简而不薄 精而不拘

陈亚敏

数学是培养自律性、条理性、创造性及精确性的一门学问。高斯说：“数学是自然科学的女王。”教育家加里宁说：“数学是思维的体操。”一堂好的数学课，能让人回味无穷，也许并不一定每一个环节都无可挑剔，但是它一定清简而不浅薄，精致而不拘束，绽放自己独特的魅力，让学生穿行其中，自由生长。

一、让课堂绽放简约之美

学数学，其实是学习一种化繁为简、解决问题要有依据的数学思想，是在学习一种思维方法。因此，数学课堂要尽可能地引导学生体会到数学的价值，体会到数学那种凝练的思考之美，那种简约的表达之美。

1.去同存异，让“比较”化繁为简

比较数据的大小，是数学中常见的思维训练。从低年级“直接比较数的大小”到中高年级“比较算式的大小”，从简单到复杂，思考的要求也越来越高。但是，如果我们教给孩子们“比较”的方法，亦能让学生感受到“比较”所带来的简约之美。

例如，苏教版数学六年级补充习题上有这样一道题：

小兰家有两个不同的圆柱形水桶，高都是40厘米，大水桶的内直径是32厘米，小水桶的内直径是大水桶的，用大水桶提6桶水可以把水缸装满，用小水桶提8桶水能把水缸装满吗？

这是小学数学“空间与图形”领域的内容，考查学生对圆柱的体积（容积）计算是否能正确应用，难度不大，但是按照常规的比较，这一题的计算过程十分繁琐，计算结果数值较大。具体如下：

①计算水缸的容积（即6个大桶的容积）

3.14×（32÷2）2×40×6=192921.6（立方厘米）。

②计算8个小桶的容积

32×=24（厘米），

3.14×（24÷2）2×40×8=144691.2（立方厘米）。

③比较192921.6﹥144691.2。

得出结论：用小水桶提8桶水不能把水缸装满。

结果，全班只有寥寥几人做对，算式列对了，但是计算错误了。

当时，我就引导学生：是否需要通过这么繁琐的计算来比较？比较6大桶水的体积和8小桶水的体积大小，其实只要比较什么？

学生开始讨论，很快得出结论：两个算式中都要乘以3.14和40，可以“对消”掉。等于是两个算式同时缩小3.14×40倍，这样比较两个算式的大小可以简化成比较162×6和122×8的大小了。

受此启发，孩子们很快又想出另外的方法，只要看6大桶和8小桶水的体积比，这样计算更简单，可以约分，=。由此看出，8小桶水的体积只是6大桶水体积的。

我让学生概括一下这次比较后的收获。学生说，在比较两个算式的大小时，不一定非要比较结果，可以根据算式的特点进行比较。如果两个算式中有相同的数值，可以“对消”掉，直接比较算式中不同的部分，这样比较起来更加简单。

也许，学生的表达不是很精确，但是我想他们已经能领略其中的意思了：那就是比较可以“去同存异”，比较两者不同的地方。

当然，我还得引导学生去突破另一个思维定势，那就是如果要比较出具体的数据大小，是否也可以直接计算算式中不同的部分？

我追问：那你认为6大桶水比8小桶水的体积多多少？

一些学生脱口而出：162×6-122×8=1536-1152=384（立方厘米）。

“是吗？”我反问到，“请好好想想！”

“不对！”一些原本做对的同学很激动地站起来，“应该是192921.6-144691.2=48230.4（立方厘米）。”

“怎么出现了两种不同的答案？难道我们刚才比较的方法错了吗？”

学生沉默了一会，开始在小组里展开讨论，很快，答案出来了：比较的方法没错，当我们不需要比较出两者的具体数据时，完全可以用这样的方法。但是，其实3.14和40并没有真的“消掉”，在具体计算时，它们还是存在的，所以需要比较具体的结果时，它们必须乘进去。当然算式可以简写成3.14×40×（162×6-122×8）=3.14×40×384=48230.4（立方厘米）！

许多刚才有困惑的孩子露出了恍然大悟的表情，有几个在嘀咕：看来数学还蛮有趣的，比较算式的大小还有这样的学问。这次比较的思维历程，给学生留下了深刻的印象，在接下来的学习中，开始从原来的机械比较走向化繁为简的比较，我想这也是学生的思维从表面转向深入的一种体现！

