尺规作图：2015年中考强势归来

储秀梅

2015年是执行国家《义务教育数学课程标准（2011年版）》的首次中考，各地严格落实“课标”对尺规作图的要求，出现了很多尺规作图考题，特别是以首都北京为首的中考数学卷更是在关键位置设计把关题，请看：

例1 （2015年北京，填空题把关题）阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

尺规作图：作一条线段的垂直平分线.

已知：线段AB.

小芸的作法如下：

如图，

（1） 分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；

（2） 作直线CD.

老师说：“小芸的作法正确.”

请回答：小芸的作图依据是_________

_________________.

【讲解】本题主要考查尺规作图的依据.由作图过程可知点C和点D都在线段AB的垂直平分线上，而已知直线上的两个点，这条直线就唯一被确定了.故答案为“到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线”.

【点评】这里使用了学生作图的步骤和示意图，要求回答作图依据，体现了数学追求理性精神的需要，不只满足于会操作，而要追问每一步操作背后的依据，是一道很有数学味的考题，值得同学们学习.

不仅北京卷如此，再看一道新考题：

例2 （2015·浙江嘉兴）数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q.”分别作出了下列四个图形，其中作法错误的是（ ）.

【讲解】选项A，根据作法无法判定PQ⊥l；选项B，以P为圆心、大于P到直线l的距离的长为半径画弧，交直线l于两点，再以两点为圆心，大于它们距离一半的长为半径画弧，得出其交点，进而作出判断；选项C，根据直径所对的圆周角等于90°作出判断；选项D，根据全等三角形的判定和性质即可作出判断.故选A.

【点评】此题主要考查了过直线外以及过直线上一点作已知直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解题关键.

最后，我们再提供一道与角平分线相关的练习，帮助同学们巩固.

小试牛刀

数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：

作法：①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE.

②分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.

③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线.

小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下：

步骤：①利用三角板上的刻度，在OA和OB上分别截取OM、ON，使OM=ON.

②分别过M、N作OM、ON的垂线，交于点P.

③作射线OP，则OP为∠AOB的平分线.

小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线.

根据以上情境，解决下列问题：

①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是_________.

②小聪的作法正确吗？请说明理由.

③请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法.（要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明）

【答案】（1） 李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法SSS，故答案为SSS.

（2）解：小聪的作法正确.

理由：∵PM⊥OM， PN⊥ON，

∴∠OMP=∠ONP=90°，

在Rt△OMP和Rt△ONP中，

∵OP=OP，OM=ON，

∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），

∴∠MOP=∠NOP，

∴OP平分∠AOB.

（3） 解：如下图所示.

步骤：①利用刻度尺在OA、OB上分别截取OG=OH.

②连接GH，利用刻度尺作出GH的中点Q.

③作射线OQ，则OQ为∠AOB的平分线.

（作者单位：江苏省海安县李堡镇初级中学）