小行星探测器轨迹优化方法

周誌元，谭天乐

（1.上海航天控制技术研究所，上海 200233；2.上海市空间智能控制重点实验室，上海 200233）

0 引言

近年来，小行星探测已成为深空探测中的研究热点，小行星上有丰富的自然资源；研究其轨道的运动机制，可评估小行星撞击地球的潜在风险。国际上的小行星探测任务越来越频繁，国内也开展了小行星探测的背景论证。小行星带位于火星与木星间，距离地球距离很远，采用传统化学推进则需携带大量推进剂，当探测器重量受限时，只能减少有效载荷的占比，因此小行星探测普遍采用小推力电推进技术。小推力轨迹优化有别于传统脉冲推进的动力学模型，给轨迹优化带来了挑战。轨迹优化对航天器设计有重要的意义和实际的工程应用价值，通过轨迹优化能减少航天器的燃料消耗，延长其在轨寿命，在深空探测时能以更短的时间，飞越更多的小行星，获得更大的科学回报。目前，常用的轨迹优化数值方法有直接法和间接法。从20世纪90年代开始，兴起的一类智能优化算法在全局优化方面为轨迹优化提供了新思路。本文基于多目标小行星小推力轨迹优化研究热点，综述了小行星探测中的直接法、间接法和智能优化算法原理、特点与应用。

1 轨迹优化问题

航天器轨迹优化问题可用一般的最优控制数学描述表示：对一个给定的系统，寻找控制变量，在其作用下能使系统的性能指标最好。

一般，性能指标为Bolza型性能指标，可表示为

式中：Φ为末值型性能指标函数；L为积分型性能函数中被积函数；t0，tf分别为初始和终端时刻；x为系统的状态变量，且x（t）∈Rn；u（t）为控制变量，且u（t）∈Rm。满足系统状态方程

边界条件

等式和（或）不等式约束

2 直接法

直接法通过把控制变量或状态变量离散和参数化，将最优控制转换为一个非线性规划，再通过数值方法求解使性能指标最优参数，从而获得最优控制问题的解。

直接法的特点是易收敛，无需推导一阶最优条件；因参数均有物理意义，便于初值猜测；离散后优化变量过多，计算量很大，直接法无法保证求出的是全局最优解，易收敛至局部最优解。

直接法有多种，主要分三类，区别是求解参数的不同（仅求解控制参数还是同时求解全部或部分状态参数）、数值积分方法的不同和插值方法的不同［1］。目前发展的直接法主要有直接打靶法、配点法、伪谱法和微分包含法等。

2.1 直接打靶法

直接打靶法是仅将控制变量在整个时间区间上离散并参数化，通过显示数值积分获得状态变量，从而求出目标函数，将最优控制转为非线性规划，用对目标函数寻优确定控制变量离散后的待求参数［2］。

因仅离散控制变量，与其他直接法相比直接打靶法的优点是优化变量少，计算时间短，可相对快速求解最优轨迹问题［3］。但因直接打靶法中的数值积分区间为单区间［t0，tf］，在时间间隔较大时积分精度会降低，增加分段节点数又会增加运算量。

直接打靶法早期就被用于解决火箭（如大力神、Delta）上升轨迹优化和空间飞行器转移轨迹优化。有学者用直接打靶法研究了有限推力轨迹优化问题：文献［3］用直接打靶法将最优轨迹问题转化为参数优化问题，分析了转化过程中产生的误差，并将直接打靶法应用到最优交会问题；文献［4］综合了Gauss伪谱法和直接打靶法，研究了高精度月球定点着陆轨道优化设计，优化所得最佳着陆轨道可很好满足边界和过程约束，计算精度较高，且对初值要求不敏感，收敛速度快；文献［5］提出了一种多重直接打靶法，是对直接打靶法的一种改进，并不单纯离散控制变量，而是将节点处的控制变量和状态变量均作为设计变量，通过分段积分可提高计算精度。

