数形共舞 灵动课堂

黄普庆

“数”和“形”是小学数学教学的研究对象，是贯穿小学数学教材的两条主线。数形结合既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。在教学中合理运用数形结合策略，有助于从现实生活和具体情境中抽象出数学问题，有助于把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，有助于提高学生学习数学的兴趣和应用意识。

一、数形结合，能化本于形，有助于建立概念模型

有效建立抽象的数学概念与形象的图形之间的联系，把数和形结合起来，并用恰当的图形把数学概念中最本质的属性演示出来，有利于丰富学生的感性认识，帮助他们主动建构表象。

如教学“面积的意义”，先让学生看、摸、比身边的物体的面，初步感知面积的意义，然后课件呈现几个规则和不规则的平面图形，让他们把周长描成红色，把面积涂上绿色，最后通过观察比较，可以轻松地建构面积概念，并很容易抓住“周长是线，面积是面”的本质，从而正确区分面积和周长这两个容易混淆的概念。再如教学“体积的意义”，为使学生理解“物体所占空间的大小”，先给学生呈现满满的一杯沙子，然后将一个正方体木块放进杯子里，结果放不进去，如果放进去了，沙子就会溢出来。通过实验，使学生明白，这里的沙子和正方体都占有一定的空间，它们所占空间的大小就是它们的体积。这样本来是学生很难理解的一个概念，尤其是“什么是空间，它的大小又是怎样比较的？”这个问题，通过简单的实物演示，就让学生很容易理解了。这样借助学生熟知的能够触摸和直接感知的有形物体，能帮助学生形成鲜明的表象，再让他们通过观察、比较、分析、抽象、概括，从而建构概念。

二、数形结合，能化难为易，有助于寻求数量关系

数形结合可以使数量关系的精确性与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，用正确的方式画图表达出题意，可以达到把题目的抽象叙述变为直观呈现，达到化繁为简、化难为易的目的，从而使问题迎刃而解。

如“两个数相乘，如果一个因数增加3，另一个因数不变，那么积增加18;如果一个因数不变，另一个因数增加4，那么积就增加200。问原来的积是多少？”这道题很多学生在读完题后都束手无策，原因是在两个因数都不知道的前提下，学生不知道怎么求这两个数的积是多少。实际上如果引导学生根据积的变化规律去思考，就有部分学生能发现：这一题中积增加18是因为增加了3个第二个因数，所以第二个因数就是18÷3=6;而积增加200是因为增加了4个第一个因数，所以第一个因数就是200÷4=50;由此得出原来的积是50×6=300。但仍然会有相当一部分学生还是处于半懂半不懂的状态，此时可引导学生换个角度思考，先假设这两个数分别是长方形的长和宽，就可得出它们的乘积就是这个长方形的面积，然后得出：长增加3，宽不变，这个长方形的面积增加18;长不变，宽增加4，面积增加200，得出图1。然后引导学生观察图1中两个增加部分分别是什么形状？它们的“长”分别是多少？它们的“长”跟原来长方形的长和宽有什么关系？这样，学生就很轻松地得出：要求原来长方形的面积（两个数的积），可以先根据宽不变，长增加3，面积增加18，用18÷3求出宽是6;再根据长不变，宽增加4，面积增加200，用200÷4求出长是50;最后用50×6=300求出长和宽的积，也就是两个数的积。由此可见，数学上的“数”和“形”是密不可分的，只要运用得当，有时会收到意想不到的效果。

三、数形结合，能化隐于明，有助于发现事物规律

如“找规律”中的“一一间隔排列”，教材例题只给学生呈现出“生活中的两种物体一一间隔排列，且两端物体相同”的现象，学生很容易就发现了这两种物体个数之间的关系。这是因为他们对生活中的这些现象本身就很熟悉，并已具备一定的认知经验。但对于其他的一些变式现象，如：同样的一一间隔排列，如果两端的物体不一样，那这两种物体的个数之间的关系是怎样的？将这种排列现象化直为曲，围成封闭的一圈，这两种物体的个数之间的关系又是怎样的？这些隐含的规律，学生就不易掌握。作为教师，可以把握时机，借助图形，为学生呈现这两种排列现象，让他们观察、比较、分析、概括，他们不仅能很好地掌握这类排列现象隐含的规律，而且从中能获得不一样的体验，从而明确，解决生活中的问题一定要立足于生活实际，不能一概而论。

数形结合，把要解决的有关数学规律借助图象表现出来，不仅可以将一些生活现象隐含的规律置于明处，帮助学生更好地探究、发现、理解数学规律，而且通过对图象的解读、分析，可以进一步提升学生自主学习的能力，为后面的学习积累一定的学习经验。

