学会“数学思考”的两层次本原性问题研究

李静　王秀兰

摘要：“数学思考”是数学学习的重要目标和手段。学会“数学思考”应关注两层次数学本原性问题的设置，以及在教学活动中利用两层次数学本原性问题促动学生学习。

关键词：数学思考 本原性问题 设置

学会思考是数学新课程的课程目标，也是达到课程目标的重要手段。不同国家的数学家和数学教育家都认识到，学会数学思考对“学好数学”和“好学数学”起着重大作用。学会数学思考，是数学素质提高、数学思维能力和创新意识培养的重要举措。但是如何促动学生数学思考，如何学会数学思考，或者说数学思考的路径应是什么？常规的说法，设置思考问题。但是，设置什么样问题？如何设置？如何引导学生解决这些问题？解决问题的标准是什么？所有这些应起什么作用？其依据是什么？等等。对于这些问题的研究，可以从根本上解决一直困扰一线教师“如何培养学生学会‘数学思考？”的教学难题。

世界著名数学家R.柯朗说过[1]，数学学科关键在于结构与关系要与“可验证的”事实相符合。这就是说，数学研究或学习，需要基于自身经验对结构和关系的一切可能想象和与“可验证的”事实相符合的验证或理解，即为数学思考。为此，英国著名的数学家和数学教育家斯根普特别强调数学关系性理解（relational understanding）[2]，认为关系性理解是指“不仅知道要做什么，而且知道理由”，涉及到数学知识内容的整体和局部、宏观和微观的理解或思考。何为整体宏观理解？何为局部微观理解？理解什么？思考什么？数学思考需要从宏观哲学思考到微观结构思考，我们以为，其路径应是两层次的数学本原性问题训练。以下探讨“两层次本原性问题”的内涵、设置和实施。

一、两层次数学本原性问题

《义务教育数学课程标准（2011版）》课程目标关于“数学思考”有以下阐述[3]：

·建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。

·体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象。

·在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。

·学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。

由此可以看出，“数学思考”主要是关于数与代数概念间运算关系及模式、图形与几何位置关系及结构、数据统计及关系推断等的认识和信念，甚至一些基本的原始朴素的观点和看法，是科学研究的入口，学习的动力源泉。“数学思考”旨在围绕数学观或数学思维方式，发展学生的数学认识能力、合情推理能力、演绎推理能力等。这既涉及到数学内容的宏观或整体价值认识，又涉及到数学内容的微观或关系直觉推理，因而可追溯为一种数学本真或本原的思考。

“本原”是哲学本体论中的一个术语，指事物的原始根源或构成世界的最根本实体。哲学上对“本原”的思考凸显为一种刨根问底的探寻精神，始终把理解世界的“始基”或“构成要素”作为第一问题。这里并非从哲学角度来探讨，而是借用哲学中对“本原”的思考和理解方式，从数学学科教学论角度来探讨促进学生深刻理解数学内容及其本质的“数学本原性问题”，即考虑对师生尤其是对学生而言，哪些问题反映了数学学习主题中最为朴素、原始、本质的思想、方法和观念。因为“本原问题”是人类天然好奇心的表现，也是激发学生学习的原动力[4]。

数学知识体系是建立在概念定义、命题定理、证明推导之上的演绎体系，客观上给学生的理解造成了困难。其学习时不但需要关于一些常规性知识问题来驱动学生对数学探究，而且更需要从数学整体结构乃至本原，抑或数学哲学层面把握数学知识发生发展过程。这需要设置本原性宏观问题和微观问题，促动学生主动学习与探究，加深数学内容知识的理解。

二、两层次数学本原性问题的设置

“宏观问题”整体上单刀直面指向材料，“微观问题”微观上提纲挈领回味真谛。“宏观问题”只是帮助学生的数学哲学思考，“微观问题”只是帮助学生的数学研究思考。这些问题没有也不要求具体准确答案，只是引导学生学会数学思考，为教师教授打好铺垫，提高师生互动质量。

这类问题，不是单纯的“是什么”，也不是单纯的“为什么”？而是知识产生的缘由、意义或方法，以及知识发展的各种选择的缘由，甚至是解决问题的信念或经验，是一种哲学思考，更多的是一种数学发现研究或数学认知学习的缄默知识，是学好数学必备的一种知识，久而久之，发展成一种数学思考能力。我们应从数学学习和教学的角度看数学学习中的这两类本原性问题的设置。

比如当你第一次上你岳母家或婆家，会涉及一个起始问题和一个结论问题。

起始问题（或宏观问题）：基于你对象的描述以及一些电话声音、相片等资料，以及他（她）父母从事的职业养成的共性特征，你在走进门之前，会猜想或想象——他（她）父母可能是比较开明的人吧？喜欢谈论比较有层次话题？可能对我比较友好？对我友好的缘由可能是我有才华？或者其他？——或者相反的想象及缘由。

结论问题（或微观问题）：通过与你对象家人的谈话、交流，甚至他们的眼神，口气，以及其他成员的流露，吃饭等活动后，你走出去以后，会回忆或思考——他（她）父母是这样的人吗？母亲说了算吗？家人关系真的那么不好？是否真喜欢谈论国家大事？真喜欢我和我的职业吗？我以后应该怎么做呢？这些现象的真实缘由是由于我经济条件好？还是其他？——或者相反的结论及缘由。

这些问题及思考自然而然地成为你进一步了解有关人和事真面目、真缘由的动力和路径。

类似地，对数学内容的理解，也应在“起始问题（或宏观问题）”和“结论问题（或微观问题）”上有所思考。“宏观问题”帮助学生比较粗放地了解或认识“材料内容”，做到以旧带新，激发学习兴趣；“微观问题”帮助学生微观地探究或研究“材料内容”，驱动学生把握数学本质。这些问题可以帮助学生“认识——探究”，会给学生指明高效学习与能力提高的路径。

