浅谈对初中生的数学定理学习指导

施建存

【摘要】初中生学习定理，我要求学生做到“五要”：要指导学生了解定理的由来；要指导学生认识定理的结构；要指导学生掌握定理的证明；要指导学生熟悉定理的运用；要指导学生及时整理定理的系统。

【关键词】数学定理 学习

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）11-0076-02

随着课程改革的发展趋势，课堂教学改革显得尤为重要，已经成为教师谈论教改的热门话题。教师除了会“教”，更重要的是要求学生会“学”。学生会“学”不是天生的，还需要教师的指点。下面从我多年的初中数学教学，对初中生的数学定理学习指导，谈点教学的点滴经验，与同仁共勉。

数学中的定理，是经过数学证明了的真命题，它是数学知识的重要组成部分，初中生学习定理，我要求学生做到“五要”。

一、要指导学生了解定理的由来

数学定理是从现实世界的科技形式或数量关系中抽象出来的。一般说来，数学定理在现实世界中总能找到它的原型。教师在学生学习时，应尽量把定理的内容与对具体事物的观察、测量、计算等实践活动联系起来，理解定理的具体内容。对有些抽象的定理通过熟悉它的推理过程和方法，加深对定理的理解。从高中考的应用题考察中，我们不难发现，考题所涉及的应用材料，都是来源于社会生活。没有平时的教学训练指导，学生又怎么对定理会运用自如。

二、要指导学生认识定理的结构

这就是说，要指导学生弄清定理的条件和结论，分析定理所涉及的有关概念、图形特征、符号意义，将定理的已知条件和求证确切而简练地表述出来，特别要认清定理的条件和结论间的制约关系。其实，无论是高考，还是中考，其应用题都是对定理的运用或综合运用。

三、要指导学生掌握定理的证明

定理的证明是定理学习的重点，首先应掌握证明的思路和方法，为此，指导学生在学习过程中，应注意分析，把分析和综合结合起来。用分析法来寻求证明的思路，了解证明的来龙去脉，然后用综合法叙述证明的过程。要求学生在叙述时：注意连贯、完整、严谨。这样做，才能加深对定理的理解，使学生不仅知其然，还要知其所以然，有利于定理的掌握和运用。下面介绍我在教学中，指导学生掌握定理常用的几种证明方法。

数学证明的方法就是演绎推理的方法。就是从一个或几个已知判断出发，推出一个新的判断的思维形式（以下P、Q、R表示判断）。

1.假言推理

若P真，且若P则Q，则Q真。例如：

P：直线x+2y+3=0与直线2x-y-1=0，

若P则Q：如果两直线的斜率之积为-1，那么，这两条直线垂直

Q：这两条直线垂直。

2.传递推理

若P则Q，且若Q则R，则若P则R。例如，

P：如果一个三角形的两个角，分别与另一个三角形的两个角对应相等；

Q：那么，这两个三角形的所有三个角对应相等；

R：两个三角形相似。于是，

若P则Q：如果一个三角形的两个角，分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么，这两个三角形的所有三个角都对应相等。

若Q则R：如果这两个三角形的所有三个角都对应相等，那么，这两个三角形相似。

若P则R：如果一个三角形的两个角，分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么，这两个三角形相似。

3.演绎推理

若有假设P及其真判断Q1，Q2，…Qn的集合，可推出R，则由Q1，Q2，…Qn可推出：若P则R。例如，

P：两直角三角形的两条直角边对应相等，

Q1：直角三角形的直角必相等，

若P和Q1则R：两个三角形对应边及其夹角对应相等，则两个三角形全等，

若P则R：两直角三角形的两条直角边对应相等，则两个直角三角形全等。

4.列举法

若P1则Q，若P2则Q，…，若Pn则Q，若（P1或P2或…Pn）则Q。这样的例子是很多的，例如，要证明“一个圆周角的度数，等于它所对弧的度数的一半”，只要分三种不同的情况来证明：即当圆心在圆周角内、在圆周角外、在圆周角的一边上，于是命题成立。

