例谈求解概率问题的技巧

李引学

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2014）6-0253-02

概率知识与现实生活息息相关。而且概率问题与函数、不等式以及统计初步等其他数学知识交汇在一起，可以考察学生综合运用概率的有关知识分析问题解决问题的能力，能体现数学高考在知识网络的交汇点命题的特点。因此，概率问题越来越受到命题者的青睐。由于概率问题具有一定的难度，学生学习及运用中会产生许多困惑，为了让学生能正确的理解并掌握，提高求解概率问题的技巧，本人结合具体实例谈谈几点看法，仅供参考。

一、注重知识的前后联系，处理好与排列组合的关系

求解概率问题时，往往要进行排列组合方面的思考，因此，具备娴熟的解排列组合应用题的能力是处理好这种问题的必要条件。

例：甲，乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲乙两人依次各抽一题，问甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？

错解 甲从选择题中抽到一题的可能结果有个，乙从判断题中抽到一题的可能结果有个，故甲抽到選择题，乙抽到判断题的可能结果有+个，又甲，乙依次抽到一题的结果有+个，所以甲抽选择题，乙抽到判断题的概率为

错因分析 把分步当作分类，错把分步计数原理当作分类计数原理来计算。正确的解法是甲抽到选择题，乙抽到判断题的可能结果有个，又甲，乙依次抽一题的可能结果有个，所以甲抽选择题，乙抽到判断题的概率为

二、正确转译和分解事件

许多学生在求解概率题时，不知道从何处下手，用什么样的公式，怎样来列算式。出现这种情况是因为这些学生没有扎实掌握基本概念，不会把一个复杂事件分解为若干个互相排斥或相互独立，既不重复也不遗漏的简单事件，这一点正是求解概率的关键。由于事件是借助集合运算来实现的，因此事件与集合语言之间的互译就成为本章的重点和关键了。

三、注重四种典型概率的模型作用，处理好概率运算中"+"、"-"、"×""、÷"的关系

解题时要对照概念，弄清楚题中各事件的关系，正确选用不同的运算类型。尤其是弄清楚四种典型概率中的"非等可能"与"等可能"；"互斥"与"对立"及"独立"等主要概念的区别与联系。

一般来说，主"+"型适用于互斥事件和的概率；主"-"型适用于对立事件中已知一方面的概率，再求对立事件的概率；主"×"型适用于相互独立事件的概率；主"÷"型适用于等可能事件的概率。

四、挖掘巧用数学思想方法

在概率问题中，蕴含着丰富的数学思想方法，例如集合思想、等价转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、正难则反、递推数列的思想等等，在求解概率问题时，尽可能的充分挖掘和运用数学思想方法，融汇和贯通与其他数学知识及其他学科的联系。

例：2人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20min，这时可以离去，试求这2人能会面的概率。

分析 设x，y分别表示2人7点后到达的时刻，0≤x≤60，0≤y≤60（单位：min），则两人会面的充要条件为.利用以上各式的几何意义求解.

解 设x，y分别表示2人7点后到达的时刻，0≤x≤60，0≤y≤60（单位：min），则两人会面的充要条件为.我们把满足条件0≤x≤60，0≤y≤60的区域表示为边长60（min）的正方形，结合线性规划知识，在直角坐标系中画出中x，y的可行域，运用数形结合思想，可得所求概率为：

五、注重概率问题情境生活化，用概率方法分析解决实际问题

加强概率知识与实际应用问题的联系，通过对实际事例的探究，掌握概率知识的基本思想与方法，并能应用其解决实际问题，从中体会运用概率思考问题的特点.形成用概率方法观察和分析问题的意识，同时使思维得以发散，个性得到发展.

例：某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检），若安检不合格，则必须整改。若整改后经复查仍不合格，则强制关闭。设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前的合格率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01）；

（1）恰好有两家煤矿必须整改的概率；

（2）平均有多少家煤矿必须整改；

（3）至少关闭一家煤矿的概率。

解析 （1）每家煤矿必须整改的概率是1-0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的.所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是：.

（2）由题设，必须整改的煤矿数服从二项分布B（5，0.5）.从而的数学期望是： .即平均有2.5家煤矿必须整改.

（3）某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合该，整改后经复查仍不合该，所以该煤矿被关闭的概率是P2=（1-0.5）×（1-0.8）=0.1，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意，每家煤矿是否关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是P3=1-0.95=0.41.

评注 本题是概率在实际生活中的一个非常典型的应用，该题以安检、整改的实际问题情境出现，强化了概率的实用价值，体现了数学来源于生活、服务于生活的宗旨，同时考察了概率统计知识的综合应用.

以上几点，只是自己在教学实践中的一点见解。没有最好，只有更好，我们每一位教育工作者只有在教学中，认真学习、领会、理解课程改革的意图，勤于思考，勇于实践，大胆创新，才能更好地完成新课程改革所赋予我们的职责。