可以“撞出”这个方程吗

张启迪

摘 要：理想气体状态方程是中学物理热学中的一个重要方程，其严格的推导过程要用到能量均分定理、麦克斯韦速率分布等一系列大学物理的内容。本文中，笔者通过一道自主招生练习题中的碰撞模型，讲述在教学一线中部分学生给出的理想气体状态方程推导方法，并指出其中的逻辑错误，与广大读者讨论。

关键词：理想气体状态方程；碰撞；定性半定量；逻辑错误

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2014）10（S）-0034-2

1 一道自主招生题引发的思考

笔者在进行动量定理与动量守恒定律自主招生班教学时，曾给学生讲解过这样一道题：

[案例1]

已知在某空间中存在着大量质量为m的弹性钢球，小球在空间中分布的质量平均密度为ρ。小钢球因为某种作用，以与竖直方向夹角为θ，速度大小为v撞向面积为S的光滑刚性平面。已知碰撞作用使小钢球垂直于刚性平面方向的速度反向且大小不变。求由于小钢球的碰撞，S平面上平均压强P的大小。

图1 案例1示意图

解决这题的过程中显然要用到竖直方向的动量守恒定律（水平方向不受力，水平方向速度的分量不变）。我们可以取一段极短的时间Δt，研究在这一段时间内，能够撞击到平面上钢球对平面的作用力。容易看出，在Δt时间内，能够到达平面的钢球应当是分布在如图1所示虚线框立体体积中的钢球，该体积中钢球的质量为：

Δm=ρV=ρ·vΔtcosθ·S

又竖直方向动量守恒，取向上为正方向，运用动量定理可得：

P·S·Δt=Δm[vcosθ-（-vcosθ）]

带入其余量，化简可得：

P=2ρ·v2·cos2θ

早在1738年，伯努利（D.Bernoulli，1700—1782）出版了《流体动力学》一书。他在该书中提出了流体定常流动观点及伯努利方程外，还发展了伽桑迪与胡克（Hooke，1635—1703）的观点，即设想气体压强来自粒子碰撞器壁所产生的冲量，在历史上首次建立了分子动理论的基本概念。上边的例题已经给出了一种物体碰撞平面产生冲量（也可以理解成冲力）的物理模型，那么我们能不能追随前人的脚步，利用这题的结论，推出一些更有意义的结果呢？

2 学生给出气体对确定器壁压强的定性和半定量分析

我们已经知道，气体对容器壁的压强从微观角度看，是由于大量分子热运动过程中不断与器壁发生碰撞，从而产生的一个统计平均效果。结合上题，我们可以这样来研究气体对器壁的压强问题。将上题中，所有的钢球换成理想气体分子，并认为每个气体分子与器壁的碰撞都是完全弹性碰撞，垂直于器壁方向的速度在碰撞前后等大反向。建立这种简化模型以后，我们利用上题中的结论P=2ρ·v2·cos2θ，对气体分子与器壁的碰撞进行相关研究。

显然，这个公式在分析理想气体与器壁碰撞的过程是需要修正的，其原因主要有以下几点：

（1）气体分子在空间中运动是无规则的热运动，所以，不同气体分子与器壁碰撞的速度大小是不等的，即结论中的不同。

（2）不同气体分子与同一器壁碰撞的方向是不同的，即结论中的是不同的。

（3）空间中的气体分子相对于某一个方向的器壁，从统计平均的角度上来说，只能有总数的一半的气体分子会与该器壁发生碰撞。即处在平衡态的气体具有分子混沌性。

综合上面三个原因，如果我们想要用上题的结论来推导出气体分子与某一器壁碰撞后产生的压强，必须对上面的结论进行以下修正：

1.用v2代替v2，体现统计平均效果；

2.用cos2θ代替cos2θ，体现统计平均效果；

3.用总粒子数的一半来体现撞击确定器壁的粒子数目，即乘以 即可。

依据前文的分析和修正，上题中的结论变为：

P=2ρ·v2·cos2θ·

设此种气体的相对原子质量为M，容器中气体物质的量为n，则可得该容器中气体的质量密度为ρ= （其中V为容器的体积），带入修正以后的结论可得：

PV=n·M·cos2θ·v2

若对于确定体积的气体而言，M=const，cos2θ=const，两者都为常数。我们知道，绝对温度是分子热运动剧烈程度的量度，且T∝v2，即T=αv2，其中α=const。所以我们可以设定一个常量R，用R来代替这三个常数的乘积。