5.数学归纳法

若对自然数1有性质P，且对每个自然数K，若K有性质P，即可推出K+1有性质P，则对每个自然数均有性质P。

以上五种方法都是直接演绎证明的方法，虽然还有其他直接演绎证明的方法，但在初中阶段数学学习中，主要是直接的演绎推理证明方法。要指导学生，对某一个定理问题的证明，常常要把这些方法结合起来使用。

6.反例法

假若对集合S中的任意x，都有性质P；找到S中的某个a没有性质P，则性质P并非S的所有元素都有性质P，即假设错误。例如，假设对任意自然数n，f（n+1）=n2+n+41是素数。反例：n=40，f（41）=402+40+41=41不是素数，而是合数，所以，对任意自然数n，f（n+1）=n2+n+41是素数，命题为假。

7.反证法

有时，原命题不易证明，要指导学生可以利用原命题与逆命题等价的原理，来证明逆命题，从而证得原命题。可以让学生找找课本中那些例子是这样的。

四、要指导学生熟悉定理的运用

我们教师都知道，是否理解了某个定理，要看是否会应用定理。事实上，懂而不会应用的知识是不牢靠的，是容易被遗忘的。只有在应用中加深理解，才能真正掌握。对此，学生每学一个定理，我就加强指导学生，应用所学的定理去解答有关实际问题，一是用好教材及教辅资料对应的练习题，二是准备好历年中考试题，或者对中考试题加以改编，让学生及时做题训练，强化对定理的应用。实践证明，这是掌握定理的重要环节。在这个过程中，教师要指导学生领会定理的使用范围，明确应用时的注意事项，把握应用定理所要解决的问题的类型。

五、要指导学生及时整理定理的系统

数学的系统性很强，任何一个定理都处在一定的知识体系之中。作为教师，要指导学生：注意弄清每个定理的地位和作用，以及定理之间的内在联系，从而，在整体上、全局上把握定理的全貌；要注意搞清每个定理在知识体系中的来龙去脉，在每个阶段学习结束时，应及时小结，运用图标、表解等方法，把学过的定理进行系统的整理。

公式是一种特殊形式的数学命题。要指导学生知道：不少公式也是以定理的形式出现的，如勾股定理、正弦定理、余弦定理、二项式定理等等，对定理学习的要求，同样也使用于公式学习。由于公式还有一些自身的特点，所以，在公式的学习中，要重视公式的意义，掌握公式的推导，弄清公式的由来，善于对公式进行变形和逆用；要根据公式的外形和特点，设法记忆公式，通过练习，加强公式的应用。

参考文献：

[1]初中数学课程标准

[2]初中数学教材

[3]中学数学教学法

[4]相关网络文章endprint

【摘要】初中生学习定理，我要求学生做到“五要”：要指导学生了解定理的由来；要指导学生认识定理的结构；要指导学生掌握定理的证明；要指导学生熟悉定理的运用；要指导学生及时整理定理的系统。

【关键词】数学定理 学习

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）11-0076-02

随着课程改革的发展趋势，课堂教学改革显得尤为重要，已经成为教师谈论教改的热门话题。教师除了会“教”，更重要的是要求学生会“学”。学生会“学”不是天生的，还需要教师的指点。下面从我多年的初中数学教学，对初中生的数学定理学习指导，谈点教学的点滴经验，与同仁共勉。

数学中的定理，是经过数学证明了的真命题，它是数学知识的重要组成部分，初中生学习定理，我要求学生做到“五要”。

一、要指导学生了解定理的由来

数学定理是从现实世界的科技形式或数量关系中抽象出来的。一般说来，数学定理在现实世界中总能找到它的原型。教师在学生学习时，应尽量把定理的内容与对具体事物的观察、测量、计算等实践活动联系起来，理解定理的具体内容。对有些抽象的定理通过熟悉它的推理过程和方法，加深对定理的理解。从高中考的应用题考察中，我们不难发现，考题所涉及的应用材料，都是来源于社会生活。没有平时的教学训练指导，学生又怎么对定理会运用自如。

