发现身边的“数学建模”

冯回祥

在上一期的文章里，我简要谈了在数学课堂教学中要重视“数学思想方法”渗透的问题。但具体到某一种思想方法的教学，不少教师仍然存在困惑，不知如何将思想方法的渗透和教学内容联系起来，也不知怎样的教学措施是适宜的。这种现象在小学数学教师中尤为明显。鉴于此，我以近些年来被大家视为热门话题的“数学建模思想”为例阐释，希望我自己的一些思考能给读者一点“拨云见日”的启发。

数学教师该如何理解数学建模？

说实话，“数学建模”这个概念刚出现在相关媒体上时，并没有引起我太多的关注，总觉得“数学建模”是大学数学专业课程，和我们基础教育无关。我也知道像华中科技大学等高校数学系的学生经常参加国内外“建模”比赛，因此觉得“这事”好像离我们小学数学教学很远。事实上，《义务教育数学课程标准（2011年版）》中明确提出：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。”通过相关理论的学习，并与大学数学专业有关教授交流，我现在意识到并发现，在小学数学教材中，数学模型其实是随处可见的。小学生学习数学知识的过程，实际上就是对一系列数学模型的理解、把握的过程。由此看来，“数学建模”就在我们身边，建模思想就在小学数学教学中，重视和发展学生的建模思想是新的历史时期对数学教师的要求。只要我们在教学中重视渗透模型思想，帮助学生建立并把握有关数学的基本模型，那么将会极大地激发学生学习数学的兴趣，有利于培养学生解决问题的能力，提升学生的思维品质。

我们所提到的“数学建模”，就是指建立数学模型。那什么是数学模型呢？数学模型是对客观事物的数量关系和空间形式的一个近似的反映。按广义理解，一切数学概念、数学理论体系、数学公式、方程式和算法系统都可称为数学模型。因此，数学建模，可以理解成利用数学语言、符号、式子或图象模拟现实的模型，是把现实世界中有待解决的问题，从数学的角度发现问题、提出问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题，并综合运用所学的数学知识与技能求得解决的一种数学思想方法。如，18世纪的数学大师欧拉1736年在文章《哥尼斯堡的七桥问题》中，用他找到的“一笔画”的数学模型，以否定的方式漂亮地解决了“哥尼斯堡七桥问题”，这就是一个数学建模的极好范例。因此，数学建模可以视作数学领域里通用的一种解决问题的思想方法，我们在有意无意中可能已经使用过了数学模型。认识到这一点，数学建模就不再矗立在高高的云端，而成了我们触手可及的“工具”。

课堂上建模思想方法该如何为我所用？

小学阶段的数学建模教学不能与高中或大学的相比，难度不能太大，可操作性要强。一般来说，数学建模有三个基本步骤，下面以“找零钱问题”为例来加以说明。

小华到商店买练习簿，每本3角钱，共买9本，应该付款2元7角。

服务员问：“你有零钱吗？”

小华说：“我带的都是零钱，5角一张。”

服务员说：“真不凑巧，你没有2角一张的，我的零钱反而都是2角一张的，没有1角的。”

你有没有办法能把零钱找开呢？

我们要求学生数学建模时，可以一步步引导如下：

从现实原型中抽象概括出数学模型。首先把上面生活问题转化成数学语言：小华带的都是5角一张的零钱，即小华付给服务员的钱只能是5的倍数，而服务员的零钱都是2角一张的，说明服务员找给小华的钱只能是2的倍数。小华付给服务员的钱与服务员找给小华的钱之差应该正好等于小华应付款额2元7角即27角。然后再抽象成下面的数学模型：在（  ）中填入适当的数字，使得下面的等式成立：5×（  ）-2×（  ）=27。

利用模型推理、论证或演算，求得问题的解。模型建立后，我们就可以进行分析推理：设5角的x张，2角的y张，则，27+2y的和一定是5的倍数，那么y=4，9，…，故x=7，9，…由此可知，（  ）中最小应该分别填入“7”“4”，即等式变为模型的解：5×7-2×4=27。

将研究所得的结论还原到现实原型上去，得到实际问题的解答。由分析可知，在原来的情境中，只要由小华付出7张5角的，服务员找回4张2角的，就能解决找零钱的问题。

这是一道大家都很熟悉的数学问题，大家可能会说，我就是这样在解决数学问题。不错，这样解决问题的过程就是在进行数学建模，即利用数学模型解决问题。由此说明在小学数学教材中，数学模型随处可见，数学建模并非高深莫测。

对数学建模教学的几点建议

数学建模不能“为建模而建模”，应结合平常的教学内容，选取合适的切入点，把培养学生的应用意识落实到教学过程中，使学生真正掌握数学建模的基本方法，培养学生的数学建模能力。

以教材知识为基础。小学数学建模能力的培养是一个渐进的过程，要从日常的教学开始，结合具体内容慢慢渗透，逐步培养学生的建模意识。教材中都配有大量反映实际问题的主题图，我们可以从中抽象出主要的数学模型。例如，五年级抽象出“方程的意义”这一模型，就是按主题图提供的天平实验方式来实现的。数学概念、法则、性质、公式等数学基础知识，一般也是由实际问题出发抽象出来的，都反映了数学建模思想。作为一种思想方法，数学建模思想可以与数学基础知识的教学相依随，经常渗透，逐渐升华。因此，教学时教师要充分利用教材知识的特点，重视展示知识的发生、发展、抽象、概括和应用过程，让学生在知识的形成过程中掌握数学建模的基本方法。

以课堂教学为平台。加强实验操作。我们知道很多数学概念的建立，计算方法的形成都是在实验操作的基础上完成的。例如：教学长方形的面积、三角形的意义、三角形内角和的规律等内容时，都必须让学生在操作中去抽象和归纳，建构它们的意义，从而建立出它们的模型。

加强合作交流。合作交流是一种很好的学习方式，利用这一方式进行学习，不仅有利于学生思维的碰撞，情感的交流，而且有利于学生实现对数学知识的建模。例如，教学“植树问题”时，可以创设“植树问题”的各种问题情境，然后利用小组合作的学习方式，让学生去抽象出不同的数学模型，如“不封闭图形植树问题”的模型“树的数量=总长度÷间隔数+1”等。此时重点要引导学生对数学模型进行讨论验证，如果发现模型不妥、不佳或者是错误的，就要修改，重新建模，直到模型正确无误，才能让学生解答出结果。这样的一个过程十分重要，这不仅是学生学会数学建模并解决问题的需要，更是从小培养学生思维的缜密性和严谨治学态度的需要。

以生活性问题为基点。数学来源于生活，又应用与生活。把生活融合到学校数学教育中，是现代教育的一个趋势。大量与日常生活相联系（如投资买卖、银行储蓄、测量、乘车、运动等方面）的数学问题，大多可以通过建立数学模型加以解决。只要结合数学课程内容，适时引导学生考虑生活中的数学，会加深学生对数学知识的理解和运用，恰当地将其融入课堂教学活动中，增强应用数学的信心，获得必要的应用技能。

综上所述，在小学进行数学模型的教学是完全可行的，也是非常必要的。对于如何更好地帮助学生领会数学模型的思想和方法，增强数学的应用意识，提高学生的创新能力，养成良好的思维品质等相关问题，有待我们进一步思考与探索。