四、数形结合，能化教为学，有助于培养求异创新

陶行知说：“处处是创造之地，天天是创造之时，人人是创造之人。”在数学教学活动中，通过数与形的结合，不仅可以将一些难以叙述的语言简明化、形象化，使人一目了然，而且可以给枯燥的数学学习带来一些乐趣，唤起学生探究的热情，使他们愿意从不同的角度、不同的方向去思考问题，从而养成多向性思维的好习惯。

如“三角形面积公式的推导”，在教学中，教师一般只注重引导学生将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，然后由平行四边形的面积公式推导出三角形的面积公式。而对于其他的方法，教师一般都只字不提，或是因为课堂时间的关系，或是因为难度较大，难以向学生讲清楚。实际上对于多种三角形的面积计算方法，完全可以在课前布置学生回家自己去探究。我在上这一节课时，前一天就给学生布置一个任务：回家想想有哪些办法可以将三角形变成我们可以计算面积的平面图形，到第二天再在班上说给大家听。结果第二天，在组织学生探究三角形的面积计算方法时，他们给出的答案有些真是出乎我的意料，但当我让他们说说自己具体的做法或依据时，他们说了半天也说不清楚，于是我就让他们动手展示自己的做法，借助图形的演示，他们很轻松就明白了。“授人以鱼，不如授之以渔”，教师教得再好不如学生自己发现好，更不如创造性的发现来得好。endprint

五、数形结合，能化繁为简，有助于优化解题思路

“数形结合”是重要的解决问题的策略之一。借助图形，可以化繁为简，即把繁难的题目转化成简单的题目，把抽象的题目转化为具体的题目，它对解决问题有迎刃而解的妙处，同时还可以向学生渗透优化的思想。

如教学“解决问题的策略——转化”一课，“试一试”中有这样一道题目： + + + = 。在不给出图形的情况下，学生大多都是选择先通分再相加的方法进行计算。若继续加上 ， ……学生就会感到计算很麻烦了。这时教师可以引导学生观察这几个分数，找出它们之间的联系，并复习分数的意义，然后引导学生画图（如图2）：用一个正方形表示“1”，先依次将正方形平均分成二份、四份、八份、十六份，然后在正方形里面标出每个分数。最后让学生观察，他们就会发现这四个分数的和就是图2中的阴影部分，它和“1”相差了 ，如果换个角度思考，将正方形看做“1”，将正方形中剩余的部分减去就得出它们的和了，即1- = ，由此马上想到如再加上 （如图3），它的计算结果就是1- = 。这样原本一道很复杂的计算题，在借助图形直观演示后，学生就找出了非常简单的解决此类问题的方法。

图2 图3

再如“一个圆柱的侧面积是314平方厘米，底面半径是5厘米，求这个圆柱的体积。”学生一般都是先求圆柱的高314÷（3.14×5×2）=10（厘米），然后计算圆柱的体积3.14×52×10=785（立方厘米）。如此列式，在现行小学阶段，可以说是相当复杂的了。换个角度思考，借助图形演示，引导学生把这个圆柱体的底面沿直径等分成若干扇形，并切割圆柱体，然后把切开的圆柱体拼成近似的长方体，平放于前。学生就会发现这个长方体的底面积是圆柱侧面积的一半，高就是圆柱底面的半径，因此它的体积可以直接运用“314÷2×5=785（立方厘米）”求出，既方便又快捷，并由此引导学生得出“圆柱的侧面积÷2×半径=圆柱的体积”，反之“圆柱的体积÷半径×2=圆柱的侧面积”。

六、数形结合，能形成思想方法，有助于焕发数学生命力

课程标准指出“数学思想要体现螺旋上升的原则。”小学数学不仅应传授给学生数学知识，更重要的是培养学生的数学思想方法。布鲁纳曾说：掌握基本的数学思想方法，能使数学更易于理解和记忆，领会基本的数学思想方法是通向迁移大道的“光明之路”。

数形结合是一种数学思想，它贯穿于数学教学的各个领域。“数”能解“形”，“形”能辅“数”，两者有效结合，往往能使看上去比较难的问题简单化、明朗化，收到意想不到的效果。但要想帮助学生牢固树立数形结合的思想，培养学生主动运用数形结合的方法去解题的意识，并不是一两天、一两个月，或是一两个单元教学所能达到的。作为教师，只有在平时的教学实践中，立足于教学内容和学生实际，挖掘教材中可以运用数形结合思想方法的知识，合理利用数形相结合的方法教学，同时，将数学与生活中的事物联系起来，将学生熟悉的生活事物与数学知识结合起来，从而使学生更容易掌握和运用。经过反复的实践、不断的渗透、不断的积累，学生就会慢慢树立数形结合思想，并体验到这种思想带来的好处，他们才愿意并主动运用这种思想和方法去解决问题。

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事非。”总之，要使数形结合的方法更好地为教学服务，只有从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，让数形结合思想方法教学成为一种有意识的教学活动，并落到实处。

（责编 金 铃）endprint