二、要指导学生认识定理的结构

这就是说，要指导学生弄清定理的条件和结论，分析定理所涉及的有关概念、图形特征、符号意义，将定理的已知条件和求证确切而简练地表述出来，特别要认清定理的条件和结论间的制约关系。其实，无论是高考，还是中考，其应用题都是对定理的运用或综合运用。

三、要指导学生掌握定理的证明

定理的证明是定理学习的重点，首先应掌握证明的思路和方法，为此，指导学生在学习过程中，应注意分析，把分析和综合结合起来。用分析法来寻求证明的思路，了解证明的来龙去脉，然后用综合法叙述证明的过程。要求学生在叙述时：注意连贯、完整、严谨。这样做，才能加深对定理的理解，使学生不仅知其然，还要知其所以然，有利于定理的掌握和运用。下面介绍我在教学中，指导学生掌握定理常用的几种证明方法。

数学证明的方法就是演绎推理的方法。就是从一个或几个已知判断出发，推出一个新的判断的思维形式（以下P、Q、R表示判断）。

1.假言推理

若P真，且若P则Q，则Q真。例如：

P：直线x+2y+3=0与直线2x-y-1=0，

若P则Q：如果两直线的斜率之积为-1，那么，这两条直线垂直

Q：这两条直线垂直。

2.传递推理

若P则Q，且若Q则R，则若P则R。例如，

P：如果一个三角形的两个角，分别与另一个三角形的两个角对应相等；

Q：那么，这两个三角形的所有三个角对应相等；

R：两个三角形相似。于是，

若P则Q：如果一个三角形的两个角，分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么，这两个三角形的所有三个角都对应相等。

若Q则R：如果这两个三角形的所有三个角都对应相等，那么，这两个三角形相似。

若P则R：如果一个三角形的两个角，分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么，这两个三角形相似。

3.演绎推理

若有假设P及其真判断Q1，Q2，…Qn的集合，可推出R，则由Q1，Q2，…Qn可推出：若P则R。例如，

P：两直角三角形的两条直角边对应相等，

Q1：直角三角形的直角必相等，

若P和Q1则R：两个三角形对应边及其夹角对应相等，则两个三角形全等，

若P则R：两直角三角形的两条直角边对应相等，则两个直角三角形全等。

4.列举法

若P1则Q，若P2则Q，…，若Pn则Q，若（P1或P2或…Pn）则Q。这样的例子是很多的，例如，要证明“一个圆周角的度数，等于它所对弧的度数的一半”，只要分三种不同的情况来证明：即当圆心在圆周角内、在圆周角外、在圆周角的一边上，于是命题成立。

5.数学归纳法

若对自然数1有性质P，且对每个自然数K，若K有性质P，即可推出K+1有性质P，则对每个自然数均有性质P。

以上五种方法都是直接演绎证明的方法，虽然还有其他直接演绎证明的方法，但在初中阶段数学学习中，主要是直接的演绎推理证明方法。要指导学生，对某一个定理问题的证明，常常要把这些方法结合起来使用。

6.反例法

假若对集合S中的任意x，都有性质P；找到S中的某个a没有性质P，则性质P并非S的所有元素都有性质P，即假设错误。例如，假设对任意自然数n，f（n+1）=n2+n+41是素数。反例：n=40，f（41）=402+40+41=41不是素数，而是合数，所以，对任意自然数n，f（n+1）=n2+n+41是素数，命题为假。

7.反证法

有时，原命题不易证明，要指导学生可以利用原命题与逆命题等价的原理，来证明逆命题，从而证得原命题。可以让学生找找课本中那些例子是这样的。

四、要指导学生熟悉定理的运用

我们教师都知道，是否理解了某个定理，要看是否会应用定理。事实上，懂而不会应用的知识是不牢靠的，是容易被遗忘的。只有在应用中加深理解，才能真正掌握。对此，学生每学一个定理，我就加强指导学生，应用所学的定理去解答有关实际问题，一是用好教材及教辅资料对应的练习题，二是准备好历年中考试题，或者对中考试题加以改编，让学生及时做题训练，强化对定理的应用。实践证明，这是掌握定理的重要环节。在这个过程中，教师要指导学生领会定理的使用范围，明确应用时的注意事项，把握应用定理所要解决的问题的类型。