可得公式：PV=nRT。

3 上述证明中的逻辑错误

上边的证明初看是比较合理的，但是细细思考，证明的过程中存在着严重的逻辑错误。问题主要来源于，我们如何得到T∝v2这样一个结论。在上边的证明中，笔者把此结论当做一个常识直接应用，这是存在严重错误的。首先，我们要弄清楚T∝v2此结论是如何推导出来的。笔者通过查阅文献发现，很多大学教材中，都是通过分析气体分子的理想碰撞模型，推导出气体压强p≈ nmv2，并对比理想气体状态方程pV=nRT，可得T∝v2。显然，如果用此种方法得到T∝v2，上边的证明过程是有问题的，问题在于用要证明的结论去辅助证明过程。还有没有别的办法得到T∝v2呢？在大学的教材中，经过比较复杂的推导，我们还可以用麦克斯韦速率分布函数来得到T∝v2，证明的过程相对繁琐，可参见参考文献[1]的相关章节。

4 结 语

本文通过一道自主招生模拟题的物理模型，展示了在一线教学中，学生给出的证明理想气体状态方程的方法，并指明了其中的逻辑错误，即用结论去证明结论。然而，物理是一门以实验为基础，要求严谨理论推导的学科，中学阶段是学生物理思维逻辑形成的重要阶段。如何去引导、帮助学生获得正确的逻辑推理能力，及时指出学生的逻辑错误，是我们在教学中应当充分重视的。

参考文献：

[1]秦允豪.热学（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]费恩曼，莱顿，桑兹，著，郑永令，华宏鸣，吴子仪，译.费恩曼物理学讲义（第一卷）[M].上海：上海科学技术出版社，2013.

[3]崔宏滨.中学物理奥赛辅导：热学·光学·近代物理学[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2012.

[4]范小辉.浅析热学中常用的一些物理学经典思想方法[J].物理教学，2013，（7）：8.

（栏目编辑 李富强）

摘 要：理想气体状态方程是中学物理热学中的一个重要方程，其严格的推导过程要用到能量均分定理、麦克斯韦速率分布等一系列大学物理的内容。本文中，笔者通过一道自主招生练习题中的碰撞模型，讲述在教学一线中部分学生给出的理想气体状态方程推导方法，并指出其中的逻辑错误，与广大读者讨论。

关键词：理想气体状态方程；碰撞；定性半定量；逻辑错误

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2014）10（S）-0034-2

1 一道自主招生题引发的思考

笔者在进行动量定理与动量守恒定律自主招生班教学时，曾给学生讲解过这样一道题：

[案例1]

已知在某空间中存在着大量质量为m的弹性钢球，小球在空间中分布的质量平均密度为ρ。小钢球因为某种作用，以与竖直方向夹角为θ，速度大小为v撞向面积为S的光滑刚性平面。已知碰撞作用使小钢球垂直于刚性平面方向的速度反向且大小不变。求由于小钢球的碰撞，S平面上平均压强P的大小。

图1 案例1示意图

解决这题的过程中显然要用到竖直方向的动量守恒定律（水平方向不受力，水平方向速度的分量不变）。我们可以取一段极短的时间Δt，研究在这一段时间内，能够撞击到平面上钢球对平面的作用力。容易看出，在Δt时间内，能够到达平面的钢球应当是分布在如图1所示虚线框立体体积中的钢球，该体积中钢球的质量为：

Δm=ρV=ρ·vΔtcosθ·S

又竖直方向动量守恒，取向上为正方向，运用动量定理可得：

P·S·Δt=Δm[vcosθ-（-vcosθ）]

带入其余量，化简可得：

P=2ρ·v2·cos2θ

早在1738年，伯努利（D.Bernoulli，1700—1782）出版了《流体动力学》一书。他在该书中提出了流体定常流动观点及伯努利方程外，还发展了伽桑迪与胡克（Hooke，1635—1703）的观点，即设想气体压强来自粒子碰撞器壁所产生的冲量，在历史上首次建立了分子动理论的基本概念。上边的例题已经给出了一种物体碰撞平面产生冲量（也可以理解成冲力）的物理模型，那么我们能不能追随前人的脚步，利用这题的结论，推出一些更有意义的结果呢？

2 学生给出气体对确定器壁压强的定性和半定量分析

我们已经知道，气体对容器壁的压强从微观角度看，是由于大量分子热运动过程中不断与器壁发生碰撞，从而产生的一个统计平均效果。结合上题，我们可以这样来研究气体对器壁的压强问题。将上题中，所有的钢球换成理想气体分子，并认为每个气体分子与器壁的碰撞都是完全弹性碰撞，垂直于器壁方向的速度在碰撞前后等大反向。建立这种简化模型以后，我们利用上题中的结论P=2ρ·v2·cos2θ，对气体分子与器壁的碰撞进行相关研究。