2.2 直接配点法

直接配点法是一种将控制变量和状态变量同时离散的方法，最早由HARGRAVES提出。直接配点法将系统整个时间过程划分为N段，每段的两个端点称为节点（Node），两节点间用多项式代表状态变量随时间的变化关系，这些多项式属于Gauss－Lobatt多项式族［6］。控制变量的变化一般假定为线性，用分段线性函数表示。

根据选取的多项式类型、阶次和插值与积分方法的不同，直接配点法又可分为低阶的梯形法、Simpson法，以及高阶的四阶、五阶方法等。轨道优化中，一般常用的是低阶方法，如三阶Simpson法。

配点法获得的非线性规划模型的优化变量维数多于直接打靶法，但该法更易收敛，精度也有提高。对轨迹优化应用，早期OTIS软件中集成了一系列飞行器轨迹优化问题的模型，目前已发展到了OTIS4版本。文献［7－8］基于直接配点法研究了飞行器再入轨迹优化设计和月球软着陆轨道快速优化，用直接配点法将最优控制问题离散化为非线性规划问题，应用SNOPT软件包求解参数最优问题，直接配点法对这两类问题的初值取值不敏感，求解过程有一定实时性。文献［9］基于双积分轨道动力学模型给出了一种改进配点法，在不增加非线性规划问题约束条件下，用四阶Gauss－Labatto积分式处理系统微分方程，提高了配点法的计算精度，并将此方法用于地球－金星的燃料最省小推力转移轨道问题。文献［10］基于配点法研究了轨道在线优化方法，可得高精度的轨道优化结果，且对状态量和控制量的初值选取不敏感，仿真具有实时性，计算速度快，可满足在线轨道优化的要求。

2.3 伪谱法

伪谱法又称为正交配点法，也是一种同时离散控制变量和状态变量的直接方法，早期源于解决流体力学问题的光谱分析法。伪谱法用正交多项式对状态变量和最优控制变量进行近似表示，将最优控制问题转化为非线性规划问题进行求解。

伪谱法可根据配点、节点位置和插值基函数的不同而分类，在航天航空领域较常见的有Chebyshev伪谱法（CPM）、Legendre伪谱法（LPM）、Gauss伪谱法（GPM）和 Radau伪谱法（RPM），见表1［11］。

表1 不同伪谱法Tab.1 Various orthogonal collocation

伪谱法与直接配点法的不同是采用了全局插值多项式而非分段插值多项式拟合状态与控制变量。伪谱法对数值迭代初值敏感性很低，收敛性非常好。

国内外对伪谱法进行了研究，伪谱法应用很广，如导弹制导、机械臂控制、振动阻尼、月面导航、上升段、再入轨和轨道转移的最优控制等。文献［12］证明了Gauss伪谱法中非线性规划的KKT条件与离散的哈密顿边值问题的一阶最优性条件一致，采用此方法就能使非线性规划问题的解满足间接法的一阶最优性条件，从而改善了直接法中的不足。基于伪谱法的轨迹优化已有实际应用。2006年11月5日和2007年的3月3日，国际空间站（ISS）基于伪谱法的轨迹优化，成功完成了2次“零推进”大角度姿态机动［13］。这两次成功的应用证明了其具有解决高复杂、非线性最优控制问题的能力，以及用于实际系统的可能性。

2.4 微分包含法

1994年，SEYWALD提出了一种基于微分包含的轨迹优化方法［14］。文献［15］对该方法进行了深入研究。它是一种基于隐式积分原理的离散方法，首先将控制变量转化为状态变量，之后对状态变量进行离散化。

作为配点法的一种改进方法，微分包含法与配点法OTIS程序有类似的结构。其突出优点是仅对状态变量进行离散，而通过对状态变量的变化率的限制将受限控制变量消去［16］。该方法关注的是状态变量和状态的变化率，不需要明确的控制变量，这样就避免了非线性规划中的初值猜测，且减少了非线性规划问题的参数空间维数，使求解的速度更快，利于航天器轨迹优化的在线实现。

在轨迹优化中，文献［17］基于微分包含法研究了小推力行星际任务设计问题，并引入高阶导数估计提高了精度和收敛速度。文献［18］用微分包含法研究了导弹的轨迹优化问题，使目标区域估计的不确定性达到最小。

