得∠C=∠C′，从而利用“AAS”证明△ABC≌△A′B′C′.当然证明路径不唯一，同学们还可思考其他的证明方法.

逆向思考2 如图2，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，AE、A′E′分别是BC，B′C′边上的中线，且AE=A′E′.求证：△ABC≌△A′B′C′.

我想，最后这个“逆向思考2”是很有挑战意义的，就留给有兴趣的同学自己完成吧！

（作者单位：江苏省南通市易家桥中学）