一道典型题目的典型错解

张尚财

内蒙古阿拉善盟第一中学

一道典型题目的典型错解

张尚财

内蒙古阿拉善盟第一中学

均值不等式是不等式的一个重要变形依据，是高考中不可缺少的解题工具，常用于证明不等式、判断不等式是否成立、求函数的值域或者最值、求字母的取值范围、求解实际问题等，它所能解决的题型遍布高考试题的选择、填空及解答题，但在运用时，同学们往往不能很好的运用均值不等式成立的条件。

例如：已知x>0,y>0，且，求x+y的最小值。

解：∵x>0,y>0，且

，故(x+y)min=12

上面解法看上去似乎每一步都是合情合理的，但实际上答案是错误的。那到底是为什么了？关键是没有注意到利用均值不等式时等号成立的条件，即“且x=y”，显然不能同时成立。下面提供几种正确的解法：

一、利用均值不等式

均值不等式解题的关键是深刻理解“一正二定三相等”的内涵，只有使“七字”成为启迪思维的动力，才能达到解题的效果。

解法1：∵x>0,y>0，且

故x=4,y=12时，(x+y)min=16

二、判别式法

把问题转化为方程有实根从而利用判别式解题。

解法2：设

，得z≥16，故(x+y)min=16

三、三角换元法

利用“1”的特殊性,通过三角换元能够巧妙解题。

解法3：∵x>0,y>0，且

四、数形结合法

数学家华罗庚说过“数无形却直观，形无数难入微”数形结合能开启学生的思维，培养学生的能力，从而养成良好的解题习惯。

解法4

如图，在图像上找一点，使x+y最小

作直线y=-x,向上平移使当y=-x+z与相切时，x+y取最小值16.

五、导数法

解法5：由解法5知，当y=-x+z与相切时，x+y取最小值

通过多种解法，为学生的思维提供联系，猜想，归纳抽象的机会，促使学生的思维由封闭状态逐步过渡到开放状态，从而培养学生思维能力，更有利于培养学生的分析问题和解决问题的能力。