非线性黏弹性方程一个低阶混合元方法的超收敛分析和外推

杨晓侠， 刁 群， 王俊俊

(平顶山学院 数学与信息科学学院 河南 平顶山 467000)

非线性黏弹性方程一个低阶混合元方法的超收敛分析和外推

杨晓侠， 刁 群， 王俊俊

(平顶山学院 数学与信息科学学院 河南 平顶山 467000)

非线性黏弹性方程； 混合元方法； 超收敛； 外推

0 引言

考虑如下的非线性黏弹性方程的初边值问题

(1)其中:Ω是一个矩形区域,其边界∂Ω分别平行于x轴与y轴;T∈(0,+∞)为一定值;X=(x,y);a(u)表示弹性系数;b(u)表示黏弹性系数;u0(x),u1(x)为已知光滑函数;a(u)，b(u)和f(u)为满足下列假设的已知函数:

(H1) 0

(H2)a(u),b(u)关于u具有直到二阶连续导数；

(H3)f(u)关于u是Lipschitz连续的；

(H4)u∈C2(Ω×[0,T])是问题(1)的唯一解.

1 混合有限元的构造及性质

定义混合有限元空间为:

IKu(ai)=u(ai)(i=1,2,3,4);

对u∈H3(Ω),利用引理1中第1式的证明方法，可以验证下面估计式成立,

(2)

2 超逼近和超收敛分析

(3)

(4)

类似于文献[7]的方法,可以证明问题(4)存在唯一解. 下面先讨论上述问题的超逼近性质.

(5)

(6)

由式(3)和式(4)可得下面的误差方程

(7)

定理2 在定理1的条件下,有如下整体超收敛结果,

注1 文献[1]对a(u)=b(u)=1时的特殊情况,得到了Bernadi-Raugel元的与本文同阶的超收敛结果,但文献[1]中格式的总体自由度比本文格式多1NP. 这里,NP是关于区域Ω的剖分中所有节点的个数.

3 外推

设网格剖分是均匀的(即有hx,K=hx,hy,K=hy),文献[7-8]已证明以下结论.

(8)

(9)

基于以上两个渐近展开式,可得到定理3.

企业是社会生产力的创造者，是现代经济发展的推动力量。企业间不可避免相互竞争，最初的竞争是以较低的价格取胜；然后企业开始在产品质量、品种上比拼；现在随着信息化的发展，企业越来越讲求效率，时间成为在竞争中获胜的法宝。基于时间的竞争是一种通过缩短产品研发、生产和销售的生产运作时间，获取竞争优势的战略，这些都是生产成本控制的重要环节，因此现代企业必须将时间作为成本控制的一个重要因素进行科学管理。

(10)

其中:

(11)

注2 上述外推结果对文献[5]中所讨论的线性Sobolev方程的半离散格式显然是成立的.

[1] 牛裕琪, 石东洋. 拟线性黏弹性方程混合有限元分析[J]. 数学的实践与认识, 2010, 40(22): 216-223.

[2] 陈绍春, 陈红如. 二阶椭圆问题新的混合元格式[J]. 计算数学, 2010, 32(2): 213-218.

[3] 史峰, 于佳平, 李开泰. 椭圆型方程的一种新型混合有限元格式[J]. 工程数学学报, 2011, 28(2): 231-237.

[4] 石东洋, 张亚东. 抛物型方程一个新的非协调混合元超收敛性分析及外推[J]. 计算数学, 2013, 35(4): 337-352.

[5] 史艳华, 石东洋. Sobolev方程新混合元方法的高精度分析[J]. 系统科学与数学, 2014, 34(4): 452-463.

[6] 亢金轩，许超.非线性湿气迁移方程Carey非协调元逼近[J]. 河南科技大学学报：自然科学版，2011，32(6)：81-83.

[7] 林群, 严宁宁. 高效有限元构造与分析[M]. 保定：河北大学出版社, 1996.

[8] 刁群，郭丽娟，王俊俊.非线性Sobolev方程低阶混合元方法的超收敛分析及外推[J]. 应用数学，2015，28(3)：586-895.

(责任编辑：王浩毅)

Superconvergence Analysis and Extrapolation of a Low Order Mixed Finite Element Approximation for Nonlinear Viscoelasticity Type Equations

YANG Xiaoxia, DIAO Qun, WANG Junjun

(SchoolofMathematicsandInformatics,PingdingshanUniversity,Pingdingshan467000,China)

nonlinearviscoelasticitytypeequations;mixedfiniteelementmethod;superconvergence;extrapolation

2015-07-23

国家自然科学基金资助项目，编号11271340.

杨晓侠(1977—)，女，河南汝州人，副教授，主要从事有限元方法及应用研究，E-mail:13733937766@163.com．

杨晓侠，刁群，王俊俊.非线性黏弹性方程一个低阶混合元方法的超收敛分析和外推[J].郑州大学学报：理学版，2015,47(4)：12-16.

O242.21

A

1671-6841(2015)04-0012-05

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.04.003