3 间接法

间接法是基于庞特里亚金极小值原理将最有控制问题式（1）～（4）转为一个哈密顿边值问题（HBVP）。引入哈密顿函数

式中：λ（t）为状态x（t）的协调矢量或伴随矢量；f［x（t），u（t），t］为系统状态方程式（2）的右函数。边界条件式（3）包含了初始条件x（t0）＝x0和终值条件N［x（tf），tf］＝0。

设u＊为最优控制，其必要条件是存在一个非零矢量函 数λ＊（t）（t∈ ［t0，tf］），使u＊（t），λ＊（t），x＊（t），，满足条件：

a）哈密顿方程组

b）极小值条件

c）终端横截条件

式中：N为终值条件；υ为未知的拉格朗日乘子，且υ∈Rq。

d）终端约束

间接法一般先基于极小值条件式（8）求出最优控制变量关于协态变量和状态变量的函数，然后通过求解哈密顿方程组、终端横截条件和约束构成的一个两点边值问题，从而获得最优轨迹x＊（t）和最优控制u＊（t）的数值解。

间接法用于轨迹优化问题时解的精度较高，并满足一阶最优性条件。但间接法也存在缺点：一是基于庞德李亚金极小值原理推导最优解与横截条件等过程较复杂和繁琐。二是求解两点边值问题时收敛域很小，致使对未知边界条件的初值估计精度要求很高，且小行星轨迹优化问题本身非常复杂，用间接法要求估计协态变量的初值，而协态变量无实际物理意义，其初始值难以估计，增大使用间接法的难度。三是当轨迹优化问题中含路径约束，如多目标小行星探测中有探测目标小行星的路径顺序等约束，就难以采用间接法，须将路径约束通过数学变换转化为等价的终端约束，才能用间接法求解。四是含隐式约束条件时，很难消去相应的拉格朗日乘子，计算量将增大。

在20世纪60年代，间接法就开始用于轨迹优化领域。文献［19］用间接法研究了有限推力最优变轨问题。文献［20］用间接法研究了基于电推进系统的最优共面轨道转移问题，解决了近地轨道卫星在地球暗面的最优轨迹问题。文献［21］用间接法研究了小推力轨道优化问题，通过末端横截条件反向积分伴随方程迭代求解最优解，从而避开了伴随变量的猜测，并将此方法用于逃逸地心引力场轨道和低轨道变轨的优化。文献［22］针对多目标、多任务小行星探测，用间接法研究了燃料最优小推力轨迹优化问题。

对两点边值问题中的初值估计进行了进一步研究：针对共面航天器的连续推力最优控制，文献［23］提出了一种共态变量初值的近似估计方法，可用于边值问题中的初值估计；文献［24］研究了初始伴随变量估计问题，提出了一种可近似估计所有初始伴随变量的方法，通过时间最优小推力轨道转移问题验证了方法的可行性；文献［25］针对小推力轨道设计提出了一种无需初值猜测的间接法，有效提高了计算效率，适于大批量的轨道搜索任务。

4 智能优化算法

智能优化算法是通过模拟或揭示某些自然现象或过程发展而来的优化算法，涉及了数学、物理学、生物学、人工智能、神经科学、统计力学和计算机科学等学科。自20世纪80年代以来，智能优化算法发展迅速，进化算法、禁忌搜索算法、粒子群算法、模拟退火算法、蚁群算法等新的优化算法不断涌现，在众多领域中都有应用。90年代以来，因智能优化算法相对经典优化算法，具全局、并行、高效特点，有更好的全局收敛性，在航天器轨迹方面发展迅速，成为了轨迹优化的一个研究热点。