显然，这个公式在分析理想气体与器壁碰撞的过程是需要修正的，其原因主要有以下几点：

（1）气体分子在空间中运动是无规则的热运动，所以，不同气体分子与器壁碰撞的速度大小是不等的，即结论中的不同。

（2）不同气体分子与同一器壁碰撞的方向是不同的，即结论中的是不同的。

（3）空间中的气体分子相对于某一个方向的器壁，从统计平均的角度上来说，只能有总数的一半的气体分子会与该器壁发生碰撞。即处在平衡态的气体具有分子混沌性。

综合上面三个原因，如果我们想要用上题的结论来推导出气体分子与某一器壁碰撞后产生的压强，必须对上面的结论进行以下修正：

1.用v2代替v2，体现统计平均效果；

2.用cos2θ代替cos2θ，体现统计平均效果；

3.用总粒子数的一半来体现撞击确定器壁的粒子数目，即乘以 即可。

依据前文的分析和修正，上题中的结论变为：

P=2ρ·v2·cos2θ·

设此种气体的相对原子质量为M，容器中气体物质的量为n，则可得该容器中气体的质量密度为ρ= （其中V为容器的体积），带入修正以后的结论可得：

PV=n·M·cos2θ·v2

若对于确定体积的气体而言，M=const，cos2θ=const，两者都为常数。我们知道，绝对温度是分子热运动剧烈程度的量度，且T∝v2，即T=αv2，其中α=const。所以我们可以设定一个常量R，用R来代替这三个常数的乘积。

可得公式：PV=nRT。

3 上述证明中的逻辑错误

上边的证明初看是比较合理的，但是细细思考，证明的过程中存在着严重的逻辑错误。问题主要来源于，我们如何得到T∝v2这样一个结论。在上边的证明中，笔者把此结论当做一个常识直接应用，这是存在严重错误的。首先，我们要弄清楚T∝v2此结论是如何推导出来的。笔者通过查阅文献发现，很多大学教材中，都是通过分析气体分子的理想碰撞模型，推导出气体压强p≈ nmv2，并对比理想气体状态方程pV=nRT，可得T∝v2。显然，如果用此种方法得到T∝v2，上边的证明过程是有问题的，问题在于用要证明的结论去辅助证明过程。还有没有别的办法得到T∝v2呢？在大学的教材中，经过比较复杂的推导，我们还可以用麦克斯韦速率分布函数来得到T∝v2，证明的过程相对繁琐，可参见参考文献[1]的相关章节。

4 结 语

本文通过一道自主招生模拟题的物理模型，展示了在一线教学中，学生给出的证明理想气体状态方程的方法，并指明了其中的逻辑错误，即用结论去证明结论。然而，物理是一门以实验为基础，要求严谨理论推导的学科，中学阶段是学生物理思维逻辑形成的重要阶段。如何去引导、帮助学生获得正确的逻辑推理能力，及时指出学生的逻辑错误，是我们在教学中应当充分重视的。

参考文献：

[1]秦允豪.热学（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]费恩曼，莱顿，桑兹，著，郑永令，华宏鸣，吴子仪，译.费恩曼物理学讲义（第一卷）[M].上海：上海科学技术出版社，2013.

[3]崔宏滨.中学物理奥赛辅导：热学·光学·近代物理学[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2012.

[4]范小辉.浅析热学中常用的一些物理学经典思想方法[J].物理教学，2013，（7）：8.

（栏目编辑 李富强）

摘 要：理想气体状态方程是中学物理热学中的一个重要方程，其严格的推导过程要用到能量均分定理、麦克斯韦速率分布等一系列大学物理的内容。本文中，笔者通过一道自主招生练习题中的碰撞模型，讲述在教学一线中部分学生给出的理想气体状态方程推导方法，并指出其中的逻辑错误，与广大读者讨论。

关键词：理想气体状态方程；碰撞；定性半定量；逻辑错误

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2014）10（S）-0034-2

1 一道自主招生题引发的思考

笔者在进行动量定理与动量守恒定律自主招生班教学时，曾给学生讲解过这样一道题：

[案例1]

已知在某空间中存在着大量质量为m的弹性钢球，小球在空间中分布的质量平均密度为ρ。小钢球因为某种作用，以与竖直方向夹角为θ，速度大小为v撞向面积为S的光滑刚性平面。已知碰撞作用使小钢球垂直于刚性平面方向的速度反向且大小不变。求由于小钢球的碰撞，S平面上平均压强P的大小。

图1 案例1示意图

解决这题的过程中显然要用到竖直方向的动量守恒定律（水平方向不受力，水平方向速度的分量不变）。我们可以取一段极短的时间Δt，研究在这一段时间内，能够撞击到平面上钢球对平面的作用力。容易看出，在Δt时间内，能够到达平面的钢球应当是分布在如图1所示虚线框立体体积中的钢球，该体积中钢球的质量为：

Δm=ρV=ρ·vΔtcosθ·S

又竖直方向动量守恒，取向上为正方向，运用动量定理可得：

P·S·Δt=Δm[vcosθ-（-vcosθ）]

