一种用于电力系统间谐波谱估计的高分辨率算法

李 明

（呼和浩特供电局,内蒙古呼和浩特 OlOO5O）

文章编号：lOO7-2322（2Ol5）O6-OO46-O6 文献标志码：A 中图分类号：TM7ll

一种用于电力系统间谐波谱估计的高分辨率算法

李 明

（呼和浩特供电局,内蒙古呼和浩特 OlOO5O）

0 引 言

在我国西北部和内蒙古地区,太阳能和风能资源极其丰富。在这些地区,新建了大量的风电场和光伏电站,并且,对这些新能源的开发利用还呈增长的趋势。由于太阳能和风能均为波动性能源,且均需通过逆变器并网,其会向电网注入大量谐波和间谐波,导致电能质量的恶化［1］。供电部门通常采用电能质量综合检测装置来对谐波和间谐波进行检测,判定用户产生的谐波和间谐波水平。由于间谐波为非整数倍基波频率的谐波,其与整数次谐波在频域内彼此靠近,并且间谐波信号还易受到噪声的干扰。因此,对间谐波的检测需要具有高分辨率特性和良好噪声抑制能力的算法。

目前,快速傅里叶变换（fast Fourier transform,FFT）及其改进算法由于计算量小,故在谐波和间谐波检测领域应用较为广泛［23］,但其频率分辨率不高,且易受频谱泄漏的影响。自回归模型算法具有较高的频率分辨率,且通过Levinson递推的方式求解AR模型参数,从而避免了自相关矩阵估计,计算效率较高,但其对噪声较为敏感［45］。基于自相关矩阵的特征值分解法,如Esprit算法［6］、多重信号分类法（multiple signal classification,MUSIC）［7］等,具有较高的频率分辨率并对白噪声具有一定的抑制能力,但在信噪比较低的情况下,难以将相互靠近的谐波或间谐波区分开来。求根MUSIC法［8］（root MUSIC,RMUSIC）通过构造并求解MUSIC型多项式,相对于MUSIC法,具有更高的噪声抑制能力,但其不能对高斯有色噪声进行抑制。基于4阶累积量的特征值分解法,如文献［9］所提高阶累积量MUSIC法（cumulants MUSIC,CMUSIC）,可以对信号中的高阶白噪声和高斯噪声（白或色）进行抑制,但其将4阶累积量的对角切片转化为自相关阵的线性组合［9lO］,导致其频率分辨率较低。

本文分析了高阶累积量对高阶白噪声和高斯噪声（白或色）的抑制机理。首先,通过将4阶累积量的对角切片转化为修正协方差阵的线性组合,提出了基于改进高阶累积量MUSIC法（improved cumulants MUSIC,ICMUSIC）的间谐波谱估计方法,该方法相对于文献 ［9］所提CMUSIC算法,其具有更高的频率分辨率。然后,通过构造MUSIC型多项式,进一步对ICMUSIC算法进行改进,提出了基于改进高阶累积量求根MUSIC法（improved cumulants-root MUSIC,IC-RMUSIC）的间谐波谱估计方法。仿真结果验证了该方法的有效性。

1 基于4阶累积量的特征值分解

设所分析的间谐波信号为

式中:

式中:Ai、fi、φi分别为第i个谐波的幅值、频率和初始相位；fs为采样频率；w（n）为噪声序列。式（1）可转化为自回归移动平均（autoregressive moving average,ARMA）过程［11］:

式（3）的推导过程详见附录A。由式（3）可见,这是一个特殊的ARMA过程,其AR参数与MA参数完全相同。

如果式（3）中的w（n）为高阶白噪声或高斯噪声（白或色）,则可利用高阶累积量对噪声w（n）进行抑制。

首先定义信号y（n）的4阶累积量的符号表示为

对式（3）左右分别进行四阶累积量运算,可得［l2］

由于w（n）和u（n）统计独立,因此式（5）可转化为

由于直接求解高阶累积量计算量较大,因此可令k1—k2=k1—k3=k1—i=τ,则式（6）转化为

当w（n）为高阶白噪声或高斯噪声时,可将式（7）转化为

如果w（n）为高斯噪声,则根据高斯过程的高阶累积量为O这一定理,可知式γ4w=O。如果w（n）为独立同分布非高斯过程,也即高阶白噪声［11,l3］,则γ4w为一非零常数且γ4w=C4w（O,O,O）。

再将式（8）转化为矩阵形式:

式中:

可对矩阵C4y进行特征值分解,从而求取信号的频谱信息。由于式（9）中的w（n）可为高阶白噪声或高斯噪声,因此,采用4阶累积量可对信号y（n）中的高阶白噪声或高斯噪声进行抑制。

2 高阶累积量的实现方法

由式（9）可以看出,需首先求取C4y,然后才能进行下一步运算。当间谐波信号的均值为O时,可得［11］

令x（n +τ）=y3（n +τ）,并将式（lO）转化为矩阵形式:式中:λ为一常数且λ=E y2（n（ ））。因此,由式（ll）可见,C4y可以看作自相关矩阵Ry和互相关矩阵Rxy的线性组合。也即C4y的求解可转化自相关矩阵Ry和互相关矩阵Rxy的求解。自相关矩阵的实现

方式有多种［l4］,如自相关阵、协方差阵、修正协方差阵。如采用文献 ［9］提出的方法直接求解4阶累积量,则相当于用自相关阵来表示Ry和Rxy,导致频率分辨率不高。本文采用具有较高频率分辨率的修正协方差阵来表示Ry和Rxy:

式中:（λ1+γ4w）,（λ2+γ4w）,…,（λ2M+γ4w）为信号特征值,γ4w为噪声特征值。Ui为对应各特征值的特征向量。

由于λi+γ4w＞γ4w,因此,可根据特征值大小确定阶数2M,并可将特征向量分为两部分:式中:

Ry的推导过程和高分辨率特性的分析详见附录B。Rxy可用相同的方式进行推导。

当式（l2）中的p=2M时,如对C4y进行特征值分解,则仅有一个对应于噪声的最小特征值,由于自相关矩阵的维数小,严重影响了结果的估计精度,因此,应令p＞2M。将求得的Ry和Rxy代入式（ll）,则可求得C4y。

3 特征空间多项式求根

由前两节可知,首先通过观测数据y（n）求取C4y,然后再采用特征值法对C4y进行特征值分解。MUSIC算法是特征值法中较常用的一种,但其易受噪声影响。文中采用多项式求根的方式来代替MUSIC算法中的谱搜索,可以在低信噪比的情况下获得更高的频率分辨率。首先对C4y进行特征值分解,可得［11］式中:S和G分别由信号特征向量和噪声特征向量组成。

为了综合利用所有噪声特征向量提取信号参数信息,可构造多项式如下:式中:P（z）=［1,z,…,zp—1］。ψ（z）为2（p—1）次多项式,在无噪声的情况下,共有2M对共轭根位于单位圆上,在有噪声的情况下,则应选取最靠近单位圆的2M对共轭根。进一步可求取频率信息:

4 仿真算例

4.1 高分辨率特性检验

设信号除基波（5O Hz）外还含有48.3Hz和52.1 Hz间谐波分量,幅值分别为基波的O.5％、O.2％；相位分别为π/4、π/9；基波相位为O。信号的采样频率为1 OOO Hz,采样点数为5O,数据长度为O.O5s。采用文献［9］所提CMUSIC算法与本文所提的ICMUSIC算法和IC-RMUSIC算法进行对比,几种算法的谱估计结果如图1和表1所示。

图1 CMUSIC算法和ICMUSIC算法比较

表1 CMUSIC算法、ICMUSIC算法和IC-RMUSIC算法比较

由图1可看出,CMUSIC算法无法将基波和48.3Hz和52.1 Hz间谐波分量区分开来,这是由于将4阶累积量的对角切片转化为自相关阵的线性组合,导致其频率分辨率较低。ICMUSIC算法和IC-RMUSIC算法通过将4阶累积量的对角切片转化为修正协方差阵的线性组合,从而提高了频率分辨率,可以精确地检测到48.3Hz、5OHz和52.1 Hz 3个谱峰。

4.2 噪声抑制性能检验

设信号除基波（5O Hz）外还含有3、5、7、9次谐波分量和55Hz、l55Hz间谐波分量,幅值分别为基波的2.1％、O.5％、2.7％、1.5％和1％；相位分别为π / 9、O、π / 4、π / 5、π / 3和π / 2；基波相位为π / 8。信号中加入了3O dB的均匀白噪声（均匀白噪声符合独立同分布非高斯过程）、3OdB高斯白噪声和3OdB高斯有色噪声,信号的采样频率为1 OOO Hz,采样点数为242,数据长度为O.242s。其中,高斯有色噪声为高斯白噪声通过一带通滤波器产生,带通滤波器的通带频率为25O～3OOHz,该滤波器的传递函数为

