复杂曲面五轴研抛加工模型的研究*

孙宝玉，田洪东，孙相臣，王 宁

(1.长春工业大学机电工程学院，吉林长春130012;2.吉林省红石国有林管理分局，吉林吉林132423)

0 引言

随着世界经济的迅速发展，市场竞争日益激烈，新的技术革命不断取得进展。为了取得市场上的竞争力，促使产品越来越向小批量、高质量、低成本的方向发展，具有复杂曲面的产品越来越多［1］。

复杂曲面零件广泛应用于军事、航空航天和某些高科技领域，一般都需要具有极高的几何形状精度和极低的表面粗糙度，复杂曲面加工技术与装备的研究成为现代精密制造的研究重点［2］。

近十几年来，随着计算机技术和现代控制理论等相关技术的不断发展，以数控加工为代表的柔顺加工手段不断完善，实现了复杂曲面的自动化形状加工。与此同时，国内外的学者提出了很多新的研抛方法，例如气囊研抛［3］、电流变研抛［4］、磁流变研抛［5］等。目前，高精度复杂曲面多采用研抛工艺作为最终的加工工序［6］，所以研抛工艺对工件的表面粗糙度起着至关重要的作用。但是在曲面抛光中，抛光工具曲率与被抛光曲面曲率不一致是普遍现象［7］。

本研究以五轴联动超精密研抛加工设备为平台，对研抛过程进行分析，根据Preston 理论，从工件与研抛工具头在工作过程中的相对速度入手，根据复杂曲面上每一研抛点的去除量要求和相邻两点之间的位置关系，分别建立复杂曲面的去除函数模型、加工模型和残差模型，为实际的曲面研抛过程提供理论依据。

1 复杂曲面五自由度研抛加工设备

笔者研究的复杂曲面研抛加工模型是基于五轴研抛加工设备建立的，实物图如图1所示。

图1 复杂曲面研抛加工设备

该设备主要包括:

一个X、Y、Z 轴三平动自由度的精密数控平台，一个气浮转台，限制工件绕Z 轴旋转的自由度，一个高精密摆台，限制工件绕Y 轴摆动的自由度，一个气浮电主轴。

研抛时电主轴装夹在Z 轴上，加工时研抛工具自身旋转，并同时随Z 轴升降，电主轴微进给实现微量材料去除，工件固定在旋转工作台上。

复杂曲面加工曲率变化的时候，通过控制摆动台的角度，使工件法线方向与研抛工具主轴方向一致。其主要特征是研抛工具绕Z 轴作高速回转，可沿X 轴和Z 轴移动;工件沿Y 轴运动，绕摆动台的B 轴摆动，绕Z 轴转动;研抛工具相对于工件沿预先设置的路径运动，并主动调整研抛工具与工件之间的相对姿态，以获得均匀的面形精度加工表面质量。

2 研抛加工模型的建立

2.1 去除理论基础

曲面研磨抛光技术已成为高质量模具制造、化学机械设备的研磨抛光以及导轨焊缝的磨削等各类需要获得较高表面质量的零件制造业的薄弱环节［8］。

复杂曲面零件的研抛加工受多种因素的影响，控制定量的去除比较困难。一直以来，研究人员一直在寻找材料去除量与各影响因素之间的相互作用关系，但到目前为止，描述最成功就是Preston［9］在1927年提出的Preston 方程，指出在一定范围内，复杂曲面的加工过程可以看作是一个线性的过程，其材料去除量模型为:

式中:Δv(x，y，t)—工件表面任意点(x，y)上的材料去除量;t(x，y)—该点上研抛头驻留的时间;P(x，y，t)—任意时刻作用于研抛点上的法向压力;v(x，y，t)—任意时刻研抛头与工件研抛点处的相对速度;Cp—Preston 系数，它是与加工温度、工件与研抛头材料、抛光液等工艺参数有关，而和压力、速度无关的实常数。

根据该假设，定义去除函数为加工过程中，磨头在单位时间内的平均材料去除量，即:

式中:T—加工周期。

设磨头在点(x，y)处的驻留时间函数为D(x，y)，则磨头在工件表面速度变化时，工件材料去除量的函数E(x，y)与R(x，y)，D(x，y)的关系为:

式(3)表明:

在工件加工过程中，材料的去除量等于磨头的去除函数R(x，y)与驻留时间函数D(x，y)在整个加工区域的二维卷积。

2.2 去除函数模型的建立

基于本研究采用的研抛机构，精确控制摆动台摆动，笔者在实现接触点与所选取点重合的基础上，使得去除深度达到每一点的法向去除量。

加工过程中研抛头与工件位置如图2所示。

图2 加工中研抛头与工件位置图

图2 中，摆台一次摆动的角度为Δθ，Δθ 可根据复杂曲面的口径及所取点的个数来求得。在第n 次脉冲摆动下，抛光工具的轴线与工件轴线夹角为nΔθ，工件与抛光工具接触点P(Xn，0，Yn)，在接触点，工件的线速度为v1，抛光工具上线速度为v2，接触点速度关系图，即位置关系如图3所示。

图3 接触点速度关系图

本研究以复杂曲面的曲率半径的原点为原点，建立坐标系σ(O:X，Y，Z)，如图2所示:PO =R，即复杂曲面每一研抛点的半径，∠POZ=nΔθ。

为了便于分析，笔者把上述运动看做为工件位置固定，只有一个转动，相对来说，抛光工具是摆动的，每摆一次摆角为Δθ，同时工件与抛光工具的接触点也随着摆角的增大，在圆弧上逆时针移动，接触点速度关系图如图3所示。

下面以P 点为原点，建立接触点坐标系。

令OX 不动，将坐标系σ 沿X 轴偏移－O'N，其中O'N=RsinnΔθ，再沿着OZ 偏移ON，ON=RcosnΔθ，于是在新坐标系σ'(O':X'，Y'，Z')，OO' =R。

坐标系σ'与σ 采用的是平移的坐标变换关系:

在加工过程中因为研抛工具自转，工件自转的同时还有一个绕Y 轴的摆动，两者相互作用形成曲面，如图2所示。

设工件自转的速度为ω1，抛光工具自转速度为ω2，摆动台的摆动速度为ω3，O'X'与OZ 交点为N，ON =r1=RcosnΔθ。

于是得到，在原坐标系σ 下:

在实际加工过程中，速度是3 个方向的综合值，即:

把所求的vx，vy，vz代入，整理得:

由于公式太复杂，通过引入符号进行简化:g =ω2/ω1，f1=r2/R，则:

为了更进一步地简化，本研究根据实验设备实测数据，取:ω1=300，ω2=3 000，ω3=1，R =80，r2=10，g=10，f1=1/8，K=1，P=1，式(9)变为:

设nΔθ=φ，取HΔθ=π/4，则:

3 复杂曲面的加工进给模型建立

图4 去除特性曲线

理论上，磨头是沿着复杂曲面表面各点的法线方向进给，本研究采用了球形研抛工具头，在加工过程中研抛工具头沿X，Z 两个方向进给，复杂曲面加工表面与研抛工具的圆弧接触，随着研抛工具头的进给，从点接触到面接触。

研抛头与工件进给关系图如图5所示。

图5 研抛头与工件进给关系图

当研抛工具头向下进给，随着磨削深度的增加，直到球面在加工点的法向磨削深度达到预先求得的加工深度时停止，此时研抛工具头进给量在复杂曲面上的投影如图5所示。

P 点为研抛工具头与被加工工件初始接触点，随着研抛工具头的进给，P 点两边圆弧长度等长度逐渐增大，PN 为P 点的法向去除高度，当PN=Δn时，研抛工具头完成进给量PP1，这时的几何关系如图5所示。

根据余弦定理可知:

式中:h—研抛工具头每一次的进给量。

这样，随着加工过程中精密摆动台的每一次摆动，摆动角度增加Δθ，从加工的初始点依次移动，在复杂曲面形状给定的情况下，本研究根据复杂曲面表面所取点的个数来设定Δθ，在确定复杂曲面形状的情况下，就可以得到每个加工点的进给量h。

