以一道2014年高考题为例谈解析几何复习

黄力江

解析几何是高中数学的主干知识，每年高考都重点考查该知识点，但每年解析几何的得分率都不高.原因是考生在学习解析几何时有畏惧心理，认为解析几何很难，考试时不敢做，放弃解析几何大题.新课改这几年，解析几何的命题趋势相对稳定.下面，笔者以2014年高考广东卷理科第20题为例，谈一谈解析几何复习.

【例】 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）

的一个焦点为（5，0），离心率为53.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外的一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

本题的解答过程省略，下面笔者证明一个一般性的结论.

结论：已知曲线C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），若动点P（x0，y0）为曲线C外的一点，且点P到曲线C的两条切线相互垂直，则点P的轨迹方程为x2+y2=a2+b2.

解析：（1）当其中一条切线的斜率不存在时，则另一条切线的斜率为零，此时点P的坐标为（a，b）、（a，b）、（-a，b）或（-a，-b）.

（2）当切线的斜率存在时，则斜率亦不为零，此种情况为本结论证明的关键，下面笔者用以下几种方法来解决这个问题.

方法一：设切线方程为y-y0=k（x-x0），联立方程组

方法二：设其中一条切线的方程为y-y0=k（x-x0），则另一条切线的方程为y-y0=-1k（x-x0）

，联立方程组

方法三：设两条切线分别为l1，l2切线l1与椭圆C的切点为A（x1，y1），切线l2与椭圆C的切点为B（x2，y2），则l1的方程为x1xa2+y1yb2=1

.又P（x0，y0）在l1上，所以x1x0a2+y1y0b2=1

，同理

x2x0a2+y2y0b2=1

，从而（x1，y1），（x2，y2）是方程

x0xa2+y0yb2=1

的解，所以直线AB的方程为

x0xa2+y0yb2=1

.联立方程组

x2a2+y2b2=1

x0xa2+y0yb2=1

，消去y，可得：

（b2x20+a2y20）x2-2a2b2x0x+a4b2-a4y20=0

，

故x1+x2=

2a2b2x0b2x20+a2y20，

x1x2=a4（b2-y20）b2x20+a2y20.

③

同理可得：y1+y2=

2a2b2y0b2x20+a2y20，

y1y2=b4（a2-x20）b2x20+a2y20

④

由l1⊥l2可得：

y0-y1x0-x1·y0-y2x0-x2=-1

即x20+y20-（x1+x2）x0-（y1+y2）y0+x1x2+y1y2=0. ⑤

将③④代入⑤化简后，可得：（b2x20+a2y20-a2b2）（x20+y20-a2-b2）=0，又点P在椭圆外，所以b2x20+a2y20-a2b2≠0，从而x2+y2=a2+b2.

又点P的坐标为（a，b）、（a，b）、（-a，b）或（-a，-b）亦满足x2+y2=a2+b2.

综上所述，点P的轨迹方程为x2+y2=a2+b2.

解析几何对学生的分析理解能力、运算求解能力以及逻辑思维能力要求较高.一位优秀的教师应注重对解题方法的总结，这也是有效教学的一个重要措施.教师在总结解题方法时不应只停留在题目的表面，更应针对题目的内涵进行剖析，这样才能使高三复习达到事半功倍的效果.

（责任编辑 钟伟芳）endprint

解析几何是高中数学的主干知识，每年高考都重点考查该知识点，但每年解析几何的得分率都不高.原因是考生在学习解析几何时有畏惧心理，认为解析几何很难，考试时不敢做，放弃解析几何大题.新课改这几年，解析几何的命题趋势相对稳定.下面，笔者以2014年高考广东卷理科第20题为例，谈一谈解析几何复习.

【例】 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）

的一个焦点为（5，0），离心率为53.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外的一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

本题的解答过程省略，下面笔者证明一个一般性的结论.

结论：已知曲线C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），若动点P（x0，y0）为曲线C外的一点，且点P到曲线C的两条切线相互垂直，则点P的轨迹方程为x2+y2=a2+b2.

解析：（1）当其中一条切线的斜率不存在时，则另一条切线的斜率为零，此时点P的坐标为（a，b）、（a，b）、（-a，b）或（-a，-b）.

（2）当切线的斜率存在时，则斜率亦不为零，此种情况为本结论证明的关键，下面笔者用以下几种方法来解决这个问题.

方法一：设切线方程为y-y0=k（x-x0），联立方程组

方法二：设其中一条切线的方程为y-y0=k（x-x0），则另一条切线的方程为y-y0=-1k（x-x0）

，联立方程组

方法三：设两条切线分别为l1，l2切线l1与椭圆C的切点为A（x1，y1），切线l2与椭圆C的切点为B（x2，y2），则l1的方程为x1xa2+y1yb2=1

.又P（x0，y0）在l1上，所以x1x0a2+y1y0b2=1

，同理

x2x0a2+y2y0b2=1

，从而（x1，y1），（x2，y2）是方程

x0xa2+y0yb2=1

的解，所以直线AB的方程为

x0xa2+y0yb2=1

.联立方程组

x2a2+y2b2=1

x0xa2+y0yb2=1

，消去y，可得：

（b2x20+a2y20）x2-2a2b2x0x+a4b2-a4y20=0

，

故x1+x2=

2a2b2x0b2x20+a2y20，

x1x2=a4（b2-y20）b2x20+a2y20.

