时域宽带自适应波束形成器设计∗

(西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室,陕西西安710071)

0 引言

宽带波束形成作为阵列信号处理的重要发展方向,广泛应用于雷达[1]、声呐[2]和通信[3]等技术领域。Frost类[4-5]和广义旁瓣相消类[6-7](Generalized Sidelobe Canceller,GSC)是两种传统的时域宽带自适应波束形成器结构。由于只包含由抽头延迟线(Tapped Delay Line,TDL)组成的有限冲激响应(Finite Impulse Response,FIR)滤波器作为前向支路,随着信号带宽的增加,所需FIR滤波器的阶数,即TDL数量也随之增加[8],以获得预期的信号和干扰噪声比(Signal to Interference Pulse Noise Ratio,SINR)。近年,文献[9-11]设计了几种新型时域宽带波束形成器,通过引入反馈支路,有效地抑制了TDL随带宽的增加。基于Frost波束形成器,文献[9-10]设计的DUAN波束形成器,将各个前向支路中的TDL全部替换成一阶或二阶无限冲激响应(Infinite Impulse Response,IIR)滤波器(采用相同的方法,文献[10]还设计了基于GSC结构的DUAN波束形成器),采用迭代高斯牛顿法(Recursive Gauss Newton,RGN)实现前馈系数和IIR滤波器极点的自适应迭代更新。与传统最小均方算法相比,实现了更快的收敛速度和更好的稳态性能。然而,极点的迭代更新使DUAN波束形成器可能陷入不稳定状态,无法收敛。为了解决DUAN波束形成器的稳定性问题,文献[11]设计了基于拉盖尔滤波器的时域宽带自适应波束形成器,将各个前向支路中的TDL全部换成拉盖尔滤波器,并离线确定拉盖尔滤波器的最优极点。DUAN和拉盖尔波束形成器将全部TDL换成IIR滤波器,增加了权值迭代更新过程的复杂性,降低了收敛速度。为了防止波束形成器的自适应迭代过程陷入不稳定状态,DUAN波束形成器需要进行极点控制,而拉盖尔波束形成器虽然极点固定,但只包含单个极点,使这两者的干扰抑制能力均受到限制。

为了简化自适应权的更新过程,加快收敛并增强波束形成器的干扰抑制能力,本文基于GSC波束形成器设计一种新的时域宽带自适应波束形成器,在保持前向支路不变的情况下,引入一条具有固定权值的反馈支路,采用一种最优迭代零极点系统识别方法[12]离线获取全极点支路最优反馈权。由于前向支路与传统GSC结构相同,可以采用无约束优化算法进行权系数的迭代更新。以上特征使本文设计的宽带波束形成器具有固有稳定性和运算量低的特点。在相同阵元个数和自适应权个数的条件下,仿真对比了本文波束形成器与GSC、DUAN和拉盖尔波束形成器的干扰抑制能力;定量分析了相同条件下,实现一定SINR改善时,4种波束形成器单次迭代所需要的运算量。

1 现有时域宽带自适应波束形成器

如图1所示,传统GSC波束形成器结构包含上下两条支路。其中上支路用于保证期望信号无损通过,从而使下支路可以采用无约束自适应算法实现权系数的迭代更新。通过设计上支路中的静态权向量Wq可以在保证信号不变的情况下,实现低副瓣等波束方向图设计。

图1 GSC波束形成器结构

T用于补偿非法线方向入射产生的时间延时。B是阻塞矩阵,用于防止有效信号进入下支路。上支路中的“TDL”模块是为与下支路同步而引入的处理时延。下支路中的“TDLs”模块是GSC波束形成器的自适应模块,用于实现干扰消除。传统时域宽带波束形成器的“TDLs”模块仅包含前向支路,等效于在每个阵元后放置一个FIR滤波器。DUAN和拉盖尔波束形成器将“TDLs”模块中的TDL换成IIR滤波器,引入后向反馈。