带入其余量，化简可得：

P=2ρ·v2·cos2θ

早在1738年，伯努利（D.Bernoulli，1700—1782）出版了《流体动力学》一书。他在该书中提出了流体定常流动观点及伯努利方程外，还发展了伽桑迪与胡克（Hooke，1635—1703）的观点，即设想气体压强来自粒子碰撞器壁所产生的冲量，在历史上首次建立了分子动理论的基本概念。上边的例题已经给出了一种物体碰撞平面产生冲量（也可以理解成冲力）的物理模型，那么我们能不能追随前人的脚步，利用这题的结论，推出一些更有意义的结果呢？

2 学生给出气体对确定器壁压强的定性和半定量分析

我们已经知道，气体对容器壁的压强从微观角度看，是由于大量分子热运动过程中不断与器壁发生碰撞，从而产生的一个统计平均效果。结合上题，我们可以这样来研究气体对器壁的压强问题。将上题中，所有的钢球换成理想气体分子，并认为每个气体分子与器壁的碰撞都是完全弹性碰撞，垂直于器壁方向的速度在碰撞前后等大反向。建立这种简化模型以后，我们利用上题中的结论P=2ρ·v2·cos2θ，对气体分子与器壁的碰撞进行相关研究。

显然，这个公式在分析理想气体与器壁碰撞的过程是需要修正的，其原因主要有以下几点：

（1）气体分子在空间中运动是无规则的热运动，所以，不同气体分子与器壁碰撞的速度大小是不等的，即结论中的不同。

（2）不同气体分子与同一器壁碰撞的方向是不同的，即结论中的是不同的。

（3）空间中的气体分子相对于某一个方向的器壁，从统计平均的角度上来说，只能有总数的一半的气体分子会与该器壁发生碰撞。即处在平衡态的气体具有分子混沌性。

综合上面三个原因，如果我们想要用上题的结论来推导出气体分子与某一器壁碰撞后产生的压强，必须对上面的结论进行以下修正：

1.用v2代替v2，体现统计平均效果；

2.用cos2θ代替cos2θ，体现统计平均效果；

3.用总粒子数的一半来体现撞击确定器壁的粒子数目，即乘以 即可。

依据前文的分析和修正，上题中的结论变为：

P=2ρ·v2·cos2θ·

设此种气体的相对原子质量为M，容器中气体物质的量为n，则可得该容器中气体的质量密度为ρ= （其中V为容器的体积），带入修正以后的结论可得：

PV=n·M·cos2θ·v2

若对于确定体积的气体而言，M=const，cos2θ=const，两者都为常数。我们知道，绝对温度是分子热运动剧烈程度的量度，且T∝v2，即T=αv2，其中α=const。所以我们可以设定一个常量R，用R来代替这三个常数的乘积。

可得公式：PV=nRT。

3 上述证明中的逻辑错误

上边的证明初看是比较合理的，但是细细思考，证明的过程中存在着严重的逻辑错误。问题主要来源于，我们如何得到T∝v2这样一个结论。在上边的证明中，笔者把此结论当做一个常识直接应用，这是存在严重错误的。首先，我们要弄清楚T∝v2此结论是如何推导出来的。笔者通过查阅文献发现，很多大学教材中，都是通过分析气体分子的理想碰撞模型，推导出气体压强p≈ nmv2，并对比理想气体状态方程pV=nRT，可得T∝v2。显然，如果用此种方法得到T∝v2，上边的证明过程是有问题的，问题在于用要证明的结论去辅助证明过程。还有没有别的办法得到T∝v2呢？在大学的教材中，经过比较复杂的推导，我们还可以用麦克斯韦速率分布函数来得到T∝v2，证明的过程相对繁琐，可参见参考文献[1]的相关章节。

4 结 语

本文通过一道自主招生模拟题的物理模型，展示了在一线教学中，学生给出的证明理想气体状态方程的方法，并指明了其中的逻辑错误，即用结论去证明结论。然而，物理是一门以实验为基础，要求严谨理论推导的学科，中学阶段是学生物理思维逻辑形成的重要阶段。如何去引导、帮助学生获得正确的逻辑推理能力，及时指出学生的逻辑错误，是我们在教学中应当充分重视的。

参考文献：

[1]秦允豪.热学（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]费恩曼，莱顿，桑兹，著，郑永令，华宏鸣，吴子仪，译.费恩曼物理学讲义（第一卷）[M].上海：上海科学技术出版社，2013.

[3]崔宏滨.中学物理奥赛辅导：热学·光学·近代物理学[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2012.

[4]范小辉.浅析热学中常用的一些物理学经典思想方法[J].物理教学，2013，（7）：8.

（栏目编辑 李富强）