③

同理可得：y1+y2=

2a2b2y0b2x20+a2y20，

y1y2=b4（a2-x20）b2x20+a2y20

④

由l1⊥l2可得：

y0-y1x0-x1·y0-y2x0-x2=-1

即x20+y20-（x1+x2）x0-（y1+y2）y0+x1x2+y1y2=0. ⑤

将③④代入⑤化简后，可得：（b2x20+a2y20-a2b2）（x20+y20-a2-b2）=0，又点P在椭圆外，所以b2x20+a2y20-a2b2≠0，从而x2+y2=a2+b2.

又点P的坐标为（a，b）、（a，b）、（-a，b）或（-a，-b）亦满足x2+y2=a2+b2.

综上所述，点P的轨迹方程为x2+y2=a2+b2.

解析几何对学生的分析理解能力、运算求解能力以及逻辑思维能力要求较高.一位优秀的教师应注重对解题方法的总结，这也是有效教学的一个重要措施.教师在总结解题方法时不应只停留在题目的表面，更应针对题目的内涵进行剖析，这样才能使高三复习达到事半功倍的效果.

（责任编辑 钟伟芳）endprint

解析几何是高中数学的主干知识，每年高考都重点考查该知识点，但每年解析几何的得分率都不高.原因是考生在学习解析几何时有畏惧心理，认为解析几何很难，考试时不敢做，放弃解析几何大题.新课改这几年，解析几何的命题趋势相对稳定.下面，笔者以2014年高考广东卷理科第20题为例，谈一谈解析几何复习.

【例】 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）

的一个焦点为（5，0），离心率为53.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外的一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

本题的解答过程省略，下面笔者证明一个一般性的结论.

结论：已知曲线C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），若动点P（x0，y0）为曲线C外的一点，且点P到曲线C的两条切线相互垂直，则点P的轨迹方程为x2+y2=a2+b2.

解析：（1）当其中一条切线的斜率不存在时，则另一条切线的斜率为零，此时点P的坐标为（a，b）、（a，b）、（-a，b）或（-a，-b）.

（2）当切线的斜率存在时，则斜率亦不为零，此种情况为本结论证明的关键，下面笔者用以下几种方法来解决这个问题.

方法一：设切线方程为y-y0=k（x-x0），联立方程组

方法二：设其中一条切线的方程为y-y0=k（x-x0），则另一条切线的方程为y-y0=-1k（x-x0）

，联立方程组

方法三：设两条切线分别为l1，l2切线l1与椭圆C的切点为A（x1，y1），切线l2与椭圆C的切点为B（x2，y2），则l1的方程为x1xa2+y1yb2=1

.又P（x0，y0）在l1上，所以x1x0a2+y1y0b2=1

，同理

x2x0a2+y2y0b2=1

，从而（x1，y1），（x2，y2）是方程

x0xa2+y0yb2=1

的解，所以直线AB的方程为

x0xa2+y0yb2=1

.联立方程组

x2a2+y2b2=1

x0xa2+y0yb2=1

，消去y，可得：

（b2x20+a2y20）x2-2a2b2x0x+a4b2-a4y20=0

，

故x1+x2=

2a2b2x0b2x20+a2y20，

x1x2=a4（b2-y20）b2x20+a2y20.

③

同理可得：y1+y2=

2a2b2y0b2x20+a2y20，

y1y2=b4（a2-x20）b2x20+a2y20

④

由l1⊥l2可得：

y0-y1x0-x1·y0-y2x0-x2=-1

即x20+y20-（x1+x2）x0-（y1+y2）y0+x1x2+y1y2=0. ⑤

将③④代入⑤化简后，可得：（b2x20+a2y20-a2b2）（x20+y20-a2-b2）=0，又点P在椭圆外，所以b2x20+a2y20-a2b2≠0，从而x2+y2=a2+b2.

又点P的坐标为（a，b）、（a，b）、（-a，b）或（-a，-b）亦满足x2+y2=a2+b2.

综上所述，点P的轨迹方程为x2+y2=a2+b2.

解析几何对学生的分析理解能力、运算求解能力以及逻辑思维能力要求较高.一位优秀的教师应注重对解题方法的总结，这也是有效教学的一个重要措施.教师在总结解题方法时不应只停留在题目的表面，更应针对题目的内涵进行剖析，这样才能使高三复习达到事半功倍的效果.

（责任编辑 钟伟芳）endprint