巧用特殊化方法解答几何中考题

李小龙

一般地，当我们拿到一个问题，经过苦思冥想而又一筹莫展时，我们不妨“退一步”，将问题转向特殊化.通过探寻、摸索、尝试，解决它的一个或几个特例，为探索解题途径提供线索和积累经验，推测一般思路，这就是特殊化的思维方法.正如美国数学教育家波利亚所说：“注意对特殊情况的观察，能够导致一般性的数学结果，也可以启发出一般性的证明方法.”不仅代数问题可以运用特殊化的方法求解（通常是对字母取特殊值），实际上几何问题也可以运用特殊化的方法求解.如取特殊点、选取图形的特殊位置.将图形特殊化，可以起到化难为易、化繁为简，收到事半功倍之效，彰显了特殊化的思维方法在解答几何问题时的魅力.

一、取特殊点

线段的端点、线段的中点、多边形的顶点、对角线的交点等都是特殊点.如果点的位置没有限制，取这些特殊点，往往会收到意想不到的解题效果.

例1.如图1，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC、BD的距离之和是（ ）

A. B.

C. D.不确定

解析：由于点P是边AD上的一个动点，不妨取点P与点A重合时的情形，此时点P到AC的距离为零，到BD的距离为AE.因此点P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和就等于点A到BD的距离AE，这个距离为Rt△ABD的斜边BD上的高.由勾股定理不难求出BD=5.根据Rt△ABD的面积不变，得 ×3×4= ×5·AE.所以AE= .答案选A.

点评：本题的常规解法是利用面积法求解，即过点P作PM⊥AC于M，PN⊥BD于N，过点A作AE⊥BD于E，连接PO，如图2所示，根据S△AOP+S△DOP=S△AOD求解.另外，本题也可取点P与点D重合时的情形，与点P与点A重合时的情形具有异曲同工之效果.

二、取特殊图形

特殊图形有很多特殊的性质，方便使用.对于一般图形，在不改变原问题答案的基础上，可以将一般图形转化为特殊图形，这样便于利用特殊图形的性质，降低解答难度，从而快速求解.

例2.如图3所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，EF⊥AD于点F，AD=4、EF=5.则梯形ABCD的面积是（ ）

A.40 B.30 C.20 D.10

解析：取梯形ABCD为直角梯形，如图4.此时AB∥CD∥EF.由E是BC的中点易知EF是梯形ABCD的中位线.所以梯形ABCD的面积S=EF·AD=5×4=20.

点评：由于已知条件中有“EF⊥AD”，所以我们想到取梯形ABCD为直角梯形.本例如果不用“特殊图形法”，需要作辅助线，如图5和图6，过程留给读者完成.

例3.如图7，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以点B为圆心、BA长为半径画弧AC，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为_________.

解析：点E在BC上，不妨取点E与点C重合时的情形，且设AF交BC于点M，如图8所示.易证△ABM≌△FCM.

∴S△ABM=S△FCM.

∴S阴影=S扇形ABC= =4π.

评析：本例若按常规方法，可设正方形EFGB的边长为a，利用代数方法解答；也可连结AC、BF，利用几何方法解答.

三、选取图形的特殊位置

平移、对称、旋转是常用的几何中变换手段.可以运用这些变换手段，将图形置于比较特殊的位置，便于利用图形的性质解决问题.

例4.如图9，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是______.

解析：观察图形易知O1、O2分别是左边和中间正方形的中心.将中间正方形绕点O1逆时针旋转，使左边和中间两个正方形的对边互相平行或垂直（如图10），此时阴影部分面积等于其中一个正方形面积的 .同理可得右边阴影部分的面积也等于其中一个正方形面积的 .所以阴影部分的面积S= ×22×2=2.

点评：将其中一个正方形绕另一个正方形的中心旋转到特殊位置时，阴影部分的面积与正方形的面积之间的关系立刻显现，彰显了图形变换的魅力.

例5.如图11，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点.则AD： BE的值为（ ）

A. ：1 B. ：1 C.5：3 D.不确定

解析：取BC⊥EF，由O为BC中点知BC垂直平分EF.由△DEF为等边三角形知点D必然在BC上.再取点D与C重合，如图12.在Rt△BOE中，∠BEO=60°，设OE=1，则BE=2、BO= .所以AD=BC=2 .所以AD： BE=2 ：2= ：1，答案选A.

点评：本题若按常规方法，需要连结DO、AO.然后利用相似三角形的知识解决，难度较大.利用“特殊图形法”，大大降低了解答难度.

