子弹打木块模型的综合分析

尹明德

（甘肃省秦安县一中，甘肃 秦安 741600）

子弹打木块模型，既综合了匀变速运动知识，又综合了牛顿定律知识，还综合了能量和动量知识，引导学生从不同角度来分析探究该问题，不仅能巩固学生所学的物理知识，更能提高他们综合分析问题的能力.

图1

问题1.如图1所示，质量为m（重力不计）的子弹以初速v0击穿静止在光滑的水平面上质量为M长为l的木块，试讨论：子弹穿过木块的时间、子弹刚穿出的速度和木块获得的速度各由什么因素决定？

解析：把击穿过程中子弹与木块间的摩擦力f设为恒力（理想化），从牛顿定律和运动学知识来看：

对子弹（视为质点）m：木块对子弹的阻力f（就是合力）向左，产生向左的加速度为

使子弹做匀减速直线运动，它击穿木块时的速度为v1，有

子弹对地发生的位移为

对木块M：子弹对木块的动力f（合力），产生向右的加速度为

M获得的速度为

M的位移为

击穿条件：x1－x2≥l（取等号是刚好击穿），即

代入（2）式，得

代入（5）式，得

由（8）～（10）式知决定t、v1、v2大小的因素有m、M、f、v0和l.由（9）、（10）式还看出，击穿时子弹和木块的速度满足：v1＞v2.

图2

例1.静止在光滑水平面上的木块，被一颗子弹沿水平方向击穿，若子弹击穿木块的过程中子弹受到木块的阻力大小恒定，则当子弹入射速度增大时，下列说法正确的是

（A）木块获得的速度变大.

（B）木块获得的速度变小.

（C）子弹穿过木块的时间变长.

（D）子弹穿过木块的时间变短.

图3

解析：若用控制变量法：当m、M、f和l不变（题目隐含），v0增大，由（8）、（10）式来分析，因数学式子复杂很难得出v2及t的变化结论.但若利用v-t图像如图3所示，v0增大使v0a线向上平移，ab线向左平移至a1b1时才能保持阴影部分面积相等（前后梯形面积不变）.故v0增大，子弹射穿木块时的速度增大，木块获得的速度减小，子弹穿过木块的时间变短，选项（B）、（D）正确.

迁移1：若只增大木块的质量（m、v0、f、l均不变，M增大）这时如图4所示，M增大使Ob顺转到Ob2，ab左移到a2b2，而前后梯形面积相等，阴影部分面积必相等，故M增大，子弹射穿木块时的速度增大，木块获得的速度减小，子弹穿过木块的时间变短.

迁移2：若只减小子弹质量m，如图5所示，线v0a顺转到v0a3，Ob延长到Ob3，ab线移到a3b3，前后梯形面积要相等，图中阴影部分面积必相等，这时子弹射穿木块时的速度减小，木块获得的速度增大，子弹穿过木块的时间变长.

图4

图5

问题2：仍如图1所示，探究子弹与木块作用过程中系统损失的机械能的情况.

对M有

（1）、（2）式相加有

即水平方向动量守恒.又据动能定理，对子弹

对木块

由（4）、（5）式得

或

结合能量守恒可知：子弹减少的机械能一部分转化为木块的机械能，另一部分转化为系统的内能（Q＝fl），或系统减少的机械能转化为子弹与木块间因动摩擦力而产生的内能.

（8）式化简得

结论：系统损失的机械能等于因摩擦而产生的内能，且等于摩擦力与两物体相对路程的乘积，即Q＝ΔE系统机损＝fl（l为相对路程），其推广式为Q＝f1l1＋f2l2＋…＋fnln.

例2.如图6（甲）所示，质量为2m的长木板静止地放在光滑的水平面上，另一质量为m的小铅块（可视为质点）以水平速度v0滑上木板的左端，恰能滑至木板的右端且与木板保持相对静止，铅块在运动过程中所受到的摩擦力始终不变.若将木板分成长度与质量均相等（即m1＝m2＝m）的两段1、2后，将它们紧挨着放在同一水平面上，让小铅块以相同的初速度v0由木板1的左端开始运动，如图6（乙）所示，则下列说法正确的是

图6

（A）小铅块滑到木板2的右端前就与之保持相对静止.

（B）小铅块滑到木板2的右端后与之保持相对静止.

（C）（甲）、（乙）两图所示的过程中产生的热量相等.

（D）图（甲）所示的过程产生的热量大于图（乙）所示的过程产生的热量.

解析：长木板分两段前，铅块和木板的最终速度为

且有

图7

长木板分两段后，可定量计算出木板1、2和铅块的最终速度（请读者去求），从而可比较摩擦生热和相对滑动的距离；也可用图像法定性分析，如图6（丙）所示，比较得到小铅块到达右端之前已与木板2保持相对静止，故图（甲）所示的过程产生的热量大于图（乙）所示的过程产生的热量，选项（A）、（D）正确.

迁移练习：如图7所示，电容器固定在一个绝缘座上，绝缘座放在光滑水平面上，平行板电容器板间的距离为d，右极板上有一小孔，通过孔有一左端固定在电容器左极板上的水平绝缘光滑细杆，电容器极板以及底座、绝缘杆总质量为M，给电容器充电后，有一质量为m的带正电小环恰套在杆上以某一初速度v0对准小孔向左运动，并从小孔进入电容器，设带电环不影响电容器板间电场分布.带电环进入电容器后距左板的最小距离为0.5d，试求：

（1）带电环与左极板相距最近时的速度v；

（2）此过程中电容器移动的距离s；

（3）此过程中能量如何变化？

解析：（1）带电环进入电容器后在电场力的作用下做初速度为v0的匀减速直线运动，而电容器则在电场力的作用下做匀加速直线运动.当它们的速度相等时，带电环与电容器的左极板相距最近，根据系统动量守恒定律，从动量观点有

从力与运动观点，设电场力为F，

（2）从能量观点，对m有

对M有

图8

带电环与电容器的速度图像如图8所示.由三角形面积可得

（3）在此过程中，带电小环动能减少，电势能增加，同时电容器等的动能增加，系统中减少的动能全部转化为电势能.