五、要指导学生及时整理定理的系统

数学的系统性很强，任何一个定理都处在一定的知识体系之中。作为教师，要指导学生：注意弄清每个定理的地位和作用，以及定理之间的内在联系，从而，在整体上、全局上把握定理的全貌；要注意搞清每个定理在知识体系中的来龙去脉，在每个阶段学习结束时，应及时小结，运用图标、表解等方法，把学过的定理进行系统的整理。

公式是一种特殊形式的数学命题。要指导学生知道：不少公式也是以定理的形式出现的，如勾股定理、正弦定理、余弦定理、二项式定理等等，对定理学习的要求，同样也使用于公式学习。由于公式还有一些自身的特点，所以，在公式的学习中，要重视公式的意义，掌握公式的推导，弄清公式的由来，善于对公式进行变形和逆用；要根据公式的外形和特点，设法记忆公式，通过练习，加强公式的应用。

参考文献：

[1]初中数学课程标准

[2]初中数学教材

[3]中学数学教学法

[4]相关网络文章endprint

【摘要】初中生学习定理，我要求学生做到“五要”：要指导学生了解定理的由来；要指导学生认识定理的结构；要指导学生掌握定理的证明；要指导学生熟悉定理的运用；要指导学生及时整理定理的系统。

【关键词】数学定理 学习

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）11-0076-02

随着课程改革的发展趋势，课堂教学改革显得尤为重要，已经成为教师谈论教改的热门话题。教师除了会“教”，更重要的是要求学生会“学”。学生会“学”不是天生的，还需要教师的指点。下面从我多年的初中数学教学，对初中生的数学定理学习指导，谈点教学的点滴经验，与同仁共勉。

数学中的定理，是经过数学证明了的真命题，它是数学知识的重要组成部分，初中生学习定理，我要求学生做到“五要”。

一、要指导学生了解定理的由来

数学定理是从现实世界的科技形式或数量关系中抽象出来的。一般说来，数学定理在现实世界中总能找到它的原型。教师在学生学习时，应尽量把定理的内容与对具体事物的观察、测量、计算等实践活动联系起来，理解定理的具体内容。对有些抽象的定理通过熟悉它的推理过程和方法，加深对定理的理解。从高中考的应用题考察中，我们不难发现，考题所涉及的应用材料，都是来源于社会生活。没有平时的教学训练指导，学生又怎么对定理会运用自如。

二、要指导学生认识定理的结构

这就是说，要指导学生弄清定理的条件和结论，分析定理所涉及的有关概念、图形特征、符号意义，将定理的已知条件和求证确切而简练地表述出来，特别要认清定理的条件和结论间的制约关系。其实，无论是高考，还是中考，其应用题都是对定理的运用或综合运用。

三、要指导学生掌握定理的证明

定理的证明是定理学习的重点，首先应掌握证明的思路和方法，为此，指导学生在学习过程中，应注意分析，把分析和综合结合起来。用分析法来寻求证明的思路，了解证明的来龙去脉，然后用综合法叙述证明的过程。要求学生在叙述时：注意连贯、完整、严谨。这样做，才能加深对定理的理解，使学生不仅知其然，还要知其所以然，有利于定理的掌握和运用。下面介绍我在教学中，指导学生掌握定理常用的几种证明方法。

数学证明的方法就是演绎推理的方法。就是从一个或几个已知判断出发，推出一个新的判断的思维形式（以下P、Q、R表示判断）。

1.假言推理

若P真，且若P则Q，则Q真。例如：

P：直线x+2y+3=0与直线2x-y-1=0，

若P则Q：如果两直线的斜率之积为-1，那么，这两条直线垂直

Q：这两条直线垂直。

2.传递推理

若P则Q，且若Q则R，则若P则R。例如，

P：如果一个三角形的两个角，分别与另一个三角形的两个角对应相等；

Q：那么，这两个三角形的所有三个角对应相等；

R：两个三角形相似。于是，

若P则Q：如果一个三角形的两个角，分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么，这两个三角形的所有三个角都对应相等。

