探寻发展小学生数学能力的要素和路径

朱向阳

（义乌市义亭小学，浙江 义乌 322000）

数学学习从某种意义上说就是在培养和提高数学能力。数学能力可以认为是学习数学知识，掌握数学方法，运用数学技能，解决数学问题的本事大小，它是数学素质的重要表现。全面提高学生数学能力是数学老师教学的基本要求。

一、发展小学生数学能力的基础：四力

笔者认为：发展小学生数学能力的基础需要有学习内驱力、个人行动力、小组合作力和数学思辨（想象）力。下面以《平行四边形的面积》教学为例。

（一）学习内驱力——孩子需要有解决问题的欲望

学生学习的内驱力来自于解决数学问题的积极愿望。比如课始即抛出问题“对平行四边形你都知道些什么？想一想，你准备怎么去计算平行四边形的面积？”简单的回顾能唤醒学生对平行四边形特征的已有认知，直截了当的问题能激起学生解决问题的欲望。

（二）个人行动力——解决问题需要孩子付诸行动

如果说学习内驱力是学生学习心理动力的话，那么解决问题更需要孩子将想法付诸行动的行动力，孩子需要运用所学的知识和方法自行试着去解决。老师紧接着抛出要求“请你自己量出必要的数据算一算平行四边形的面积。”给学生自行探索的时间和空间，学生将刚才的想法去实践尝试，增强学习体验，丰富数学活动的经验。有的孩子用“底×高”的方法计算面积，有的孩子用“底边×邻边”的方法计算面积等。学生在似懂非懂中暴露出了问题，在自以为是中揭示出了矛盾。孩子只有在行动中才能经历过程、感受困惑、发现问题、明确学习的方向。

（三）小组合作力——学会在解决问题过程中互助和分享

学习仅依靠孩子个体的力量会是缺乏深度和广度的，借助合作交流，数学学习活动能更好地揭示问题、发现规律。

孩子独立尝试后进行交流：

生1：我是用“底×邻边”的方法计算的。我们知道平行四边形容易变形，我抓住平行四边形的对角一拉，它就变成了长方形。“长方形的面积=长×宽”，所以平行四边形的面积是“底×邻边”。

生2：我是用“底×高”的方法计算的。我沿着高把这个“三角形”割下来补到这边，就变成一个长方形，“长方形的面积=长×宽”，所以平行四边形的面积是“底×高”。

在合作性学习中，解决问题策略的多样性得以很好地展现出来，通过交流和分享，不仅能将孩子的思考过程显性化，也能帮助孩子更全面、准确地看待和思考问题。

（四）数学思辩（想象）力——善于在解决问题中联系和对比

对数学解决问题策略的对比能很好地揭示数学知识方法的本质。

“比较上面这两种方法，它们有什么共同的特点？又有什么不同的地方？”

孩子发现，这两种方法都是将平行四边形“转化”成长方形，利用长方形的面积计算方法推导出平行四边形面积计算方法。不同的是，前者利用平行四边形易变性的特点“推拉”成长方形，后者是利用“割补”将平行四边形“转化”成长方形。

“你有什么想说的吗？”

生1：这两种方法结果不一样，肯定有一种是错的。

生2：我想知道哪一种是对的？哪一种是错的？

通过直观模型的演示和比较，孩子很快发现：“推拉”后图形的面积变了，“割补”后面积没变。

二、发展小学生数学能力的要素：四要

发展小学生的数学能力，笔者认为有四个要素：素材简洁，过程简单，内容典型，目标高远。下面以《鸡兔同笼》教学为例。

（一）素材要简洁：是讲究情境外衣还是突出数学本质

“鸡兔同笼”是渗透“尝试与猜测”数学思想和学习“假设”方法解决问题比较典型的素材。问题很简单“鸡兔同笼，有12个头，30条腿。鸡、兔各有几只？”但内涵很丰富，渗透猜测、尝试、分析、调整的数学思想策略；方法很多元，画图法、列表法、假设法、方程法等等。

这么重要的内容，在设置问题情境的时候，需不需要更为丰富？答案是否定的，不需要。这个表述已经将数学信息直观、充分又简洁地呈现出来了。

那鸡和兔的情境是否可以再简化？答案也是否定的，除了“12个头，30条腿”这两个显性条件，还有两个隐性条件，“每只鸡有2条腿，每只兔有4条腿”，这既是生活常识，也是解决这个问题的必要条件。这个情境也已经不能再减了。

