基于Matlab Simulink的分数阶Volta系统仿真

周福萍，杨军

基于Matlab Simulink的分数阶Volta系统仿真

周福萍，杨军

基于Matlab Simulink仿真技术，本文研究分数阶Volta系统的仿真问题。 首先对Oustaloup滤波器进行模块封装得到分数阶微分求解器；其次利用Matlab Simulink工具箱和分数阶微分求解器，对分数阶Volta系统搭建可视化仿真框图并设置仿真参数，运行仿真，进而得到分数阶Volta系统的轨线图和相图；最后从仿真结果可以看出分数阶Volta系统是混沌的，从而说明文章所设计的仿真方法是可行和有效的。

分数阶微积分；分数阶Volta系统；Matlab Simulink仿真；Oustaloup滤波器

分数阶微分方程 (FODE)近年来已被广泛的应用于图像处理、信号处理、地震分析、流体力学、分数阶控制器设计等领域。所谓FODE是指微分方程中出现了分数阶导数，由于FODE具有历史依赖性与全域相关性，增加了其数值计算复杂性.现阶段FODE的数值算法主要包括：1.有限差分法：Crank-Nicholson格式、预估校正算法等；2.级数逼近法；3.有限元法；4.无网格方法；5.矩阵转化法、外推法；6.Matlab Simulink方法.其中最为直接和有效的方法为Matlab Simulink方法，下面重点介绍Matlab Simulink方法。

Matlab Simulink toolbox是Matlab公司开发的用于分析动态系统和建模仿真的一组程序包，它能实现在连续时间，离散时间或两者的复合情况下建模.Simulink提供一种基于框图的可视化建模与仿真方法，用鼠标拖放块状图表即可完成建模，此过程就像用铅笔在纸上画模型一样，其为复杂工程系统的建模与仿真提供了崭新的思路和方法。

本文将在Oustaloup滤波器进行模块封装得到分数阶微分求解器的基础上，利用Matlab Simulink仿真工具箱，讨论分数阶Volta系统的数值仿真问题。

一、Oustaloup滤波器和分数阶微分求解器

由于在FODE中微积分的阶次可取非整数，所以传统ODE的Simulink仿真算法不能直接使用，一般可采用整数阶滤波器如Oustaloup滤波器来逼近分数阶微分算子Sγ。该滤波器的传输函数为：

传输函数中的增益和滤波器零极点由下式给出

而（ωb,ωh）为期望的拟合频率区间，N为用户选取定的滤波器阶数。根据上面的滤波器设计式，在Matlab M-file窗口中编写出如下的M函数以便仿真过程中调用：

综上所述，建立如图1.a所示的分数阶微分滤波器模块，然后对其进行封装，得到如图1.b所示的分数阶微分求解器，以便在后面的仿真过程中调用该求解器。尽管理论上Oustaloup滤波器可以求解任意阶次的分数阶微积分，但从微积分数值分析精度的角度来看，Oustaloup滤波器更适合求解阶次为1以内的分数阶微积分。于是可以将高阶分数阶微积分先进行整数阶微积分运算后，再利用Oustaloup滤波器对运算的结果进行滤波处理，以达到更好的数值计算精度。

图1 分数阶微分求解器设计模块

对图1-b中的分数阶微分求解器进行双击即得参数设置对话框 (如图2所示)，在该对话框中用户可以根据需要设置Oustaloup滤波器的参数。

图2 Oustaloup滤波器参数对话框

在模块封装Initialization选项卡中输入如图3所示的代码，以便在使用分数阶微分求解器模块前先自动设计出滤波器，并根据阶次正确显示图标，据此可以对分数阶系统进行可视化Simulink建模。

图3 分数阶微分求解器封装参数对话框

下面将通过分数阶Volta系统演示该模块在FODE近似求解中的应用.

二、分数阶Volta系统仿真实现

考虑下面的分数阶的Volta微分方程组模型，该系统是一个分数阶混沌系统，其具体的数学描述参见文献。

（1）式中的系统参数如下：

应用Matlab Simulink toolbox仿真系统(1)，由于Oustaloup滤波器不能设置初值，故需将分数阶的Volta系统(1)转化为如下的等价分数阶微分积分方程，以便于引入积分器设置初值：

根据方程(2)，在Matlab Simulink环境下作出如图4所示的Simulink框图。

接下来，在M-file对话框中输入系统参数并命名为Volta.m文件保存；将图1中的分数阶微分求解器命名为Fsolver.mld保存；将图4中分数阶Volta系统Simulink框图命名为FodeVolta. mdl保存.运行仿真之前需要将Volta.m、Fsolver.mld、FodeVolta. mdl和前面所述的ousta_fod.m文档放到同一个目录下面。下面分三步运行仿真：

（1）运行Volta.m；

（2）运行Fsolver.mld；

（3）运行FodeVolta.mdl.

图4 分数阶Volta系统(1)的Matlab simulink仿真框图

仿真结果如图5-11所示：其中图5-7分别给出了系统的状态变量x(t),y(t),z(t)的轨线图；系统的相图则由图8-10给出；图11则是系统的相轨迹图。

从仿真结果可以看出分数阶Volta系统(1)是混沌的，这与文献从理论上证明该系统是混沌的是一致的，进而说明本文所设计的仿真算法(框图)的可行性和有效性。

图5 状态变量x(t)的轨线图

图6 状态变量y(t)的轨线图

图7 状态变量z(t)的轨线图

图8 x(t)vs.y(t)的相图

图9 x(t)vs.z(t)的相图

图10 y(t)vs.z(t)的相图

图11 分数阶Volta系统(1)的3维相轨图

三、结论

通过Matlab Simulink仿真技术，本文主要讨论了分数阶Volta系统仿真问题.通过对Oustaloup滤波器进行模块封装，得到了分数阶仿真的核心子模块——分数阶微分求解器；在此基础上，利用Matlab Simulink工具箱对分数阶Volta系统搭建Simulink框图，设置仿真参数，运行Simulink框图实现仿真。最后得到分数阶Volta系统的轨线图和相图，另一方面从仿真结果还可以看出分数阶Volta系统是混沌的，从而说明本文所设计的仿真方法的可行性和有效性。值得一提的是本文提出Simulink框图做适当修改即可实现其它分数阶线性/非线性系统的仿真。

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周福萍,女,四川成都人,西南科技大学在校学生，研究方向：工程管理；

杨军,男,四川泸州人,理学博士,中国民航飞行学院副教授，研究方向：动力系统分析与仿真。

O193．1

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1008-4428（2015）05-104-03