4.1 遗传算法

在智能优化方法中进化算法的应用最广，进化算法主要包括遗传算法、进化策略和进化规划等，其中遗传算法的应用最成功、最广泛。遗传算法随机产生称为种群（或群体）的一组初始解，开始进行搜索。种群中的每个个体是问题的一个解，称为染色体。染色体通过一代代的选择、交叉、变异等遗传操作不断进化，此过程称为遗传。遗传算法不是一般的随机搜索算法，染色体的好坏是用个体适应度函数评价，通过适应度函数判定在种群中选择部分适应性较好的个体，与交叉和变异产生的新个体组成下一代种群，继续进化过程，最终进化到“最适应环境”的个体，获得问题的最优解或次优解。

基于遗传算法的轨迹优化，需经以下步骤。

a）首先需要考虑问题的参数化。航天器轨迹优化问题一般是最优控制问题，搜索空间是泛函空间，遗传算法不能直接用于求解最优控制问题。需要将这类动态优化问题进行参数化，转为静态优化问题便于编码和解码。参数化方法是飞行器轨迹优化和遗传算法间的桥梁，其精度直接关系最优轨迹的好坏程度［26］。

b）对染色体进行编码。在遗传算法中描述问题的解，即将一个问题的解从其解空间转换到遗传算法能处理的搜索空间的转换方法称为编码［27］。编码决定了染色体的排列形式、个体从搜索空间的基因型变化到解空间的表现型时的解码方法、交叉算子和变异算子等遗传算子的运算方法，以及遗传进化运算的效率。

c）设计适应度函数，计算每个个体的适应度。在遗传算法中，模拟自然选择的过程是通过计算个体适应度函数值评判的，设计合适的适应度函数直接关系最优解的好坏。智能优化算法基本针对无约束优化问题，而航天器轨迹优化是具多个复杂约束的非线性最优控制问题，须结合约束处理，设计合适的适应度函数表示传统优化方法中的目标函数。目前，最常用的约束处理技术是罚函数法，其原理简单，实现方便，对问题本身无苛刻要求［28］。

d）一般的遗传算法包含选择、交叉和变异三个基本操作。遗传算法使用选择（或称复制）操作优胜劣汰群体中的个体。适应度较高的个体被遗传到下一代群体中的概率较大，适应度较低的个体被遗传到下一代群体中的概率较小。交叉操作是指对两个相互配对的染色体按某种方式相互交换其部分基因，而形成两个新个体。变异操作是指对个体的某些基因上的基因值作变动，形成一个新个体。使用变异算子可改善遗传算法的局部搜索能力，维持群体的多样性，防止出现早熟，陷入局部最优解。

e）遗传算法中需选择的遗传控制参数主要有个体编码串长度、群体大小、交叉概率、变异概率和终止代数。

遗传算法是一种高度并行、不依靠梯度信息、自适应的全局搜索优化算法，具较强的鲁棒性，能快速排除适应度较差的个体，加快寻优速度，并避免了传统优化方法的初值猜测。文献［29］基于遗传算法研究了航天器小推力轨迹转移问题。LARRY提出的遗传算法虽然可避免经典算法中初值估计问题，但寻优精度劣于经典算法［30］。文献［31］基于遗传算法研究了月球卫星小推力变轨，解决了从双曲线轨道到圆轨道的燃料最省问题。

遗传算法也有缺点，如早熟、局部寻优能力较差。对航天器轨迹优化此类复杂问题，常需要对遗传算法进行改进，利用经典算法局部寻优能力强的特点，构成混合遗传算法，弥补遗传算法的不足。常用的方法有串行混合和并行混合。国内外对遗传算法改进进行了大量研究：文献［32］提出了一种高效的全局优化混合遗传算法，结合局部优化方法与遗传算法，以改善遗传算法局部寻优的能力，使寻优速度更快更高效，特别适于工程系统中大规模优化问题；文献［33］基于混合遗传算法对机翼优化设计进行了研究，将牛顿迭代作为局部优化与遗传算法混合，提高了局部寻优能力和寻优速度。