（作者单位：甘肃省渭源县龙亭中学）endprint

一般地，当我们拿到一个问题，经过苦思冥想而又一筹莫展时，我们不妨“退一步”，将问题转向特殊化.通过探寻、摸索、尝试，解决它的一个或几个特例，为探索解题途径提供线索和积累经验，推测一般思路，这就是特殊化的思维方法.正如美国数学教育家波利亚所说：“注意对特殊情况的观察，能够导致一般性的数学结果，也可以启发出一般性的证明方法.”不仅代数问题可以运用特殊化的方法求解（通常是对字母取特殊值），实际上几何问题也可以运用特殊化的方法求解.如取特殊点、选取图形的特殊位置.将图形特殊化，可以起到化难为易、化繁为简，收到事半功倍之效，彰显了特殊化的思维方法在解答几何问题时的魅力.

一、取特殊点

线段的端点、线段的中点、多边形的顶点、对角线的交点等都是特殊点.如果点的位置没有限制，取这些特殊点，往往会收到意想不到的解题效果.

例1.如图1，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC、BD的距离之和是（ ）

A. B.

C. D.不确定

解析：由于点P是边AD上的一个动点，不妨取点P与点A重合时的情形，此时点P到AC的距离为零，到BD的距离为AE.因此点P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和就等于点A到BD的距离AE，这个距离为Rt△ABD的斜边BD上的高.由勾股定理不难求出BD=5.根据Rt△ABD的面积不变，得 ×3×4= ×5·AE.所以AE= .答案选A.

点评：本题的常规解法是利用面积法求解，即过点P作PM⊥AC于M，PN⊥BD于N，过点A作AE⊥BD于E，连接PO，如图2所示，根据S△AOP+S△DOP=S△AOD求解.另外，本题也可取点P与点D重合时的情形，与点P与点A重合时的情形具有异曲同工之效果.

二、取特殊图形

特殊图形有很多特殊的性质，方便使用.对于一般图形，在不改变原问题答案的基础上，可以将一般图形转化为特殊图形，这样便于利用特殊图形的性质，降低解答难度，从而快速求解.

例2.如图3所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，EF⊥AD于点F，AD=4、EF=5.则梯形ABCD的面积是（ ）

A.40 B.30 C.20 D.10

解析：取梯形ABCD为直角梯形，如图4.此时AB∥CD∥EF.由E是BC的中点易知EF是梯形ABCD的中位线.所以梯形ABCD的面积S=EF·AD=5×4=20.

点评：由于已知条件中有“EF⊥AD”，所以我们想到取梯形ABCD为直角梯形.本例如果不用“特殊图形法”，需要作辅助线，如图5和图6，过程留给读者完成.

例3.如图7，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以点B为圆心、BA长为半径画弧AC，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为_________.

解析：点E在BC上，不妨取点E与点C重合时的情形，且设AF交BC于点M，如图8所示.易证△ABM≌△FCM.

∴S△ABM=S△FCM.

∴S阴影=S扇形ABC= =4π.

评析：本例若按常规方法，可设正方形EFGB的边长为a，利用代数方法解答；也可连结AC、BF，利用几何方法解答.

三、选取图形的特殊位置

平移、对称、旋转是常用的几何中变换手段.可以运用这些变换手段，将图形置于比较特殊的位置，便于利用图形的性质解决问题.

例4.如图9，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是______.

解析：观察图形易知O1、O2分别是左边和中间正方形的中心.将中间正方形绕点O1逆时针旋转，使左边和中间两个正方形的对边互相平行或垂直（如图10），此时阴影部分面积等于其中一个正方形面积的 .同理可得右边阴影部分的面积也等于其中一个正方形面积的 .所以阴影部分的面积S= ×22×2=2.

点评：将其中一个正方形绕另一个正方形的中心旋转到特殊位置时，阴影部分的面积与正方形的面积之间的关系立刻显现，彰显了图形变换的魅力.

例5.如图11，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点.则AD： BE的值为（ ）

A. ：1 B. ：1 C.5：3 D.不确定

解析：取BC⊥EF，由O为BC中点知BC垂直平分EF.由△DEF为等边三角形知点D必然在BC上.再取点D与C重合，如图12.在Rt△BOE中，∠BEO=60°，设OE=1，则BE=2、BO= .所以AD=BC=2 .所以AD： BE=2 ：2= ：1，答案选A.

点评：本题若按常规方法，需要连结DO、AO.然后利用相似三角形的知识解决，难度较大.利用“特殊图形法”，大大降低了解答难度.