2.理清关系，让思考化繁为简

数学中，其实还有很多错综复杂的关系，在空间与图形这一领域显得尤为突出。但是一旦找准了图形之间的关系，对于解决一些数学问题就会事半功倍了！

例如：已知图1中，正方形的面积是10平方厘米，你知道圆的面积是多少吗？

结果，很多孩子找不到“线索”——无法算出圆的直径。因此有些学生最终没能给出答案。

其实，学生的思维受到了定势的影响，认为要算圆的面积必须先算出圆的半径。遇到这样的题，老师要引导学生尽量从圆与正方形之间的关系上下工夫，引导学生发现：这是正方形内最大的圆，圆的直径就是正方形的边长。如果将正方形这样分（如图2），那么10÷4=2.5，这个2.5就是圆的半径的平方。因此，这个圆的面积就是3.14×2.5=7.85（平方厘米）。

当然，解决这样的问题还可以抓住一些特定的关系。在苏教版数学第十二册第102页中，有这样的探究（如图3）：

有两个边长都是6厘米的正方形，在其中一个正方形里画一个最大的圆，另一个正方形里画4个相等的尽量大的圆。

（1）圆的半径各是多少？

（2）两个正方形里圆的面积各是多少？各占正方形面积的百分之几？

（3）如果像这样在正方形里面画9个相等的尽量大的圆，这9个圆的面积之和占正方形面积的几分之几？你发现了什么？endprint

当我们引导学生逐一探究上面的3个问题，学生会发现：像这样在正方形里画1、4、9、16……个尽可能大的圆，这些圆的面积之和都占正方形面积的78.5%。

利用这个知识，我们可以很快算出图2中圆的面积是10×78.5%=7.85（平方厘米）。

因此，如果我们引领学生去发现数学中存在的各种关系，可以很好地帮助学生理解题意，寻找合理的解题策略，从复杂繁琐的无效思考中解脱出来，感受数学思考中化繁为简带来的美妙体验！

简约的课堂总在不经意间显得轻松和简洁。这里，简洁的教学方法、明快的教学节奏的背后，是教师深邃的教学思考和经验。“简而不薄”，才能洗出“白水明田处，碧峰出山后”的清简味道。

二、让课堂绽放“厚实”之美

提高学生的数学认识，发展学生的数学思维，培养学生的数学情感是我们数学课堂教学关注的焦点，也是新课标倡导的理念。数学特级教师潘小明曾经用“冰山原理新解”对这三者之间的关系做过形象的说明：数学知识是显性的，是浮出水面的“山头”;数学情感是隐性的，是在水面下面支撑着整座“山”的重要基座;而数学思维是一个重要的中介，数学知识、数学情感都是寓于数学思维活动中的。我们的数学课堂教学应该注重创设有价值的问题情境，以此来构建一个有宽度、有深度的“思维场”，它开放而蕴含数学的价值，它能激活经验，产生意向，激发创造。

1.构建有宽度的思维场

长方体与正方体的体积公式，除了有一般与特殊的关系（正方体是特殊的长方体，正方体的体积公式是长方体体积公式的特例），还有相同的内容——它们都可以用“底面积×高”来计算。《长方体和正方体的体积》这节课就是让学生掌握这一公式。我是这样开展教学的：

（1）观察复习中的图（如图4）。

师：根据你的经验，你认为这里的长×宽、棱长×棱长分别求的是什么？

生：下面的面积。

师：是的，我们一般称这样的面为底面。长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。

（2）认识长方体不同位置放置时的底面。

师出示一长方体盒子。提问：老师这儿有一个长方体，我这样放你能指出它的底面吗？这样放呢？

（在不同的位置摆放长方体，每摆放一次让学生进行指认哪个面是底面。）

提问：在刚才这个操作中，你有什么新的认识？

生：摆放位置不同，得到的底面也不同。

师：说得好，这个认识对我们解决实际问题非常重要。

对底面的拓展认识，打破了学生的思维定势，使学生更加灵活而全面地认识到只要摆放位置不同，长方体的六个面都可以作为底面，这为今后灵活解决体积计算问题作了很好的铺垫。其实，这一环节所呈现的问题情境把学生的思维由对底面的单一认识拓展到比较全面的认识，构建了一个有宽度的思维场。

2.构建有深度的思维场

教育学告诉我们：数学既能锻炼人的形象思维能力，又能锻炼人的逻辑思维能力，主体思维善于在事物的不同层次上向纵、横两个方向发展，向问题的深度和广度发展，以此达成对事物的全面认识。为此，有经验的老师不但注重构建有宽度的思维场，还努力向深处发展，引导学生构建一个既有宽度又有深度的数学思维场。

在《长方体和正方体的体积》一课的教学中，我设计了如下教学环节：

课件展示，帮助学生理解什么叫“横截面”。

学生独立计算，组织全班交流：木料的横截面就是这个长方体的哪个面？木料的长与竖起来的长方体的高有什么关系？通过这道题你对底面积和高有什么新的理解吗？（底面积和高有时可以变成横截面面积和长）

