n阶非齐次线性微分方程通解结构的判定

段素芳

(青岛理工大学琴岛学院，山东青岛266106)

目前关于求非齐次线性微分方程的通解，主要是求一、二阶非齐次线性微分方程的通解(或特解)［1］，还有的求三阶(常系数)非齐次线性微分方程的通解［2］，本文推广以后得到n阶非齐次线性微分方程通解的结构与一、二阶方程通解的结构相同.

1 一阶非齐次线性微分方程通解的结构

首先，利用分离变量再积分的方法得齐次方程(2)的通解为 y=ce-∫p(x)dx，c为任意常数.

其次，利用常数变易法得非齐次方程(1)的通解

而方程(2)的通解为Y(x)=ce-∫p(x)dx

故一阶非齐次线性微分方程通解的结构为

2 二阶非齐次线性微分方程通解的结构

关于二阶非齐次线性微分方程的通解有如下定理

定理［3］设y*(x)是二阶非齐次线性微分方程(3)的特解，Y(x)是对应齐次方程(4)的通解，则y=Y(x)+y*(x)是方程(3)的通解.

注:以上定理对二阶常系数非齐次线性微分方程同样成立.

3 定理及证明

由一、二阶常系数非齐次线性微分方程通解的结构推广到n阶常系数非齐次线性微分方程，得如下结论

定理n阶常系数非齐次线性微分方程为

设Y(x)是n阶常系数齐次线性微分方程

的通解，y*(x)是方程(6)的特解，则n阶常系数非齐次线性微分方程(5)的通解为

其中方程(6)的通解为Y(x)=c1y1+c2y2+…+cnyn，y1，y2，…yn是方程(6)的n个线性无关的特解.

证明:设y* 是方程(5)的特解，y1，y2，…yn是对应齐次方程(6)的n个线性无关的特解，则齐次方程(6)的通解为Y(x)=c1y1+c2y2+…+cnyn

又设方程(5)的任意一个解为y，则y-y* 是对应齐次方程(6)的一个解，

于是存在不全为零的n个数c1，c2，…，cn使得y-y* =c1y1+c2y2+…+cnyn

即y=y* +c1y1+c2y2+…+cnyn

上式即为n阶常系数非齐次线性微分方程(5)的通解.

4 举例说明

例1 求方程y‴-4y″+4y′=(2x+1)e2x的通解.

解:对应齐次方程:y‴-4y″+4y′=0

特征方程:r3-4r2+4r=0

特征根:r1=0，r2=r3=2

由题意知Pm(x)=x+2(m=1)λ=2

因为λ=2是特征方程的二重根，故可设原方程特解y* =x2(ax+b)e2x

例2求方程y‴+2y″-2y′-4y=excosx的通解

解:特征方程:r3+2r2-2r-4=0

要求原方程一个特解，先求方程y‴+2y″-2y′-4y=ex(cosx+isinx)=e(1+i)x的特解

令 Q=a，Q′=Q″=Q?=0，φ(λ)= λ3+2λ2-2λ-4

且φ(1+i)=4i-8

故原方程得通解为:y=Y(x)+y*

5 结语

一、二阶非齐次线性微分方程通解的结构为对应齐次方程的通解加上非齐次方程自身的一个特解，以此类推得到n阶非齐次线性微分方程通解的结构也与之相同，同时在例2的计算过程中公式使得传统的待定系数法更加简单.

［1］陈华喜.二阶常系数线性非齐次微分方程特解的若干求法［J］.长沙大学学报，2010，(5):1－2.

［2］吴檀.三阶常系数非齐次线性微分方程的通解［J］.北京科技大学学报，1994，(2):2－5.

［3］同济大学数学系.高等数学(第6版)［M］.北京:高等教育出版社，2006.

［4］邓云辉.线性常系数非齐次微分方程的特解公式［J］.数学的实践与认识，2009，(5):2－3.