图2(a)给出DUAN和拉盖尔波束形成器的“TDLs”模块。二阶DUAN波束形成器的“TDLs”模块将原GSC的TDL替换成由式(1)表示的Gij(z),当aij,2为0时,二阶DUAN波束形成器即变为一阶。

式中,aij,1和aij,2为第i个阵元的第j个抽头对应的IIR滤波器的反馈系数,1≤i≤L-1,1≤j≤M,L为接收阵列传感器个数,M为每个阵元后总的抽头个数。

拉盖尔波束形成器中,Gij(z)具有如下形式:

式中,b为离线设计的最优极点。完整的拉盖尔波束形成器还需要在第一个抽头系数之前加上一个低通滤波器Gi0(z)=1-b2/(1-bz-1)。

2 固定反馈权的波束形成器设计

2.1 波束形成器结构

基于GSC结构的DUAN和拉盖尔波束形成器均采用相同的方式构建,将原GSC波束形成器“TDLs”模块中的TDL换成各自对应的IIR滤波器,其他部分均与GSC波束形成器相同。这种方式增加了前向权系数迭代更新的复杂性,使运算量增加,收敛速度降低。

本文波束形成器的“TDLs”模块如图2(b)所示,与DUAN和拉盖尔波束形成器构建方式不同的是,本文只增加了一条具有固定权的反馈支路,1/(1+z-1A(z)),形成了一个具有固定极点的IIR滤波器。其中,分母部分1+z-1A(z)可以表示为

图2 具有反馈支路的宽带波束形成器结构

2.2 前馈权的自适应更新算法

不失一般性,本文采用最简单的静态加权和阻塞矩阵。静态加权Wq采用归一化的均匀单位向量:

阻塞矩阵B是一个L×(L-1)的矩阵,L为总的阵元个数。

假设图2(b)中每个阵元的相同抽头位置对应的输入信号组成的向量为

式中,i表示TDL个数,由图2(b)可得各抽头位置对应的输入向量满足以下关系:

向量xi(n)由式(6)给出,J表示TDL个数。由图1可得第一个抽头输入为

向量φ(n)=[φ1(n),φ2(n),…,φL(n)]是预延迟后的输入信号向量,L为总的阵元个数,结合式(5)和(8),第一个抽头输入的更新关系为xj,1(n)=φj(n)-φj+1(n),j=1,…,L-1。式(7)和(8)即构成了每次迭代下支路各抽头位置处信号向量的更新关系。

由图1可知,波束形成器的输出误差:

式中,x(n)是(L-1)×J维列向量,由式(6)表示的xi(n)按照i由小到大的顺序“拉直”排列而成,

前向权向量采用同样方式构建,有如下形式:

ωTx(n)构成了前向支路的输出。

式(12)给出了含反馈的输入信号:

其单个元素的更新过程由式(13)给出:

式中,ai(1≤i≤M)表示第i个反馈权,M表示反馈权的个数。由此,ωT¯x(n)才是整个波束形成器下支路的输出。

采用RGN算法实现权系数的迭代更新,最优权向量的获取可以通过最小化均方误差‖e(n)‖2实现。该问题的目标函数表示为

这是一个无约束优化问题。定义代价函数为

代价函数η关于权ω的导数为

无约束RGN算法的权值更新过程为

式中,μ是迭代步长,R¯x¯x(n)是含反馈输入信号的相关矩阵,通过如下迭代公式进行更新:

基于以上分析,表1给出了用于自适应权ω(n)迭代更新的RGN算法流程,δ是选定的一个正实数,δI用来表示相关矩阵逆的初始估计值。

表1 前馈权更新的RGN算法

2.3 固定反馈权的离线设计

通过设计反馈权,使其逼近一个频带尽可能覆盖干扰频率的带通滤波器。将这一过程等效为用一个全极点系统逼近一个带通滤波器,得到如下最小化问题:

式中,e=hd-h表示理想带通系统和实际全极点系统的单位冲激响应差,理想带通系统的冲击响应为hd=[hd(0)hd(1)… hd(N-1)]T,N是时域冲激响应的截断点数,h是由全极点系统表征的单位冲激响应,表示如下:

表2 最优反馈权获取的迭代算法

对于表2给出的迭代算法,作如下说明:

和g=[hd(1)hd(2) … hd(N-1)]T是常量矩阵和向量,由理想带通滤波器的单位冲激响应构成,其中,N是冲激响应的长度,M是反馈权的个数。

是一个(N-1)×N的矩阵,上述A(n)矩阵的每个元素都是关于n的变量,因而需要在每次迭代时都重新构建一次A(n)矩阵。

3 仿真实验与结果分析

本节采用均匀线阵对比几种不同波束形成器以体现本文波束形成器的优点和性能提升。

3.1 SINR收敛曲线和干扰抑制能力分析

基于表3的仿真参数,对每一种波束形成器实施1 000次独立实验,每次实验都进行800次迭代,得到图3所示SINR收敛曲线,该图是1000次独立实验的平均结果。

从图3可以看出,迭代次数为800时,本文和GSC波束形成器都已平稳收敛,且具有较好的稳态特性。而DUAN和拉盖尔波束形成器都呈现极缓的上升趋势,未能完全收敛,且DUAN波束形成器在第501次迭代时,出现了明显的毛刺,说明DUAN波束形成器存在不稳定的“隐患”。

认为第800次迭代时,各个波束形成器都达到稳定收敛状态,取1 000次独立实验中每次实验的第800次迭代结果计算阵列在干扰方向上的频率响应,得到如图4所示的干扰方向上阵列的频率响应曲线。图4进一步对比说明了4种波束形成器的干扰抑制能力,可以看出本文提出的波束形成器,除了在归一化频点0.28处有一个较尖锐的回升,整个通带内的幅频响应都保持在最低状态,因而具有最强的干扰抑制能力。这与图3得到的SINR收敛曲线的结果一致。

图3 SINR收敛曲线

图4 干扰方向上波束形成器的频率响应

3.2 运算量的仿真与分析

采用表3给定的仿真参数,本节首先研究稳定收敛状态下SINR改善与抽头个数之间的关系,将抽头个数从3增加至12,观察1 000次独立实验下,稳定收敛时得到的SINR。图5给出了4种波束形成器的SINR关于抽头个数的变化曲线,4条曲线给出的都是1 000次独立实验的平均结果。

图5 SINR随抽头个数增加的改善

可以看出,本文波束形成器得到的SINR和抽头个数之间的关系曲线基本上与拉盖尔波束形成器的结果曲线平行,平均SINR改善约为4.131 9 d B。

为了实现相同的SINR改善,例如期望稳态SINR是17.805 d B时,本文波束形成器只需要3个抽头系数,拉盖尔波束形成器需要8个抽头系数,而DUAN和传统的GSC波束形成器需要的抽头个数已经大于12个。由此,可定性地看出本文波束形成器的运算量与GSC、DUAN和拉盖尔波束形成器相比有所降低。

表4定量分析了实现17.805 d B的SINR改善时,本文涉及的4种波束形成器所需权系数的个数和单次迭代下的运算量对比。

表4 4种波束形成器单次迭代的运算量分析

4 结束语

针对现有含反馈支路的时域宽带自适应波束形成器运算量大、收敛慢和干扰抑制能力受限的问题,设计一种新的波束形成器。在传统GSC波束形成器的基础上,增加一条具有固定系数的反馈支路,在保证稳定性的前提下,降低了前向支路所需滤波器的阶数,增强了波束形成器的干扰抑制能力。仿真结果表明,本文波束形成器相比于DUAN和拉盖尔波束形成器具有以下优点:1)相同仿真条件下,本文波束形成器具有更快的收敛速度;2)本文波束形成器具有更强的干扰抑制能力。对于运算量的定量分析表明,实现相同的SINR改善,本文波束形成器单次迭代所需乘法和加法次数要远小于现有波束形成器。表明本文设计的时域宽带自适应波束形成器更具工程实用价值。

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