让数学操作活动更富有智慧

戴丽云

数学操作活动作为学生探究新知的重要学习方式之一，随着课程改革的深入实施，越来越受到广大教师的重视。的确，有效的数学操作活动不仅有利于学生对知识进行“再创造”，而且能有效启迪学生的思维，激发学生的智慧。但在当下众多的数学课堂中，我们仍看到有相当多的教师往往采用指令性的教学方式，把操作活动的要求、方法等强加给学生，导致学生仅做机械的“操作工”，使数学操作活动失去启迪思维、激发智慧的作用。那么，如何改进才能让数学操作活动更富有智慧呢？下面，谈谈自己在听课比较中得到的启示。

一、理解概念定义的数学操作活动，使学生由概念的接受者转化为主动发现者

案例：教学“三角形按角分类”

课始，教师先出示三种不同情况的三角形，问学生：“在这三个三角形中，哪个三角形的三个内角都是锐角？”然后教师告诉学生三个内角都是锐角的三角形叫锐角三角形……

上述案例，学生可能会记住知识的结论，考试成绩也不差，但教师这样教学实际上剥夺了学生思考的权利，导致学生机械、被动地接受知识。如果我们遵循小学生的心理特征和认知规律，考虑到学生是具有主观能动性的人，就可以这样设计教学：先出示7个特征鲜明的不同的三角形，为研究方便可以给每个三角形的每个角都编上序号，再通过填表、分组、命名、定义、分类等五个环节进行教学。第一个环节，先让学生按照角序、角别、图序填表（如下）。通过填表既可以使学生对三角形内角的情况一目了然，又为下一步归纳、分析做好准备，并有机渗透了科学统计的数学思想方法。第二个环节，引导学生在分析7个三角形内角的共性和特性的基础上，对这7个三角形进行分组。第三个环节，让学生根据分成三组的三角形各自的特征，给它们取一个合适的名字，使学生感到有趣，从而调动了他们学习的积极性。第四个环节，让学生为每一种三角形下一个明确的数学定义，进而从7个三角形推广到所有的三角形，使学生对所学概念的感性认识上升到理性认识。第五个环节，引导学生在操作中发现任何一个三角形都在这三种三角形的范围之内，进而得出结论：三角形按角分类，应分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三种。这样教学可能需要花较多的时间，但它不仅仅是向学生教授数学的概念与方法，更重要的是重视了数学概念的发生和形成过程，克服了“概念+例题”的教学模式，注重引导学生形成知识结论的科学方法和科学态度，从而使课堂教学更多地体现人文性。

《数学课程标准》中指出“数学教学不仅要教给学生数学知识，而且要揭示获取知识的思维过程”“在教学中，应当注意数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成过程、发展过程，解题思路的探索过程，解题方法和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的能力”。上述概念教学中的一系列操作活动，使学生由知识的被动接受者转化为知识的主动发现者，不仅将所学知识记得牢，而且理解透彻。

二、内化作图技能的数学操作活动，使学生由操作步骤的被动执行者转化为主动建构者

案例：教学“平移”