4 复杂曲面加工残差模型建立

在加工过程中，精密摆动台精确控制摆角来调整加工位置，每一次脉冲摆动的角度为Δθ，在残差模型建立过程中，以球形研抛工具头摆动为例，每一次的摆动角度为Δθ，这样本研究通过选取相邻的两个加工位置来说明研抛工具头在加工过程中留下的残差。

研抛头与工件残差图如图6所示。

图6 研抛头与工件残差图

由图6 可知，在加工过程中，研抛工具头在Pn－1，Pn点的位置关系，在实际加工时，研抛工具头沿Z 轴上下运动，由精密摆动台的摆动来实现工件表面各加工点的相对移动。

为了便于说明问题，假设工件不动，由研抛工具头的相对摆动来实现加工，摆动的角度与精密摆动台的每一次脉冲摆动一致，即每一次摆动角为图6 中O‴为研抛工具头在加工点Pn－1与Pn时摆动径向轴线的交点，其中研抛工具头端面半径为r2，在磨削深度达到Pn－1，Pn点要求深度之后，两端部圆弧的交点为C，连接OS，OS 与复杂曲面投影的交点为C，CS 即为Pn－1，Pn点加工时的残差，CS =ε，根据最小残差原则(在保证精度与效率的前提下，残差最小)。可以选取加工时研抛工具头走的步长，即。

在实际加工过程中，由于各种因素影响，例如各点的曲率半径的变化，研抛工具头本身存在的误差等等，C 点并不一定为Pn－1P 弧的中点，但是残差ε 通常都是非常小的，误差更是微小，于是笔者在这里假设C点是Pn－1P 的中点，连接O″n－1C，O″nC。有:

式中:R—复杂曲面的曲率半径，Δn－1—点Pn－1的曲率半径，Δn—点Pn的曲率半径。

于是，OC=R－(Δn－1+Δn)/2。根据图6 关系可以得到O″n－1S=O″nC=r2。在三角形OSO″n－1中，已知角1/2Δθ，根据余弦定理可以得到:

为了简化式(15)，假设:

解一元二次方程，得到:

求解复杂曲面加工过程中的残差同样可以反过来作用于加工精度，当得到的残差大于所要求的精度值时，可以减小步长，即相邻加工点之间的距离，这样可以减小残差，但是步长越小，意味着加工的次数越多，加工时间越长，从效率与精度的方面综合考虑，通过复杂曲面加工过程中的残差模型建立，给加工步长的选择提供了有力的理论依据。

5 实验验证

根据前面所建立的模型，本研究采用如图7所示的变螺旋线轨迹对如图8所示的凸面镜进行研抛，凸面镜的底面直径是10 cm。变螺旋线轨迹规划方法的优点是可以根据曲率的不同，在不同区域选取合理的行距，使轨迹分布合理。本研究采用的步长是2 mm。

图7 变螺旋线轨迹

图8 研抛凸面镜

本研究采用光学轮廓仪Veeco 对工件进行放大20 倍的粗糙度测量，获得了表面粗糙度为Ra ＜0.04，证明了本研究所建立的模型的正确性和可行性。

由实验结果可知，在研抛过程中，规划的轨迹并没有与实际的研抛轨迹完全重合，分析原因，主要有以下几点:

(1)设备控制误差;

(2)工件装夹和安装误差;

(3)曲面拟合误差;

(4)研抛头的实际加工半径和计算半径的误差。

6 结束语

随着现代人们对复杂曲面质量的要求提高，带动了复杂曲面加工设备的进一步发展。本研究根据Preston 理论，在五轴复杂曲面研抛装置中，从工件与研抛工具头在工作过程中的相对速度入手，推导出了复杂曲面加工的去除函数模型，加工进给模型，并进一步推得残差模型，根据残差模型验证数控加工选择步长的合理性，并以一个凸面镜工件为例进行了实验测试。实验结果表明，本研究获得了较好的表面质量，说明所建立的曲面研抛加工模型的正确性和实用性。

本研究中采用的是K9 玻璃的凸透镜，在后续的研究中，应该逐步把所建立的模型应用到不同的材料、不同形状的工件和不同形状的研抛头中去，使所建立的模型更加具有普遍性。

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