“矩阵与变换”考点盘点

“矩阵与变换”内容不多，却在高考中占“一席之地”.那么，在高考中涉及这个内容的考点有哪些呢？就让本文来告诉你！

考点一、矩阵的相关概念

例1 设矩阵M=x-11

0q-1，N=

21-p

y2+y2，若M=N，求x，y，p，q.

分析：题中涉及x，y，p，q四个未知量，可根据M=N列出4个方程，解方程组求值即可.

解：因为M=x-11

0q-1，

N=21-p

y2+y2，且M=N，

所以x-1=2

y2+y=0

1-p=1

q-1=2，解得x=3，y=0或-1，p=0，q=3.

评注：解方程（组）是解决此类问题的基本运算，因此对一元二次方程根的求法，消元法解方程组要熟练掌握，避免出现运算错误.

考点二、二阶矩阵与平面向量乘法的应用

例2 已知在二阶矩阵M对应变换的作用下，四边形ABCD变成四边形A′B′C′D′，其中A（1，1），B（-1，1），C（-1，-1），A′（3，-3），B′（1，1），D′（-1，-1）.

（1）求出矩阵M;

（2）确定点D及点C′的坐标.

分析：已知在矩阵M对应的变换作用下A→A′，B→B′，由此可求出矩阵M，再由矩阵M可求出点D及C′的坐标.

解：（1）设M=ab

cd，则有ab

cd1

1=3

-3，ab

cd-1

1=1

1

故a+b=3

c+d=-3

-a+b=1

-c+d=1，解得a=1，b=2，c=-2，d=-1，∴M=12

-2-1.

（2）由12

-2-1-1

-1=-3

3知，C′（-3，3），

由12

-2-1x

y=-1

-1得，

x+2y=-1

-2x-y=-1，解得x=1

y=-1.∴D（1，-1）.

评注：1.本例中已知“前”点，“后”点求M是解题的关键，根据二阶矩阵与平面向量的乘法列出方程组后求矩阵.2.第（2）问中点D是“前”点，点C′是“后”点.解题过程中一定要分清，顺序颠倒是易犯的错误.

考点三、二阶矩阵与曲线的变换

例3 变换T是将平面上每个点M（x，y）的横坐标乘2，纵坐标乘4，变到点M′（2x，4y）.

（1）求变换T的矩阵;

（2）圆C：x2+y2=1在变换T的作用下变成了什么图形？

分析：本例已知变换T前后点的坐标，故先求出变换T的矩阵后，再利用此矩阵可求出圆C变换后的曲线方程，从而判断图形形状.

解：（1）设变换T的矩阵为A，由已知得T：

x′

y′=Ax

y=2x

4y=20

04x

y

∴变换T的矩阵是20

04

（2）由x′=2x，y′=4y，得x=12x′，y=14y′，

代入方程x2+y2=1，得14x′2+116y′2=1，

∴圆C：x2+y2=1在变换T的作用下变成了椭圆x24+y216=1.

评注：1.本例（1）中通过前后点的坐标的关系观察得出矩阵，也可以设出矩阵A=ab

cd，列出方程组后求a，b，c，d，从而求出矩阵A;2.求出变换后的曲线方程后含有x′，y′，最后下结论时应改为用x、y表示.

考点四、逆矩阵的求法及其应用

例4 已知A=1-2

2-1，

（1）求逆矩阵A-1;

（2）若矩阵X满足AX=1

-1，求矩阵X.

分析：本题可直接利用公式求逆矩阵.

解：（1）|A|=1×（-1）-（-2）×2=3，

∴A-1=-1323

-2313.

（2）∵AX=1

-1，∴X=A-11

-1=-1323

-23131

-1=-1

-1.

评注：求逆矩阵的方法各有千秋，有方程思想的体现，有公式法的简洁展现，有线性变换的巧妙揭示，解题过程中应根据题目条件特点，恰当选取最优方法解题.

考点五、二阶矩阵的运算在线性变换中的应用

例5 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（-2，0），C（-2，1）.设k为非零实数，矩阵M=k0

01，N=01

10.点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到的点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值.

分析：计算出MN是解答本题的基础，再分别求出A1、B1、C1的坐标，求出面积，最后根据面积关系求k值.

解：∵MN=k0

0101

10=0k

10，

又∵点A，B，C的坐标分别为（0，0），（-2，0），（-2，1），

∴0k

100

0=0

0，

0k

10-2

0=0

-2，

0k

10-2

1=k

-2，

∴A1（0，0），B1（0，-2），C1（k，-2）.

∵△ABC的面积是1，而△A1B1C1的面积是|k|，∴|k|=2×1=2，∴k=±2.

评注：通过本例可以进一步体会矩阵的乘法在线性变换中的应用.此外，求三角形面积要灵活确定三角形的底和高.

考点六、求矩阵的特征值，特征向量

例6 求矩阵21

12的特征值及属于每个特征值的一个特征向量.

分析：求矩阵的特征值与特征向量可按照相应的步骤进行，先写出特征多项式，并求出特征值.