4.2 模拟退火算法

模拟退火算法是KIRKATRICK等在20世纪80年代初提出的，这是一种模拟固体退火过程的启发式随机搜索优化方法。在某一初始温度下，固体的温度慢慢下降，当温度达到稳态时，固体的内能最小，基于上述逻辑，用固体的状态表示问题的解x，固体状态相对应的能量E表示目标函数f（x），温度t为控制参数。从初始温度t0开始降温，对当前温度ti的解xi计算对应的目标函数f（xi），判断是否接受，若f（xi）＜fmin，则接受并更新最优解，若不成立则产生新温度，重复上述过程，经反复迭代最终收敛至稳定的温度，得到全局最优解xmin，fmin为相应的最优值。

模拟退火的搜索结合了具有概率突跳性的Metropolis准则，在收敛至局部最优解时能概率性地跳出，最终收敛到全局最优解，因此模拟退火算法的全局收敛性优于遗传算法，可避免出现早熟，这是其最突出的优点。但模拟退火算法的收敛速度较慢，难以在短时间得到最优解，且获得最优解的条件很高，若初始温度不够高，最终温度不够低，或降温时间不够长，往往仅能获得近似最优解。

LU Ping是较早基于模拟退火方法研究轨迹优化问题的学者，并将模拟退火算法用于飞行器轨迹优化，并证明这种算法是解决非光滑轨迹优化问题的一种强大的工具，有很好的鲁棒性和通用性［34］。文献［35］基于模拟退火算法研究了最优控制的全局优化问题，用多重参数化法将最优控制问题参数化，用非可微函数法处理约束，对模拟退火算法进行改进，使其能用于求解非线性约束优化问题。文献［36］采用改进的模拟退火算法求解单航天器对空间多目标多次接近的最优接近轨道。因模拟退火算法的随机性不能保证终止解是整个搜索过程中最优解，故加入记忆器记录整个过程中的最优解，结果证明了最优接近轨道的存在性。由此，模拟退火算法可用于多目标小行星探测的轨道设计，关键是接近各空间目标的优先级不一致，在轨道设计过程中需考虑优先接近权值设计。

4.3 粒子群算法

粒子群优化算法（PSO）是KENNEDY，EBERHART于1995年提出的［37］。粒子群算法源于模拟鸟群、鱼群等动物觅食过称中的行为，它们会根据同伴的运动状态，调整自己的运动状态。将鸟群中每只鸟视作一个粒子，粒子的信息包括当前位置、当前速度、自身搜索过的最好位置、群体搜索过最好的位置。粒子均由一个适应度函数决定其在空间中的适应度值。粒子通过在“飞行”过程中与同伴的信息交互，更新并记忆有最好位置的粒子并追随它，不断向最优点位置靠近，最终找到最优位置。

粒子群算法简单，引起研究者的关注，在基本粒子群算法基础上，出现了许多改进算法。SHI，EBERHART提出了通过调整惯性因子w大小调整算法的搜索范围，平衡全局搜索和局部搜索的矛盾，当w较大时可对空间进行较大范围的搜索，当w较小时对空间进行局部小范围的搜索［38］。该方法称为标准粒子群算法，之后的多个改进方法均在此基础上进行。

粒子群算法概念较简单，易实现，应用广泛。对轨迹优化，文献［39］研究了粒子群算法与模拟退火算法和差分进化算法的混合算法，并将其用于小行星小推力轨迹优化问题，指出PSO在优化复杂问题时由于对参数选择的敏感性，很难获得近似最优解，需用混合算法对其进行改善［39］。文献［40］通过地球到木星的借力飞行轨迹优化问题比较了粒子群算法和进化差分算法，结果证明了两种方法在轨迹优化中的可行性与可靠度［40］。文献［41］基于粒子群算法研究了航天器再入轨迹问题，并获得了近似最优解。

4.4 蚁群算法

1991年，DORIGO等通过观察蚂蚁寻觅食物的过程，模仿蚁群觅食的策略和特点，建立了蚁群算法。蚁群在觅食过程中会在经过的路上留下与食物源质量成比例的信息素，并能敏感信息素是否存在及其浓度大小，蚂蚁选择信息素浓度较大的方向移动的概率较大，这样就形成了一种正反馈。路径上信息素的浓度以一定速度消散，蚂蚁走过的路径越长，浓度就越低，而离食物越近、食物越多的路径上信息素浓度大，就能吸引越来越多蚂蚁，信息素的浓度会越来越大，最后蚁群就能找到觅食的最优路径。