（作者单位：甘肃省渭源县龙亭中学）endprint

一般地，当我们拿到一个问题，经过苦思冥想而又一筹莫展时，我们不妨“退一步”，将问题转向特殊化.通过探寻、摸索、尝试，解决它的一个或几个特例，为探索解题途径提供线索和积累经验，推测一般思路，这就是特殊化的思维方法.正如美国数学教育家波利亚所说：“注意对特殊情况的观察，能够导致一般性的数学结果，也可以启发出一般性的证明方法.”不仅代数问题可以运用特殊化的方法求解（通常是对字母取特殊值），实际上几何问题也可以运用特殊化的方法求解.如取特殊点、选取图形的特殊位置.将图形特殊化，可以起到化难为易、化繁为简，收到事半功倍之效，彰显了特殊化的思维方法在解答几何问题时的魅力.

一、取特殊点

线段的端点、线段的中点、多边形的顶点、对角线的交点等都是特殊点.如果点的位置没有限制，取这些特殊点，往往会收到意想不到的解题效果.

例1.如图1，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC、BD的距离之和是（ ）

A. B.

C. D.不确定

解析：由于点P是边AD上的一个动点，不妨取点P与点A重合时的情形，此时点P到AC的距离为零，到BD的距离为AE.因此点P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和就等于点A到BD的距离AE，这个距离为Rt△ABD的斜边BD上的高.由勾股定理不难求出BD=5.根据Rt△ABD的面积不变，得 ×3×4= ×5·AE.所以AE= .答案选A.

点评：本题的常规解法是利用面积法求解，即过点P作PM⊥AC于M，PN⊥BD于N，过点A作AE⊥BD于E，连接PO，如图2所示，根据S△AOP+S△DOP=S△AOD求解.另外，本题也可取点P与点D重合时的情形，与点P与点A重合时的情形具有异曲同工之效果.

二、取特殊图形

特殊图形有很多特殊的性质，方便使用.对于一般图形，在不改变原问题答案的基础上，可以将一般图形转化为特殊图形，这样便于利用特殊图形的性质，降低解答难度，从而快速求解.

例2.如图3所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，EF⊥AD于点F，AD=4、EF=5.则梯形ABCD的面积是（ ）

A.40 B.30 C.20 D.10

解析：取梯形ABCD为直角梯形，如图4.此时AB∥CD∥EF.由E是BC的中点易知EF是梯形ABCD的中位线.所以梯形ABCD的面积S=EF·AD=5×4=20.

点评：由于已知条件中有“EF⊥AD”，所以我们想到取梯形ABCD为直角梯形.本例如果不用“特殊图形法”，需要作辅助线，如图5和图6，过程留给读者完成.

例3.如图7，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以点B为圆心、BA长为半径画弧AC，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为_________.

解析：点E在BC上，不妨取点E与点C重合时的情形，且设AF交BC于点M，如图8所示.易证△ABM≌△FCM.

∴S△ABM=S△FCM.

∴S阴影=S扇形ABC= =4π.

评析：本例若按常规方法，可设正方形EFGB的边长为a，利用代数方法解答；也可连结AC、BF，利用几何方法解答.

三、选取图形的特殊位置

平移、对称、旋转是常用的几何中变换手段.可以运用这些变换手段，将图形置于比较特殊的位置，便于利用图形的性质解决问题.

例4.如图9，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是______.

解析：观察图形易知O1、O2分别是左边和中间正方形的中心.将中间正方形绕点O1逆时针旋转，使左边和中间两个正方形的对边互相平行或垂直（如图10），此时阴影部分面积等于其中一个正方形面积的 .同理可得右边阴影部分的面积也等于其中一个正方形面积的 .所以阴影部分的面积S= ×22×2=2.

点评：将其中一个正方形绕另一个正方形的中心旋转到特殊位置时，阴影部分的面积与正方形的面积之间的关系立刻显现，彰显了图形变换的魅力.

例5.如图11，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点.则AD： BE的值为（ ）

A. ：1 B. ：1 C.5：3 D.不确定

解析：取BC⊥EF，由O为BC中点知BC垂直平分EF.由△DEF为等边三角形知点D必然在BC上.再取点D与C重合，如图12.在Rt△BOE中，∠BEO=60°，设OE=1，则BE=2、BO= .所以AD=BC=2 .所以AD： BE=2 ：2= ：1，答案选A.

点评：本题若按常规方法，需要连结DO、AO.然后利用相似三角形的知识解决，难度较大.利用“特殊图形法”，大大降低了解答难度.

（作者单位：甘肃省渭源县龙亭中学）endprint