设置的问题不易太多，要概括和精炼，以“导学思考”的形式呈现出来。可以促动学生课前思考、课上聚焦实质、课后总结反思。

例如：初中数学《变量与函数》一节

导学思考：

（1）现实生活中有变量和常量，变量为什么“变”呢？请给这种“变”的关系起个名字。（评：以旧带新，宏观扫描，本原思考——常识性思考）

（2）表示函数关系的方式为什么有三种？解析法、列表法和图象法的区别和联系是什么？（评：直达本质，微观联系，促动探究——学术性思考）

导学思考在于激发学生积极思考，它是数学家研究思考的问题和数学认知家考察的问题，这是数学元认知精华。通过这些本原性问题驱动，引诱学生进入知识圈后，也能看到走出知识迷宫的线路或路径。

例如：初中数学《圆周角》一节

导学思考：

（1）将圆心角的顶点移到圆周上，而圆心角与圆两交点不动，其角度如何变换？与圆心角度数有关系吗？（评：针对背景→理解，以旧带新的高位反问——入口）

（2）圆周角与圆心相对位置关系有几种？每一种位置为什么都满足圆周角定理？（评：针对理解→巩固，内部联络的低位思考——出口）

基于这些问题，联系以往知识，激发学生对新知识“研究”或者“好奇”，使学习遵循着“先由外到内，后由内到外”，即华罗庚先生所说：“由薄到厚，由厚到薄”，这是一种元认知的设计，还不全是认知的问题。

三、两层次数学本原性问题促动学生学习的实施

1.教师研究教学内容

首先，教师在设置一节课的两层次本原性问题时，多涉猎各种版本教材或其他相关数学哲学材料或初等数学研究等，以现有教材为改造范本，形成自己的教材体系，寻找知识本质的学习和探究路径。

然后，教师针对具体教学内容，基于学生目前所掌握的知识以及思维水平，思考这些内容是怎样因时因地因生研究出来的呢？是实际问题需要？还是数学美追求？按照什么规则得到的呢？类比推理、归纳推理、还是演绎推理？类似于数学家研究或发现这些知识，进行路径的设计。这是一种宏观本原性问题的思考。

接着，教师聚焦于具体的知识内容本质以及前后内在之间的联系。考察概念的本质，命题推证的依据，公式应用条件的缘由，知识内容应用范围的分析，等等。基于广义知识分类，搞清楚陈述性、程序性和策略性等知识的产生缘由，使得学生由表及里地形成知识产生过程中的信念和缘由，激发学生学习探究的热情，形成比较灵活的良好认知结构。这些过程性的探究，可以转化为微观本原性问题。

2.课前呈现导学思考

教师悟道出本节课内容的两类本原性问题，以“导学思考”的形式在课前呈现在学生面前，让学生带着这些问题进行预习。当然，也可以提前一天布置下去“导学思考”问题。

学生预习后，教师针对问题，启发学生进行回答讨论，回答可以正确，也可以错误，只要有所思考，就是一种收获，它都有利于知识的深入学习。问题旨在促进思考，不在乎回答正确与否。再说这种本原性问题本身就没有一个确切的答案，它是一个由模糊到清晰，无序到有序的路径或一个引子。这种原始本能的探究或好奇是人类科学发展的动力，一旦开发出来，将爆发出巨大的学习能量。这样，学生也不会因为自己的思考不符合答案标准而胆怯，它只会因此营造一种相互讨论交流，思维火花碰撞的氛围。既体现了新课程探究合作理念，又符合了新课程“人人获得成功”和“以人为本”的育人发展评价理念。由此为进一步探究打好了铺垫，也为本节课指明了方向。

3.问题导向教学活动

学生讨论回答完“导学思考”本原性问题后，学生的头脑中也就形成了该节课的大致轮廓，对接了认知根源，勾画了认知地图。教师因势利导地进行师生活动，以“宏观问题”作为研究方向，拨开知识的外壳，暴露出知识的状态；以“微观问题”作为探究目标，赋予知识新的自我意义，凝聚成自我的认知结构。

4.活动小结回顾问题

学生经过数学学习活动后，基本上对本节数学知识有了比较清楚的认识和比较深刻的理解。但还需要教师及时引导学生回顾“导学思考”中的问题，加深学生的数学理解和巩固。这将有助于学生研究性地完成作业和激发其进一步学习数学的欲望。

数学教学应该依据教学任务、教学对象和教学环境，找出切实可行的方案，变学生被动接受为主动探究。本原性问题驱动下的数学教学实施[5]，可以促使学生思考数学，热爱数学，数学自学能力和理解能力得到提高。重要的是，教学时，师生有了活动方向感，学生主体性得到了发挥，学习潜在能量得到了释放。这正如诺贝尔奖获得者费曼说过科学知识教学：“首先弄清楚为什么要让学生学这个主题，您想要学生知道些什么，而教的方法多多少少会来自常识。”这里所谓常识，是指对于事物本身的真正本质的真知灼见，也就是本原性问题思考，因而能用简单易懂的语言表述出来。

参考文献

[1] R.柯朗.数学是什么.汪浩，等译.长沙：湖南教育出版社，1985.

[2] 鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程.上海：上海教育出版社，2009.

[3] 教育部.义务教育数学课程标准（2011版）.北京：北京师范大学出版社，2012.

[4] 杨玉东.职初教师与经验教师教学过程比较研究.桂林：广西师范大学出版社，2007.

[5] 李静.本原性问题驱动下的高等数学变式教学.数学教育学报，2013（62）.

【责任编辑 郭振玲】