Sobolev方程非协调混合有限元格式的收敛性分析

石东洋, 闫凤娜

(郑州大学 数学与统计学院 河南 郑州 450001)

Sobolev方程非协调混合有限元格式的收敛性分析

石东洋, 闫凤娜

(郑州大学 数学与统计学院 河南 郑州 450001)

Sobolev方程; 新混合有限元方法; 全离散格式; 最优误差估计

0 引言

考虑如下Sobolev方程:

(1)

1 混合有限元的构造

若q=∞,将积分换成ess sup.

定义有限元空间Vh及Wh如下:

其中:Qij=span{xrys:0≤r≤i,0≤s≤j};当li∂Ω时,[v]表示v跨过边界li的跳度，而当li⊂∂Ω时,[v]=v.

设Ih:v∈H1(Ω)→Ihv∈Vh和∏h:q∈(L2(Ω))2→∏hq∈Wh为相应的插值算子,分别满足

和

这里ni是对应边li的单位法向量.

由插值定理知,对于任意的u∈H2(Ω),有如下插值误差估计:

(2)

(▽h(u-Ihu),▽hvh)h=0,∀vh∈Vh,

(3)

(▽h(u-Ihu),θ)=0,∀θ∈Wh,

(4)

(5)

2 全离散格式及收敛性分析

设q=-(▽ut+▽u),则问题(1)可以写成:

(6)

(7)

首先给出(7)关于时间t的半离散格式.假设0=t0

(8)

(9)

考虑(8)的全离散格式为

(10)

则可以得到引理1.

引理1 问题(10)的解是存在唯一的.

则(10)等价于下列形式:

其中：

B=(φi,▽hφj)r1×r2,Q=(f,φj)r1×r1,M=(▽hφi,φj)r2×r1,N=(φi,φj)r2×r2.

由于A,B,M,N均是正定的,所以对任意的t∈[0,T],由文献[15]得(10)的解是存在唯一的.

为了方便进行误差估计,记

(11)

(12)

证明 一方面,在(8)中取v=vh,w=wh,并与(10)对应相减得

(13)

由于▽Vh⊆Wh,在(13)中,令vh=ξn,wh=▽vh=▽ξn,由(3)可得下列误差方程：

(14)

下面对Ni(i=1,2,…,6)逐项进行估计.由Cauchy-Schwartz引理和(2)得

(15)

将Cauchy不等式分别应用于N3,N4,N5，有

(16)

(17)

(18)

根据(5)可得

(19)

将(15)～(19)代入(14),整理得

(20)

注意到ξ0=0,▽ξ0=0,将(20)从1到n求和得

(21)

当(1-CΔt)>0时,利用离散的Gronwall不等式有

(22)

由(2)及(9)可得

(23)

(11)式证毕.

下面证明(12).记∂tun=(un-un-1)/Δt,在(13)中,取vh=∂tξn,wh=▽vh=∂t(▽ξn),并结合(3)可得误差方程:

(24)

首先由(24)不难得到

(25)

其次,类似于(16)～(18)的估计,有

(26)

(27)

将(25)～(27)代入(24),得

(28)

另一方面,由(7)的第2个式子,有

(qn,wh)+(∂t(▽hun),wh)+(▽hun,wh)=0.

(29)

令wh=θn,根据(4)可得

(30)

由Young不等式，有

(31)

(32)

再由(28)可得

(33)

将(31)～(33)代入(30),并由(22)得

(34)

最后由三角不等式可得(12),定理1证毕.

3 数值算例

为验证理论分析的正确性,对于问题(1),取Ω=[0,1]×[0,1],T=1,f=etxy(1-x)(1-y)+4ety(1-y)+4etx(1-x).可以验证真解u=etxy(1-x)(1-y),中间变量q=-(2ety(1-2x)(1-y),2etx(1-2y)(1-x)).对Ω沿x轴和y轴剖分成m×m份,数值结果见表1和表2,其中α表示收敛阶.

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(责任编辑：孔 薇)

Convergence Analysis of Nonconforming Mixed Finite Element Scheme for Sobolev Equation

SHI Dongyang, YAN Fengna

(SchoolofMathematicsandStatistics,ZhengzhouUniversity,Zhengzhou450001,China)

Sobolev equation; new mixed finite element method; fully-discrete scheme; optimal error estimate

2015-06-05

国家自然科学基金资助项目,编号11271340.

石东洋(1961—),男,河南平顶山人，河南省特聘教授, 博士生导师, 主要从事有限元方法及其应用研究,E-mail: shi_dy@zzu.edu.cn.

石东洋，闫凤娜.Sobolev方程非协调混合有限元格式的收敛性分析[J].郑州大学学报：理学版，2015，47(4)：6-11.

O242.21

A

1671-6841(2015)04-0006-06

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.04.002