“鸡兔同笼”的问题情境非常简洁，既显得现实有趣，又剔除了无关因素，而且非常鲜明地呈现了“求两个未知数”这一需要尝试分析和假设调整的数学内容。

类似这样的思路，在“乘法分配律”等内容教学中也可以借鉴。数学问题解决能力的培养，需要尽可能排除无关因素的干扰，突出数学的规律和本质。

不要让“鲜艳”的外衣掩盖了真实的“本质”。

（二）过程要简单：是注重程序步骤还是力求思路顺畅

“鸡兔同笼”问题用假设法解答，步骤多、要求高，一般孩子理解和掌握比较困难，但用列表尝试的教学步骤就可以很简单。

（1）先考虑好准备怎么试，再把尝试的过程写在表格里。然后小组交流。（开放的学习活动，孩子按自己的思路和方法尝试解决，教师观察收集素材）

（2）哪个小组愿意把方法推荐给大家？简单说说推荐的理由。（教师有序地选择交流的材料：可以突出“尝试”的有序，可以突出“尝试”的效率，还可以突出“分析调整”的精彩。孩子在交流中充分领悟了各种方法间的要点）

（3）他们的尝试有什么特点？（他人的思路需要内化为自己的理解）

严密和周全的步骤，虽有助于问题的解决，达到精细化的程度，但也会局限学生的思维。而开放的问题则使人人有事做、个个有话说，师生共同将思路理顺，将方法理清，也就提升了孩子解决问题的数学能力。

不要让“程序”的刻板阻碍了思想的“通畅”。

（三）内容要典型：是追求方法多样还是强调方法质量

古人对“鸡兔同笼”问题进行了深入的研究，我们现代人也不甘落后，除了常见的画图法、列表法、假设法、方程法外，还研究了许多有趣的方法。比如：我国数学家张景中院士的“把鸡翅也算成脚”；匈牙利数学家波利亚的“金鸡独立法”；南京师范大学单墫博士“把兔‘劈开’，成两‘半兔’”等等。

我们的教学是不是要追求解决问题方法的多样？并将它视为最为重要的出发点和学习内容呢？其实不然。纵观所有的方法，虽思考形式是“假设”，但其基本落脚点都是“分析调整”，而最原始的出发点就是“尝试猜测”。由于尝试的方式不同，也就产生了画图、列表等各种各样具体的解题方法。就展示过程和分析观察而言，“列表尝试”作用体现得较为充分和明显些。

通过“一一列举尝试”，培养学生“有序”思维的意识；通过“取中列举尝试”，考量学生“判断增减方向”的能力；最终通过“跳跃列举尝试”，培养学生“分析调整”的能力。而假设法，可以简单地认为，只是跳跃列举思维的算式化，是跳跃列举中最简洁特例的算式表达。

不要让“方法”的多样降低了思维的“质量”。

（四）目标要高远：是解决眼前问题还是着力长远发展

试问：面对一个新问题，你总是能想到用什么方法（具体招式）去解决的吗？如果不能怎么办？

招式是与问题对应的，解决什么问题用到什么招式，掌握得如何与“所见所闻所练”有关，丰富招式的办法只能是“多听多做多练”，这也是题海战术的源头。然而，招式是没有再生功能的。但思想不同，它是处于指导性地位的，作为根本大法，它能派生出具体的招式，如同练武，最重要的是修炼内在的功力，从而达到“忘却招式，无招胜有招”的境界。

如此说来，学生数学能力的培养是“树思想”重要还是“教招式”重要？将具体方法（招式）作为学习目标，只能解决眼前问题；而将解决问题的思路作为学习目标，能着力长远发展，解决更多新的问题。可见，招式源于思想的简化和具体化。

因此，面对“鸡兔同笼”这个问题，老师要帮助学生产生本能“我先试一试”，至于怎么试，不同的孩子基于不同的认知基础和学习水平，会有不同的方法。最终通过比较将其简化后，就顺理成章地掌握了假设法的解题方法或招式。