师：图形的平移有哪些特点？下面，我们请这个金鱼图（如下）来帮助我们研究。

（多媒体播放金鱼图各部分笔直移动，但不是朝同一个方向移动的过程）

师：整个金鱼图的移动是平移吗？

生（大笑）：不是。

师：为什么？

生1：因为鱼都散了，鱼身向左移，鱼尾向右移……

师：那怎么样才能使整个金鱼图的移动是平移呢？

生2：每个部分都朝同一个方向移动。

师：好，那我们让鱼身和鱼尾都朝同一个方向移动。

（多媒体播放金鱼图各部分朝同一个方向笔直移动，但各部分移动的距离不一样的过程）

师：这下是平移了吧？

生（哄堂大笑）：不是。

师：为什么？

生3：这条鱼又散了。怎么鱼身一直向左移动，鱼尾向左移动几格后却停在那儿了呢？

师：那怎样才能使整个金鱼图的移动成为平移呢？

生4：每个部分移动的距离都要相等。

师：我们再来试试。

（多媒体演示金鱼图平移的过程）

生：成功了。

师：比较一下，平移前后的金鱼图有什么相同的地方和不同的地方？

生5：图形的位置不同了，图形的大小、形状完全相同。

师：下面，你们根据这些特点来判断一个图形是不是平移，同时考虑图形向什么方向平移了几格。

（师出示图形，学生先在独立思考的基础上进行小组讨论，再全班交流）

师：你们已经能根据平移的特点，数出一个图形向哪个方向平移了几格。那么，你们能画出三角形（如下图）向右平移6格后的图形吗？试试看。

师：下面，谁来展示交流自己的画法和想法？

生6：因为一个图形平移时，它任何部分移动的距离都相等，所以我先将三角形的3个顶点向右平移6格，再将它们连起来。

生7：我是先将三角形最上面的顶点向右平移6格，再数一数竖着的这条边的长，画出来后再数一数横着的这条边的长，画出来后……

生8：我是先将竖着的这条边向右平移6格，再……

一般教师在教学这一内容时，往往在学生感知物体平移现象后，直接要求学生画出平移的图形，并告知学生画的方法和步骤：先数一数平移的距离（多少格），再画出平移前后图形的对应点，最后将这些点连起来。这样教学，虽然学生能按教师的指令快速地掌握操作的基本要领，并有较多的时间进行反复训练，使学生逐步形成正确的操作技能，但也会导致学生成为操作步骤的被动执行者，这样的学习只能是机械的。上述教学中，教师先让学生观察两个平移的反例，总结出平移的特点，这就为学生自主构建画平移后图形的方法和步骤搭建好了“脚手架”。学生以“图形平移时，任何部分移动的距离都相等”的平移特点为生长点，运用想象、比较、判断、推理等思维方式，由理入法，自主构建了具有个性化的多种作图的方法和步骤。这些作图的方法和步骤，学生不仅知其然，而且知其所以然，使他们在获得新知的同时，思维能力也得到了训练和发展。endprint

三、探索公式推导的数学操作活动，使学生由“遵命而为”的操作者转化为操作活动的主动设计者

案教：教学“圆锥体积”

师（多媒体演示转笔刀将圆柱形铅笔的一头削卷成圆锥形的过程，并出示等底等高的圆柱与圆锥）：你认为这个圆锥与圆柱的体积之间有什么关系？

生1：它们的底面相同，高也相同，且圆锥的体积是圆柱体积的一部分。

师：请你猜想一下，这个圆锥的体积大约是这个圆柱体积的几分之几？

生2： 。

生3： 。

生4： 。

……

师：到底谁的猜想正确呢？如果给你们一些工具和材料（如等底等高的圆柱和圆锥形容器、同质材料制成的等底等高的圆柱和圆锥形实物、水、天平等），你们能设计一个操作实验来证明你们的猜想吗？

（学生小组讨论）

生5：我们小组认为，可以在圆锥形容器里装满水，再将水倒入与它等底等高的圆柱形容器里，如果倒2次正好倒满，说明圆锥的体积是圆柱体积的 ;如果倒3次正好倒满，说明圆锥的体积是圆柱体积的 。

生6：我们小组认为，可以在天平的一端放上一个圆柱，再在另一端放上圆锥，看到底放几个圆锥能使天平两端平衡，就能证明圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的几分之一。

生7：我们组认为还可以将圆锥和圆柱分别放在装水的容器中来测量。

……

师：请你们按自己小组设计的操作实验方案，来领取工具和材料进行操作实验。

……

教学这一内容时，一般由教师指定学生小组实验操作的步骤和方法，学生在这样的操作活动中成为“遵命而为”的操作工。我们认为，这样的操作活动与学生观察教师的演示实验所获得的结果差别不大。而上述教学中，教师先鼓励学生凭直觉猜想等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系，学生有了自己的猜想，就会产生需要验证自己猜想的欲望。接着教师出示操作实验的工具和材料，让学生设计验证猜想的操作实验方案。当各小组学生都确定了方案后，教师才放手让学生按自己的方案开展操作实验。在这样的教学过程中，学生自己引导自己的思维，自己设计操作实验活动的方法和步骤，自主经历猜想、假设、确定（或否定）的过程，从而品尝到创造、发现的喜悦，既长知识，又长智慧。

皮亚杰说过：“智慧自动作发端。”数学是一门抽象性、逻辑性很强的学科，而小学生的思维正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，动手操作活动不仅可以在数学知识的抽象性和学生思维的形象性之间架起一座沟通的桥梁，而且是发展学生智慧的重要途径。

（责编 蓝 天）endprint