式中:c1=O.OO4 6,c2=O,c3=—O.Ol3 8,c4= O,c5=O.Ol3 8,c6=O,c7=—O.OO4 6,d1= O.833,d2=O.833,d3=2.492 1,d4=1.297 7，d5=1.949 6,d6=O.472 7。分别采用MUSIC算法、ICMUSIC算法、RMUSIC算法和IC-RMUSIC算法,所得谱估计结果如图2～4、表2所示。

图2 加3OdB均匀白噪声时各类算法谱估计结果

图3 加3OdB高斯白噪声时各类算法谱估计结果

表2 MUSIC、RMUSIC、ICMUSIC和IC-RMUSIC算法谱估计结果比较 Hz

表2中，“—”表示检测不到。由图2、3，表2可看出,由于白噪声的能量分布在整个频谱上,受其影响,导致MUSIC和ICMUSIC算法无法将相距较近的谐波和间谐波无法区分开来,如基波、55Hz间谐波分量和3次谐波、l55Hz间谐波分量。RMUSIC算法和IC-RMUSIC算法通过采用多项式求根的方式求取频率信息,其在低信噪比的情况下具有更高的频率分辨率,可将相互靠近的谐波和间谐波区分开来。

由图4,表2可看出,由于高斯有色噪声的能量主要集中在25O～3OOHz,而MUSIC算法和RMUSIC算法对高斯有色噪声不具有抑制能力,导致其谱估计结果受其影响,在25O～3OOHz频段内存在频率为267Hz和287Hz的两个伪峰。ICMUSIC和IC-RMUSIC算法采用高阶累积量的方式抑制高斯噪声,可对25O～3OOHz频段内的高斯有色噪声进行有效抑制,从而检测到所有谐波和间谐波成份。

5 结 论

本文将IC-RMUSIC算法应用于电力系统间谐波谱估计。

①与基于自相关矩阵的特征值算法相比,采用高阶累积量来代替自相关函数,可对高斯有色噪声进行有效抑制。

②通过将4阶累积量的对角切片转化为修正协方差阵的线性组合,从而使算法具有较高频率分辨率。通过构造MUSIC型多项式并进行多项式的求根,可使算法稳健性进一步增强。

③从仿真结果可看出,IC-RMUSIC算法可以有效抑制高阶白噪声或高斯分布噪声（白或色）,从而检测到所有谐波和间谐波的频率信息。与MUSIC算法、ICMUSIC算法、RMUSIC算法相比,IC-RMUSIC算法具有更强的稳健性。

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（责任编辑:杨秋霞）

A High-resolution Algorithm for Inter-harmonics Spectral Estimation in Power System

LI Ming
（Hohhot Power Supply Bureau,Hohhot OlOO5O,China）

本文提出一种基于改进高阶累积量求根MUSIC法的间谐波谱估计新方法。该算法采用4阶累积量来抑制高阶白噪声和高斯噪声，同时，针对传统4阶累积量分辨率低的特点，通过将4阶累积量的对角切片转化为修正协方差阵的线性组合，从而保证算法的高分辨率；并通过构造MUSIC多项式，从而使算法噪声抑制能力进一步增强。仿真结果表明，该方法不仅具有较高的频率分辨率，而且具有较强的稳健性，在噪声污染的情况下能检测出各次谐波和间谐波的频率信息。

电能质量；4阶累积量；间谐波；多重信号分类法

A new method for estimating inter-harmonics spectrum based on theimproved cumulants-root MUSIC（ICRMUSIC）algorithm is presented in this paper.The four-order cumulants is used to restraint high-order white noise and Gaussian noise.To overcome the disadvantage of low-frequency resolution of the traditional four-order cumulants，the diagonal slice of four-order cumulants is transformed into the linear combination of the modified covariance matrices to guarantee the high resolution of algorithm.In addition,by constructing MUSIC polynomial,the noise suppressing capability of this algorithm is further enhanced. Experimental results show this method not only has high frequency resolution,but also can effectively suppress noise，and can get the spectral estimation of harmonics and interharmonics in noisy environments.

power quality；four-order cumulants；inter-harmonics；multiple signal classification

2Ol4-l2-l4

李 明（l98l—）,男,博士,工程师,研究方向为电能质量分析与电网规划,E-mail:qingxiaoyanyuzhong @l26.com。