不要让“现实”的成功遮掩了长远的“发展”。

只有找到承载具体方法的数学思想平台，孩子的数学能力才能发展得更好。

三、发展小学生数学能力的路径：四递进

发展小学生数学能力的途径，要注意从技巧到基础、从特殊到一般、从独立到关联、从静态到动态的递进。

（一）从技巧到基础：夯实基础比拥有技巧更需看重

我们应该明确的是：夯实解决问题的思想基础比拥有具体解题方法重要得多。

比如，《商不变规律》（北师大版四年级下册）的教学，记住规律并不难，但理解并从中获得数学思想、发展数学能力就需要下功夫。可以尝试建构以下的学习问题序列。

（1）今天这节课我们一起来研究除法运算中一种特有的规律——商不变的规律。想一想，要知道什么时候商不变，我们可以去研究谁和谁？（被除数和除数）

（2）被除数和除数怎样变，商才不会变？（“被除数加上几，除数也加几，商可能不变”等）

（3）请你以60÷30=2为例，对你认为最有可能的那种情况进行验证。（要求写三个式子（60○□）÷（30○□）= ÷ = ）

（4）观察商不变的这组算式，有什么发现？（被除数和除数同时乘或除以相同的数，商不变）

（5）刚才发现的规律在其他除法算式中是否也成立呢？请你再写式子验证一下。

（6）这节课我们讨论了什么？是怎样得出结论的？

（7）想一想，在除法中还会有什么规律？在其他运算中，也有类似的规律吗？

这种“猜测——验证——结论——拓展”的思路，成为探究型学习的重要路径。

（二）从特殊到一般：形成思想比掌握方法更为重要

我们不难理解，平行四边形面积计算公式的推导是个学习个例，掌握计算公式也是一件很简单的事情。但我们在推导的过程中，不能仅仅突出公式，而应着力突出将平行四边形转变成长方形的过程和思想，强化这种善于将“新知”转化为“旧知”的思想认识，从“特例”迈向“一般化”，“转化思想”就能成为孩子自主学习新知的强大武器。

再比如：“鸡兔同笼”问题也是一个问题的“特例”，如果我们仅满足于解决这个问题的本身，意义和价值并非很大，但我们从这个“特例”中突出“尝试、分析、调整”的思想，它就能成为我们解决缺乏知识基础的新问题时的一种重要指导思想。

（三）从独立到关联：建立关联比独立掌握更有意义

数学学习中不仅知识是有关联的，方法也是如此。如果不满足于独立掌握各种方法，而是努力揭示这些思想方法中的内在联系，必然使孩子的认识更深刻，理解更到位，从而产生1+1＞2的学习效果。

例1：两位数减两位数的退位减法。对比其中的口算法和竖式计算，可以发现“口算法就是竖式计算的算式表达”，没有这“一比”，将两种方法割裂开来是达不到可以达到的深度的。62-48：12-8=4，50-40=10，10+4=14

例2：鸡兔同笼。将“跳跃列举尝试”的过程算式化，我们就很容易发现，其实运用“假设”的方法列式解答只是列表法的概括而已，理解了列表，假设的思路可以更宽泛。

例3：平行四边形的面积。比较“推拉转化”和“割补转化”，可以清楚地发现，它们都是将“新图形”（平行四边形）转变成“旧图形”（长方形），利用“旧知识”（长方形的面积计算方法）推导出“新知识”（平行四边形的面积计算方法）。如果更进一步思考，还可以发现图形面积计算最基本的方法是利用“数面积单位”，借助“一排放几个×几排”来解决的。

知识不应只求多，更应求联。建立关联的知识结构才是具有强大生命力的。

（四）从静态到动态：放眼全局比着眼局部更具价值

以“垂直与平行”学习为例：垂直和平行都是同一平面上两条直线的特殊关系，这种特殊关系在图形特征的认识中具有重要的意义。但如果教学就事论事，针对垂直认识垂直，观察平行研究平行，效果未必很好。

如果我们稍作调整，用两根小棒代替两条直线，放在黑板平面上，一条静止，另一条旋转，化静为动。利用“运动”的手段，将这种“特殊”关系纳入“一般”范围中去观察，不仅能更为明显地衬托出它的“唯一特殊性”，还能更好地增强同一平面上两条直线关系的“整体性”。

这种化静为动，放眼全局认识局部的方法，在“锐角、直角、钝角、平角、周角”的认识，在“正方形与长方形关系、平行四边形与长方形关系”的理解中，同样具有积极的价值。

发展学生的数学能力是数学老师的基本职责，是数学教学的目标取向。需要我们将它落实于日常的数学课堂中，需要我们逐步认识其要素和途径，循序渐进、常抓不懈，必有所获。