冻土蠕变的非线性模型研究

曹 伟，项蒙佳，赵少飞

(华北科技学院 土木工程系，北京 东燕郊 101601)

0 引言

目前，人们对资源的需求急剧增加，必须加大对深部资源的开采，然而对深部资源的开采通常需要穿越软土层或者地下水丰富的土层，这就需要采用人工冻结的方法去解决实际的工程问题。由于冰和未冻水的存在，冻土在恒荷载作用下会发生蠕变，尤其在高应力水平下会进入加速蠕变阶段并迅速破坏,因而传统基于弹性和弹塑性理论计算的结果已经不再适用，在冻土的本构关系中应该考虑时间和应力水平的影响，并且模型应能描述冻土的整个流变过程包括加速蠕变阶段。

流变模型是研究岩土材料蠕变特性的一种常用方法，经典的模型有开尔文模型、伯格斯模型、宾汉姆模型及西原模型等。汪仁和等[1-3]对现有的流变模型进行分析，并通过大量的冻土单轴蠕变试验，用非线性牛顿体代替线性牛顿体,改进了西原模型，并添加到了ADINA程序中，后来又基于统计损伤理论，对西原模型中的弹塑性变量进行修正，建立了冻土蠕变损伤本构模型。毛芬和姚兆明[4]考虑了时间因素，采用非定常开尔文模型更好地描述了冻土的蠕变规律，非定常开尔文模型是研究冻土蠕变规律的新思路。蔡永刚和张秀娥[5]对西原模型进行了改进，用改进的开尔文模型来描述岩石蠕变的前两个阶段，用一种新的黏塑性体来描述岩石蠕变的第三个阶段，所建立的模型较为合理。袁文华[6]在西原模型中加入一黏弹性元件项，以抛物线屈服函数替代塑性屈服项，建立了高应力下抛物线型黏弹塑性蠕变本构模型。陈军浩等[7]提出了冻土蠕变计算的一种新方法，此法将分数阶微积分关系运用到了冻土蠕变计算中。

传统的流变模型是一种线性模型，黏滞系数被认为是不变的常数，不能很好地描述冻土蠕变的非线性特征，也不能反映冻土的加速蠕变阶段。本文基于传统的伯格斯模型，引入一种非线性黏滞体，其黏滞系数修正为时间和应力水平的函数，代替传统伯格斯模型中与弹簧并联的理想牛顿流体。在改进的伯格斯模型的基础上再串联一个由非定常、非牛顿黏壶和塑性体并联的黏塑性体，建立新的一维的非线性蠕变模型，如图1所示，进而推广到三维应力状态，通过与试验数据对比可知，该模型能较好地反应冻土蠕变的衰减、稳态和加速阶段。

图1 新的非线性蠕变模型

1 改进的非线性模型

1.1 引入非线性黏滞体

在传统的伯格斯模型中，土体材料的蠕变参数通常被认定为不变的常数，所以不能很好地反映蠕变的非线性特征。

根据冻土试验的等时应力-应变曲线，可以知道，冻土具有非线性蠕变特征，且其非线性过程与蠕变时间和应力水平有关。因此，本文引入一个非线性黏滞体，其黏滞系数η是时间和应力水平的函数，符合下面的公式

(1)

式中：m,n为材料的参数。

对式(1)进行求导，可得

(2)

上式说明η(t)是单调递增函数，当t从0→∞时，黏滞系数η(t)从0增加到η0，与文献[9]描述的蠕变规律较符合，由此得到非线性黏滞体的本构方程是:

(3)

1.2 建立改进的伯格斯模型

将引进的非线性黏滞体与弹性体及黏壶串联，得到改进的伯格斯模型，如图2所示。

图2 改进的伯格斯模型

对于其中非线性开尔文体部分，根据非线性黏滞体的本构关系和串并联的应力、应变关系，可以得到它的本构关系为

(4)

式中：E2—弹性体的弹性模量；

由上式可以得到非线性开尔文体的应变蠕变方程为

(5)

由元件串并联的应力应变关系，可以得到改进的伯格斯模型的本构方程为：

(6)

建立三维流变模型很难用形象化的物理元件表示，所以不需要再通过对模型的组成元件的一一分析来建立三维模型，而可利用上面所得到的一维的结果，采用类比的方法，将一维的蠕变公式直接推广到三维的蠕变公式。模型中基本元件的一维和三维本构方程间的对应关系如下[10]

σ↔SijE1↔2G1E2↔2G2η1↔2H1η↔2H

(7)

1.3 非线性黏塑性体

改进的伯格斯模型不能描述冻土在高应力作用下的加速蠕变，因此不妨引入一种非定常、非牛顿黏壶与塑性体并联的黏塑性体[5]，如图3所示。

图3 非线性黏塑性体

ε(t)=A(σ-σs)μtυ。

(8)

1.4 新的非线性蠕变模型

用改进的伯格斯体能描述冻土蠕变的衰减蠕变阶段和稳态蠕变阶段，再串联上非线性黏滞体即能描述冻土的加速蠕变阶段，便可以得到一个新的非线性蠕变模型，如图1所示。

综合以上推导，根据串并联的应力应变关系，可以得到该模型在单轴应力状态下的蠕变方程为

(9)

三维应力状态下的蠕变公式为

(10)

2 试验数据的拟合

2.1 稳态蠕变的拟合

本文采用曲线拟合的方法确定冻土蠕变非线性模型中的参数，数据采用尹晓文[8]等的冻土在不同温度下的三轴蠕变数据试验在4种不同温度(T=-5℃，-8℃，-11℃，-14℃)下进行，保持每个试件所受的平均应力偏张量第二法向应力σm不变，而应力偏张量Sij、不变量J2各不相同。试验数据及拟合曲线见图4，拟合参数见表1。