出示下图：

这幅图中已知了哪个面的面积？如果知道哪条棱的长度就可以求出它的体积了？（根据学生的回答出示：宽8分米，你能口算出这个长方体的体积吗？）

学生列式计算后交流。

提问：从这两个问题中，你又有什么新发现？

生：解决这个问题可以把前面看作底面，把宽看作高。

师：对，不一定要以水平放置的面作底面。应根据问题的需要来决定，哪个面利于问题的解决，就确定哪个面为底面，与它垂直的棱的长度就是它对应的高。

这一环节，通过计算横截面的面积，引导学生进一步认识这个面，并体会长方体、正方体的体积公式还能演变成长×横截面面积、横截面面积×棱长。而拓展题所创设的问题情境，则让学生运用知识迁移领悟到：可以根据解决问题的实际需要来确定底面，同时把与底面垂直的棱的长度作为高，以此把长方体和正方体的体积计算挖掘得更加深刻，从而把学生的思维引向深入。通过这样的处理，学生对体积公式有更充实、更丰富、更深入的体验。

“厚实”的数学课堂，总会在不经意间显示其独特的魅力，它延伸着课堂的宽度和深度，揭示着数学问题的实质，帮助学生提高思维的凝练，从而提高数学课堂教学的有效性。你看不到故意，但是你能感受它的深度。

三、让课堂绽放灵动之美

新课程标准最大的变化在于明确指出要关注课堂生成。我们可以有精彩的预设，可以有完美的引导，但是一切的一切还在于“精而不拘”——要在精彩的预设中把目光投向学生在课堂教学中的实际表现，投向学生的生成，投向教学与生活的联系。

教学“打折问题”时，有一节专门的练习课，备课时我联想到平时一直有“买几送几”的促销活动，再加上曾经在练习中做过一个类似的“买四送一”的练习，想到要让学生学会“合理选择”，我便设计了一个拓展性的内容。商场正在促销：A商场篮球打八折，B商场篮球买三送一。

如果单从字面上理解：B商场其实是打了七五折。但是，它有一个附带条件：就是要买满3个才送。因此，为了让学生更加全面地理解“合理选择”，我设计了三个问题：

（1）小明买一个篮球，选哪个商场？（因为只买一个，所以选择A商场。）endprint

（2）学校买10个篮球，选哪个商场？（如果在A商场买，实际付8个篮球的钱;如果在B商场买，也是付8个的钱，先买6个，送到了2个，再买2个，所以随便选哪个商场都是一样的。）

（3）学校买20个篮球，选哪个商场？（如果在A商场买，实际付16个篮球的钱;如果在B商场买，只要付15个的钱，因为能送到5个，所以选B商场比较合理。）

问题出来后，孩子们开始热烈讨论起来，对于第1个，基本没有意见，有的孩子解释道：尽管表面上看B商场是打七五折，但是总不能为了送一个去买三个吧，小明只要一个球就可以了，所以选A商场。

第三个也没有大的争议。

对于第二个，可能有点难度，讨论了一会儿，我启发了一下才说到哪个商场买都是一样的。这时，小李高高举手，他说他有不同想法，于是请他谈谈想法。他说，在B商场买6个，送了2个，这样有8个;然后跑到A商场买2个，还打到了八折。这样不是更便宜啊！

是啊，有的学生开始附和。说实话，我不得不佩服学生短时间内思考出来的方法，比我花了心思的预设要精彩！

有的学生反驳：如果两个商场离得很远，还得开着汽车去，那还是不要跑来跑去了！

也有道理！

惊奇于学生的思维，也很惊喜地听到这样与众不同的答案。合理选择本身没有一定正确的答案，我的本意就是引导学生了解生活中的实际问题，在面对各种打折时作出合理的选择，既然学生已经能这样思考了，那么我的教学目标也就达成了。

我表扬了小李：你这样选择确实比我的更便宜！当然，生活中的合理选择还有更多的情况，有的人在选择的时候，也许不只是看重价格;有的人在选择时，还注重商家的信誉;有的人在选择时，可能有数量的需求等等，所以大家以后也要做出：合理选择！

研究“苏派教学”的专家们指出：课堂可以精耕细作，但精致不是追求极致，不是追求游离内容的形式，也不是拘泥于无意义的细节，而是在宏观和全局的视野中去设计和生成，“活实兼重”。活中见实，实中有活，在活与实的相谐中，追索教学的智慧……是的，“精而不拘”才能使我们的数学课堂灵动而不僵化。

“简而不薄，精而不拘”的数学课堂看似简洁、随意，但它会聚焦课堂教学的本质，关注学生基础知识和基本技能的形成，关注数学思维和数学思想的形成。作为一名数学教师，要有深邃的数学教学、数学思考的能力。只有这样，才能真正让数学课堂清简、灵动、厚实而又精致。？筻endprint