谈谈解含有绝对值号的问题

李玲

【摘要】绝对值的知识是初中数学的一个重要内容，蕴含着丰富的数学思想和方法，帮助学生掌握好绝对值的知识，对学生今后学习和研究数学问题有着非常重要的作用，本文将对如何解含有绝对值号的问题做些探讨。

【关键词】绝对值 符号 性质 零点 分段 确定 化简 定义

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）11 -0220-02

绝对值的知识是初中数学的一个重要内容，去绝对值号在解方程、化简、计算等问题中经常会遇到，其依据是

│a│=

不少同学只是形式上记住了定义，不会运用。绝

对值概念中蕴含着丰富的数学思想和方法，本文

将对如何解含有绝对值号的问题做些探讨，供同学们学习参考。

例1 解方程：已知（a-1）2+|b+3|=0，求a、b。

分析：根据平方数与绝对值的性质，题中（a-1）2与|b+3|都是非负数。因为两个非负数的和为“0”，当且仅当每个非负数的值都等于0时才能成立，所以由已知条件必有a-1=0与b+3=0，即可求出a、b。注意：对于任意一个有理数x，x2≥0和|x|≥0这两条性质是非常重要的，在解题过程中经常用到。

解：∵（a-1）2≥0 ， |b+3|≥0

又（a-1）2+|b+3|=0

∴a-1=0且b+3=0

∴a=1 ， b=-3

例2 解方程：已知 x-2=4，求x。

分析：本题应用了绝对值的一个基本性质：互为相反数的两个数的绝对值相等。即x-2=4或x-2=-4，由此可求出正确答案x=6或x=-2。

解： ∵x-2=4

∴x-2=4或x-2=-4

∴x=6或x=-2

例3 解方程：已知|x+1|+4=2x，求x。

分析：解简单的含有绝对值符号的方程，一般都根据绝对值的定义，先化去绝对值符号，然后求解。本题需把原方程转化为|x+1|=2x-4的形式后，才便于应用绝对值的定义。

解： ∵|x+1|+4=2x

∴|x+1|=2x-4

∵|x+1|≥0

∴2x-4≥0，x≥2

∵x≥2

∴x+1>0，|x+1|=x+1

原方程变形为x+1+4=2x

∴x=5

例4 计算：

|3x+3| + （-0.5

分析：当绝对值号内代数式的值的符号能唯一确定时，要先确定符号，再依据绝对值定义式去掉绝对值号。本题中

原式=|3x+3| +

=3x+3+0.5x-3

解：∵-0.51.5>0， 0.5x-3<-0.5<0

原式=3x+3+0.5x-3=（3x+3）-（0.5x-3）

=2.5x+6

例5 已知A

分析：本题必须先判断绝对值符号里代数式的符号，再根据绝对值的定义进行化简。

解：∵A

∴A-B<0，B-C<0，C-A>0

∴A-B+B-C+C-A

=-（A-B）+-（B-C）+C-A

=B-A+C-B+C-A

=2C-2A

例6 已知A=-A，=-1，C=C，化简A+B+A-C+B-C。

分析：本题先由已知条件求出A、B、C的取值范围，后判断绝对值符号里的代数式的符号，再根据绝对值的定义进行化简。

解：∵A=-A，=-1，C=C

∴A≤0，B<0，C≥0

∴A+B<0，A-C<0，B-C<0

∴A+B+A-C+B-C

=-（A+B）+-（A-C）+-（B-C）

=-A-B+C-A+C-B

=2C-2A-2B

例7 化简2x-2-x+4。

分析：要化简此式，关键是依据绝对值定义判断好绝对值符号内x-2和x+4在x取不同数值时它们的符号情况，才能正确地转化为不含绝对值的式子。为此，首先应判定|x-2|=0和|x+4|=0时x的取值，即x=2和x=-4，由此可知，x的取值可分为三种情况：即x<-4，-4≤x<2，x≥2。这时|x-2|和|x+4|就可依绝对值定义分别得到不同的去掉绝对值符号后的新形式了。

解 ：令x-2=0得零点：x=2，令x+4=0得零点：x=-4，把数轴上的数分为三个部分（如图）

当x≥2时， x-2≥0，x+4>0

∴原式=2（x-2）-（x-4）=x-8

当-4≤x<2时，x-2<0，x+4≥0

∴原式=-2（x-2）-（x+4）=-3x

当x<-4时，x-2<0，x+4<0

∴原式=-2（x-2）+（x+4）=-x+8

∴ 2|x-2|-|x+4|=

例8 求|x-1|+|x-3|的最小值。

分析：先化简此式，关键是依据绝对值定义判断好绝对值符号内x-1和x-3在x取不同数值时它们的符号情况，正确地转化为不含绝对值的式子，再从中找出最小值。

解：当x<1时，原式=1-x+3-x=4-2x>2

当1≤x≤3时，原式=x-1+3-x=2

当x>3时，原式=x-1+x-3=2x-4>2

所以|x-1|+|x-3|的最小值为2。

例9 化简|x+2|+|x-3|+|x+5|

分析：当绝对值号内代数式的符号不能唯一确定时，要对字母的取值范围恰当地分段，然后分别在每一段上确定符号。本题中要去掉三个绝对值符号，就要同时确定三个绝对值符号里的代数式的正负性，可采用零点分段法将数轴分成四段再化简。

由x+2=0，x-3=0，x+5=0，分别求得零点值x=-2，x=3，x=-5

当x≤-5时，x+2≤-3<0，x-3≤-8<0，x+5≤0

当-50

当-20，x-3≤0，x+5>3>0

当x>3时，x+2>5，x-3>0，x+5>8>0

解： 当x≤-5时，原式=-（x+2）+-（x-3）+-（x+5）=-4-3x

当-5

当-2

当x>3时，原式=x+2+（x-3）+（x+5）=4+3x

例10 解方程： |x-1|-2|x-2|+3|x-3|=4

分析：当绝对值号内代数式的符号不能唯一确定时，要对字母的取值范围恰当地分段，然后分别在每一段上确定符号。本题中要去掉三个绝对值符号，就要同时确定三个绝对值符号里的代数式的正负性，分别求得零点值x=1，x=2，x=3，可采用零点分段法将数轴分成四段再求解。

解： （1） x≤1时 1-x-2（2-x）+3（3-x）=4

1-x-4+2x+9-3x=4

-2x=-2

x=1成立

（2） 1

x-1-4+2x+9-3x=4

4=4 成立

（3） 2

x-1-2x+4+9-3x=4

-4x=-8

x=2 不成立

（4） x>3时 x-1-2（x-2）+3（x-3）=4

x-1-2x+4+3x-9=4

2x=10

x=5 成立

综上：原方程的解为1≤x≤2或x=5

以上10道例题分析了如何解含有绝对值号的几个题型，含有绝对值号的问题在解不等式、函数、作函数图像等问题中也常会遇到。希望同学们在解题中不断总结和归纳，能灵活的解答各种题型。掌握好绝对值的知识，可以增强同学们的逻辑思维、形象思维、辩证思维等，对于大家今后学习和研究数学问题有着非常重要的作用。