由拟合曲线和试验数据可以看出，冻土蠕变包括衰减蠕变和稳态蠕变两个阶段，模型很好地描述了冻土蠕变的这两个阶段。对于相同的应力偏量，温度越高，应变越大；对于相同的温度，应力偏量等幅度增加时，应变的增幅越来越大。

拟合曲线和试验数据的最大误差见表2，由表可知，对于不同温度同应力偏量水平而言，最大误差均差不过1%，说明新的非线性模型可以很好地描述冻土的稳态蠕变变形，拟合效果很好，且对于不同的温度均适用。

图4 各温度下冻土蠕变试验数据及拟合曲线

T/℃S11/MPaG1/MPaG2/MPanmH1/MPaH/MPa-51.25024.47914.4589.0622.152100.6473959.9891.50015.8389.7523.8866.39589.444896.9161.75012.9806.1765.4985.15995.1207051.0832.0009.6485.0044.7881.625103.0782925.157-81.25025.38811.2842.8883.425238.148102.5751.50012.94314.7673.9152.823121.4491027.0321.75013.77610.2394.7551.13192.2461427.1742.00010.9146.9553.2303.30798.375936.179-111.25036.85312.0625.9484.955238.3951083.0201.50018.00513.2303.1812.047120.104436.5321.75017.98411.0831.9972.00099.872153.6502.00011.4386.3102.3541.449132.800297.135-141.25043.86413.6814.6895.487731.538437.4921.50027.38412.9574.2803.421175.116701.3871.75015.72211.3983.1973.004143.3981128.8502.00012.6965.2633.6762.407299.5611535.533

表2 最大误差分析

2.2 加速蠕变的拟合

为了验证模型对加速蠕变阶段的适用情况，本文对李栋伟，汪仁和等[13]的试验数据进行了拟合，试验温度T=-15℃，轴压均为7MPa，围压分别为4MPa、5MPa、6MPa三种情况，试验数据和拟合结果见图5。

图5 -15℃冻土蠕变试验数据及拟合曲线

由图可知，模型对包括加速蠕变阶段的蠕变全过程均能较好地描述，最大误差不超过1%。当应力偏量较小时，试验只有衰减阶段和蠕变阶段，当应力偏量增加到一定值时，土体进入加速蠕变阶段而迅速发生破坏。加速阶段的拟合参数值为G1=4.496MPa、G2=16.648MPa、n=16.179、m=400.100、H1=8.831MPa、H=7.242MPa、A=51.439、k=1.622、υ=3.134和ν=1.114，这些参数能够反映此类冻土的加速蠕变特性。

3 结论

(1)本文对传统的伯格斯模型进行了改进，引入一种非线性黏滞体，代替传统伯格斯模型中与弹簧并联的理想的牛顿流体，再串联一个由一种非定常、非牛顿黏壶和塑性体并联的黏塑性体，建立了新的非线性流变模型，并将其推广到了三维应力状态，该模型可以描述冻土的衰减、稳定和加速蠕变阶段。

(2)根据冻土蠕变的试验数据，采用Origin软件，基于最小二乘法的原理，对试验数据进行了拟合。结果表明：1)该模型所拟合的曲线与试验数据吻合性较好，误差很小，而且适用于不同的温度。2)该蠕变模型不仅可以很好地描述冻土蠕变的前两个阶段，而且对于加速蠕变阶段也适用，这对于高应力下的冻土蠕变分析很有意义。

[1] 汪仁和,李栋伟,王秀喜. 改进的西原模型及其在ADINA程序中的实现[J]. 岩土力学,2006,27(11):1954-1958.

[2] 李栋伟. 高应力下冻土本构关系研究及工程应用[D]. 合肥:安徽理工大学,2005.

[3] 李栋伟,汪仁和,胡璞. 冻粘土蠕变损伤耦合本构关系研究[J]. 冰川冻土, 2007,03:446-449.

[4] 毛芬, 姚兆明. 人工冻土蠕变非定常开尔文模型[J]. 安徽理工大学学报：自然科学版, 2014,(2):13-16.

[5] 康永刚, 张秀娥. 一种改进的岩石蠕变本构模型[J]. 岩土力学, 2014,(4):1049-1055.

[6] 袁文华. 人工冻土黏弹塑性本构参数反分析研究[J]. 岩土力学, 2013,(11).

[7] 陈军浩, 姚兆明, 徐颖,等. 人工冻土蠕变特性粒子群分数阶导数模型[J]. 煤炭学报,2013,38(10): 1763-1768.

[8] 尹晓文, 傅强, 马昆林. 冻土三轴蠕变非线性数学模型研究[J]. 冰川冻土,2013,35(1):171-176.

[9] 王军保, 刘新荣, 郭建强,等. 盐岩蠕变特性及其非线性本构模型[J]. 煤炭学报,2014,39(3):445-451.

[10] 郑雨天.岩石力学的弹塑性理论基础[M]. 煤炭工业出版社出版，1988.

[11] 熊良宵, 杨林德. 硬脆岩的非线性粘弹塑性流变模型[J]. 同济大学学报：自然科学版, 2010,38(2):188-193.

[12] 孙钧.岩土材料流变及其工程应用[M].中国建筑工业出版社，1999.

[13] 李栋伟,汪仁和,赵颜辉,胡璞. 抛物线型屈服面人工冻土蠕变本构模型研究[J]. 岩土力学,2007,28(9):1943-1948.