若Q则R：如果这两个三角形的所有三个角都对应相等，那么，这两个三角形相似。

若P则R：如果一个三角形的两个角，分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么，这两个三角形相似。

3.演绎推理

若有假设P及其真判断Q1，Q2，…Qn的集合，可推出R，则由Q1，Q2，…Qn可推出：若P则R。例如，

P：两直角三角形的两条直角边对应相等，

Q1：直角三角形的直角必相等，

若P和Q1则R：两个三角形对应边及其夹角对应相等，则两个三角形全等，

若P则R：两直角三角形的两条直角边对应相等，则两个直角三角形全等。

4.列举法

若P1则Q，若P2则Q，…，若Pn则Q，若（P1或P2或…Pn）则Q。这样的例子是很多的，例如，要证明“一个圆周角的度数，等于它所对弧的度数的一半”，只要分三种不同的情况来证明：即当圆心在圆周角内、在圆周角外、在圆周角的一边上，于是命题成立。

5.数学归纳法

若对自然数1有性质P，且对每个自然数K，若K有性质P，即可推出K+1有性质P，则对每个自然数均有性质P。

以上五种方法都是直接演绎证明的方法，虽然还有其他直接演绎证明的方法，但在初中阶段数学学习中，主要是直接的演绎推理证明方法。要指导学生，对某一个定理问题的证明，常常要把这些方法结合起来使用。

6.反例法

假若对集合S中的任意x，都有性质P；找到S中的某个a没有性质P，则性质P并非S的所有元素都有性质P，即假设错误。例如，假设对任意自然数n，f（n+1）=n2+n+41是素数。反例：n=40，f（41）=402+40+41=41不是素数，而是合数，所以，对任意自然数n，f（n+1）=n2+n+41是素数，命题为假。

7.反证法

有时，原命题不易证明，要指导学生可以利用原命题与逆命题等价的原理，来证明逆命题，从而证得原命题。可以让学生找找课本中那些例子是这样的。

四、要指导学生熟悉定理的运用

我们教师都知道，是否理解了某个定理，要看是否会应用定理。事实上，懂而不会应用的知识是不牢靠的，是容易被遗忘的。只有在应用中加深理解，才能真正掌握。对此，学生每学一个定理，我就加强指导学生，应用所学的定理去解答有关实际问题，一是用好教材及教辅资料对应的练习题，二是准备好历年中考试题，或者对中考试题加以改编，让学生及时做题训练，强化对定理的应用。实践证明，这是掌握定理的重要环节。在这个过程中，教师要指导学生领会定理的使用范围，明确应用时的注意事项，把握应用定理所要解决的问题的类型。

五、要指导学生及时整理定理的系统

数学的系统性很强，任何一个定理都处在一定的知识体系之中。作为教师，要指导学生：注意弄清每个定理的地位和作用，以及定理之间的内在联系，从而，在整体上、全局上把握定理的全貌；要注意搞清每个定理在知识体系中的来龙去脉，在每个阶段学习结束时，应及时小结，运用图标、表解等方法，把学过的定理进行系统的整理。

公式是一种特殊形式的数学命题。要指导学生知道：不少公式也是以定理的形式出现的，如勾股定理、正弦定理、余弦定理、二项式定理等等，对定理学习的要求，同样也使用于公式学习。由于公式还有一些自身的特点，所以，在公式的学习中，要重视公式的意义，掌握公式的推导，弄清公式的由来，善于对公式进行变形和逆用；要根据公式的外形和特点，设法记忆公式，通过练习，加强公式的应用。

参考文献：

[1]初中数学课程标准

[2]初中数学教材

[3]中学数学教学法

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