蚁群算法具有全局优化能力，采用分布式计算，可在空间不同点进行独立搜索，不依赖于问题的具体数学表达方式，具有自组织的特点和较强的鲁棒性。但算法也存在缺点：搜索时间较长，收敛速度较慢，易陷入局部最优。因此，在基本蚁群算法的基础上，出现了多种改进算法，典型的有最大最小蚂蚁系统，它设定了信息素的上下限，避免了因局部路径上的信息素太大造成的早熟问题［42］。自适应蚁群算法对基本蚁群算法中的参数采用自适应调整策略，一定程度改善了算法的不足，加快了搜索速度［43］。

蚁群算法最初的应用是解决旅行商问题，之后也被用于航天器轨迹优化。文献［44］利用蚁群算法研究了双脉冲地球－火星转移轨道设计优化问题。在基本算法的基础上加以改进，不仅找到了全局最优解，还找到了局部最优解4个，增加了发射窗口和发射重量选择机会。文献［45］利用增加了局部搜索策略的十进制蚁群算法研究了燃料最优月球软着陆轨迹优化问题，并与自适应模拟退火算法进行比较，结果表明十进制蚁群算法的收敛速度快很多。文献［46］将基本蚁群算法与禁忌搜索混合，提出一种改进蚁群算法，并将其用于多次重力助推轨迹优化问题，改进算法的寻优速度迅速，且精度很高。文献［47］提出了一种多信息素权重与信息素更新结合的改进蚁群算法，并将其用于研究多目标优化问题，用双目标优化实验验证了算法有效，可进一步用于更复杂的多目标优化问题。

4.5 多目标进化算法

航天器轨迹优化问题具有多个复杂约束，部分约束常互相矛盾，如燃料最优与时间最优。与传统单目标优化问题不同，多目标优化问题的解是一个由众多Pareto最优解组成的解集。目前，多目标进化算法是求解多目标优化问题的一种有效手段，与传统基于目标权重分配的优化算法相比，多目标进化算法计算效率高，无需依赖先验知识，是近年来多目标优化算法中的热门研究方向。

20世纪90年代后，提出了不同的多目标进化算法，如矢量评价遗传算法（VEGA）、多目标进化算法（MOGA）、非劣分类遗传算法（NSGA）、小生境Pareto遗传算法（NPGA、NPGA－II）、强度 Pareto进化算法（SPEA、SPEA－II），以及经典的 NSGA－II等。在航天器轨迹优化中应用最多的是NSGA，NSGA－II。NSGA－II是迄今为止最优秀的多目标进化算法之一，其最突出的特点是采用了快速非支配排序方法和排挤机制，能使搜索收敛至整个Pareto前沿面，同时保证Pareto最优解的多样性［48］。文献［49］基于多目标进化算法研究了小推力深空转移问题。文献［50］研究了多目标最优交会问题。文献［51］基于NSGA－II研究了RLV多目标再入轨迹优化问题。

5 结束语

本文综述了典型的航天器轨道优化设计方法，分析了其优缺点并介绍了其在小行星轨迹中的应用。间接法解的精度高，但求解两点边值问题十分困难，目前有学者正开展进一步的研究以改善间接法求解困难的缺点。直接法可避免两点边值问题的求解，但不能保证得到的是原轨道问题的最优解。近年来，伪谱法受到了广泛的关注并已在实际工程中获得应用，为直接法在实际系统中的应用奠定了更深的基础。智能优化算法作为近年兴起的一类新型优化算法，其全局收敛的特点为轨迹优化问题提供了新思路并不断涌现出新的混合改进算法。目前，针对轨迹优化，尚无一种完全通用的全局优化方法。随着与传统优化算法的结合，以及智能优化算法自身的不断改善，在未来混合智能优化算法将在航天器轨迹优化中有更多发展与应用。随着深空探测的发展，基于智能优化算法的多目标小行星轨迹优化将成为研究的热点。

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