在“变题”中把思维引向深入

蒋明玉

一、案例

在“圆的周长”的综合练习课上，笔者设计了下面这道题：求下列图形的周长（如图1）。

图1

在交流中，学生想到了以下这种思路，把“要求的周长”分成“两个部分”来思考（如图2）。

生1：细线周长：2π×4÷2=12.56（m）;

粗线周长：π×4=12.56（m）;

图形周长：12.56+12.56=25.12（m）。

图2

随着交流的深入，学生中有人提出了以下观点。

生2：既然细线部分长度等于粗线部分的长度，那么粗线的长度也等于大圆周长的一半（如图3），求“原来图形的周长”就可以转化成求“一个大圆的周长”。2π×4=25.12（m）。

图3

接着，笔者又将原题进行了适当改编，如图4。求下列图形的周长。

图4

生3：我猜想里面“三个小圆周长的一半”等于“大圆周长的一半”。

生4：我认为求“原来图形的周长”可以转化成“求一个大圆的周长。”π×8=25.12（m）。

师：如何验证这个猜想呢？

生5：设三个小圆的直径依次为d1、d2、d3，那么三个小圆周长的一半应该等于：

π×d1×+π×d2×+π×d3×=π×（d1+d2+d3）×

由于d1+d2+d3=8，所以π×（d1+d2+d3）×=π×8×，这样就可以发现：“三个小圆周长的一半”等于“大圆周长的一半”。由此发现，上面的猜想是正确的。

接着，笔者继续将题目改编成了如下的形状，如图5。求下列图形的周长。

图5

有了前面学习探究的基础，学生不难发现其中的规律，“这个不规则图形的周长”同样可以转化成“求一个大圆的周长”：π×8=25.12（m）。

二、反思

1.利用“变题”，突破了教学难点

通过“变题”的形式来设计题组，“形同质异”，这三道习题有一定的联系，更有比较大的区别。三道题的安排由易到难，数学思考的要求在逐步提高，难点在“变题”中逐步得到了突破。在探索规律的过程中，逐步培养学生学会“具体问题具体分析”的能力，有效克服死记硬背、就题论题等不良弊端，培养学生数学思维的灵活性和深刻性，使学生逐步做到举一反三，真正“知其然而又知其所以然”。

2.利用“习题组”，充分展现了规律的形成和发展过程

整个教学设计分成两个阶段，第1题的教学体现了“规律的形成”，第2、3题的教学则体现了“规律的发展”。通过展现规律的形成和发展过程来设计一组有联系的习题组，学生就可以多层次地探究问题，多角度地思考问题，同中求异、异中求同。从上例可以看到，数学教学要把“知识的形成和发展过程”展现给学生。“让学生看到思维过程”应是培养学生数学能力的有效途径之一。

（江苏省丹阳市华南实验学校 212300）endprint