解：特征多项式f（λ）=λ-2-1

-1λ-2=（λ-2）2-1=λ2-4λ+3，

由f（λ）=0，解得λ1=1，λ2=3，将λ1=1代入特征方程组，得-x-y=0

-x-y=0，

即x+y=0，可取1

-1为属于特征值λ1=1的一个特征向量，

同理，λ2=3时，由x-y=0

-x+y=0，即x-y=0，所以可取1

1为属于特征值λ2=3的一个特征向量.

综上所述，矩阵21

12有两个特征值λ1=1，λ2=3;属于λ1=1的一个特征向量为1

-1，属于λ2=3的一个特征向量为1

1.

评注：求矩阵的特征向量及特征值时，准确写出特征多项式，解出特征方程的根是解题的前提.列出线性方程组后，根据系数特点恰当赋值求出特征向量，最后注意特征向量与特征值对应要准确.

考点七、Anα简单表示

例7 若10

21A=12

18，α=-3

-1.求A2α.

分析：本题涉及矩阵的乘法运算，Anα的表示，求出矩阵A后，将α用ξ1，ξ2线性表示，即α=t1ξ1+t2ξ2，再利用公式Anα=t1λn1ξ1+t2λn2ξ2，求A2α，也可以直接求出A2后求A2α.

解：令M=10

21，∴|M|=1×1-0×2=1，

∴M-1=10

-21，

∴A=M-112

18

=10

-2112

18

=12

-14.

方法一：矩阵A的特征多项式为

f（λ）=λ-1-2

1λ-4=λ2-5λ+6，

令f（λ）=0，得λ1=2，λ2=3.

当λ1=2时，得α1=2

1;

当λ2=3时，得α2=1

1，

又∵α=-2α1+α2，

∴A2α=A2（-2α1+α2）=-2A2α1+A2α2

=-2λ21α1+λ22α2=-232

1+321

1=-7

1.

方法二：A2=12

-1412

-14=-110

-514，∴A2α=-110

-514-3

-1=-7

1.

评注：对于求解Anα的问题，一般可利用矩阵A的特征值求特征向量来解决，对n较小的情况，也可直接采用矩阵乘法来解决.

（作者：王佩其，太仓市明德高级中学）

（上接第23页）

了说理深刻，论证有力。

佳作展示

远见方能远行

韩非子云：“智术之士，必远见而明察。”这句话告诉我们，在认识事物的过程中，如果把目光放在当下，就会出现偏差，唯有远见方能远行。起锚前点一盏灯火于河岸，能帮助你驱散返航时的黑暗;外出时携带一把雨伞，能帮助你遮挡突如其来的大雨。这是认知的远见性在生活中的智慧体现。

远见，是立命安身之法宝;远见，是立功成事之良方。因此，人生当有远见，方能正确认识当下的情形，从而趋利避害。“飞鸟尽，良弓藏;狡兔死，走狗烹”，辅佐勾践灭掉吴国的范蠡，预见到了自己将来的结局，于是卸下荣华富贵的铠甲，乘一叶扁舟，出三江而入五湖，居于陶而成巨富。“高筑墙，广积粮，缓称王”，朱元璋采纳了谋士朱升的建议，不急于张扬树敌，发展生产，扩充军备，徐图缓进。二十年后，他登上大明皇帝的宝座，四海臣服。

因为远见，他们能够深思熟虑，透过现象看本质，因而不被眼前的利益所诱惑，察人之所未察，行人之所未行，成就精彩人生。

不仅一个人要有远见，一个团体、一个企业、一个政府……都要有远见。

因为缺乏远见的认识带来的是百害而无一益的行为，最终损害的是国家和人民的形象。如果有远见就会自觉遵守体育赛场的规则，中国羽毛球队也不至于在伦敦奥运会中因为一场消极比赛被取消参赛资格;如果有远见，在城市规划时就会考虑到排水系统的重要性，也不至于一场倾盆暴雨，让北京一夜之间成为泽国;如果有远见，就会呵护草木、保护耕田，也不至于一阵大风，让北方城市沙尘漫天。

因为缺乏远见的认识带来的是浪费资源、损害人民健康的行为，最终降低的是企业和商家的信誉。某一知名食品集团采用喂食“瘦肉精”的生猪当原料，致使人们再难相信号称经过“十八道检验工序”的食品的安全性;肯德基在产品中使用了喂食激素的“速成鸡”，即便开展“雷霆行动”的整治措施，又如何能完全打消人们心中的疑虑？以“有点甜”为荣的农夫山泉受困于“水质量标准”的一片质疑声中，致使人们普遍感觉农夫山泉“有点悬”。

“人无远虑，必有近忧。”在认识事物时，我们要把目光放得远一点，少一些短视，少一点狭隘，因为远见方能远行。

[点评]

本文以韩非子的名言和形象化说理引出观点“远见方能远行”，主体部分采用正反对比，先从正面列举范蠡和朱元璋的事例，论述远见的意义，接着从反面批判当今社会存在的各种缺乏远见的现象，最后提出希望，重申观点。广泛关注现实，深刻思考社会，是本文最突出之处。作者以敏锐的眼光，挖掘出社会上的种种短视行为，予以一针见血的批判，鞭辟入里，发人深省，体现了作者强烈的忧患意识和良好的思辨能力。