基于模型参考自适应滑模技术的姿态跟踪控制

李 黎，丛炳龙，吕高见，刘向东，陈 振

（1.航天东方红卫星有限公司，北京 100094；2.北京理工大学 自动化学院，北京 100081；3.北京控制工程研究所，北京 100094）

0 引言

滑模控制（SMC）是一种鲁棒性强且简单易行的非线性控制技术，近年来被广泛用于刚体航天器的姿态控制系统设计［1－4］。在滑模姿态控制器设计中，切换增益的选择需事先知道外部干扰和惯量阵不确定性的上界信息。但在实际应用中，这些上界信息常难以获得。为去除该限制，提出了ASMC方法［5－6］。与传统SMC事先确定的常值切换增益不同，ASMC中的切换增益通过自适应机制进行实时更新。但对大角度姿态跟踪来说，现有ASMC方法会出现切换增益过度适应问题，即自适应算法产生的切换增益值远大于控制所需值。因非连续ASMC的抖振程度与切换增益值成正比，故过度适应的切换增益会加剧抖振问题。另对采用边界层法连续化后的ASMC，过度适应问题则会导致控制力矩的大幅值跳变，不利于执行结构伺服系统对力矩的实现。

导致ASMC过度适应问题的原因是切换增益的自适应律中未考虑初始跟踪误差的影响。为消除初始跟踪误差对切换增益自适应过程的影响，本文将积分滑模的全局滑模扩展至模型参考策略中，对基于模型参考自适应滑模技术的姿态跟踪控制进行了研究。

1 数学模型及问题描述

用修正罗德里格斯参数（MRP）表示航天器的姿态，并结合阴影 MRP解决其奇异性问题［7］。设σb，σd分别为航天器当前和期望的MRP向量，则定义MRP误差为

式中：上标“＊”表示MRP的共轭，且σ＊d＝－σd；⊕为MRP的乘法算子，且

此处：‖·‖表示向量的2范数；上标“×”表示向量的反对称矩阵算子，且对任一一个3×1维向量α＝［α1α2α3］T有

令ωb，ωd分别为航天器当前和期望的角速度向量，则定义相应的角速度误差向量为

式中：R为姿态转移矩阵算子，且

此处：I3为3×3维的单位矩阵。

式中：uc为控制力矩；d为包括外部干扰力矩和惯量阵不确定性影响在内的聚合干扰力矩，并假设其无穷范数有界；M为Jacobian矩阵算子，且

至此，本文的控制目标可描述为：针对式（3）、（4）的姿态跟踪控制系统，当聚合扰动上界未知时，设计姿态跟踪的ASMC算法实现对期望姿态轨迹的渐近稳定跟踪。此外，切换增益在满足控制所需的前提下应尽可能小。

2 基于模型参考的ASMC设计

为说明基于模型参考的ASMC能有效解决现有ASMC对切换增益的过度适应问题，将设计过程分为两步：先假设聚合扰动上界‖d‖∞已知，设计姿态跟踪的模型参考SMC算法，并揭示其全局滑模的特点，再针对‖d‖∞未知的情况，利用自适应机制对切换增益进行调节，并根据全局滑模的特点消除初始跟踪误差对切换增益自适应过程的影响，给出基于模型参考的ASMC设计。

2.1 姿态跟踪的模型参考SMC设计

姿态跟踪的模型参考SMC设计思路如下。针对期望姿态运动轨迹σd，ωd，结合给定的跟踪响应G（σcd，ωcd）＝0（此处：σcd，ωcd为辅助跟踪误差变量；G为描述跟踪指标的向量函数），反解出参考姿态运动轨迹σc，ωc（此处：σc（t0）＝σb（t0），ωc（t0）＝ωb（t0）；t0为初始时刻）。设计姿态跟踪的 SMC 算法实现对参考姿态轨迹的全跟踪，即对t∈［t0，∞）成立σb（t）≡σc（t），ωb（t）≡ωc（t），从而保证实际跟踪误差变量σbd，ωbd同样满足指标G（σbd，ωbd）＝0。相应的控制框图如图1所示。

图1 姿态跟踪的模型参考SMC设计Fig.1 Block diagram of model reference based adaptive SMC for attitude tracking

为简单起见，选择期望的跟踪指标函数为

式中：kd＝2ξωn，kp＝ （ωn）2，且ξ＞0，ωn＞0，分别为二阶系统的阻尼系数和无阻尼自振角频率。

根据式（5）所确定的σcd，ωcd，结合σd，ωd，可得σc，ωc的表达式为

类似式（1）、（2），定义

对应的相对姿态动力学和运动学方程为

定义滑模函数

式中：λ为滑模函数切换，且λ＞0。设计姿态跟踪的模型参考SMC算法为

式中：η为切换增益，且η＝‖d‖＋δ；

此处：δ为任意小的正数。则可得下述引理。

引理1：对式（8）、（9）所示的姿态跟踪控制系统，式（11）的姿态控制律使σbc，ωbc始终处于式（10）确定的滑模面上，即对t∈［t0，∞）有S＝0成立。

式中：‖·‖1为向量的1范数。

因σc（t0）＝σb（t0），ωc（t0）＝ωb（t0），由式（7）可得σbc（t0）＝ωbc（t0）＝0，而由式（10）可知S（t0）＝0，继而V1（t0）＝0。结合Lyapunov函数的正定性和其导数的负定性，可知V1（t）≡0，即S＝0。

在引理1的基础上，可得下述推论。

推论1：对式（3）、（4）所示的姿态跟踪控制系统，当采用式（11）所示的姿态控制律时，σbd，ωbd同样满足给定的跟踪指标G（σbd，ωbd）＝0。

证明：根据引理1，有

式（12）两端同时左乘矩阵M，有

求解上述微分方程可得：

继而

综合式（7）可知：σb≡σc，ωb≡ωc，即实现了参考姿态运动轨迹的全跟踪。由此可得G（σbd，ωbd）＝0。

注1：从上述推导中可知模型参考SMC设计具有积分滑模控制的全局滑模特点，但积分滑模控制器在设计过程中需对标称系统设计显式标称控制律，该控制律直接决定积分滑模函数。模型参考SMC只需确定期望的跟踪响应，该响应可由标称控制律得到，也可用轨迹规划等方法获得，因此更具设计灵活性。

2.2 姿态跟踪的模型参考ASMC设计

因实际工程中聚合干扰结构的复杂性和不可预知性，‖d‖∞通常无法获得，继而无法确定式（11）中的切换增益η。为此，采用自适应机制对切换增益进行调节。令为式（11）中η的最终解且η＞‖d‖∞，且为的估值。此时，姿态跟踪的模型参考ASMC算法设计为

式中：κ为调节自适应速率的增益，且κ＞0。则可得下述定理。

定理1：对式（8）、（9）所示的姿态跟踪控制系统，当采用式（15）、（16）的模型参考ASMC算法时，闭环系统是渐近稳定的。

取t→∞时的极限，有

注2：由式（16）可知ASMC通过系统状态偏离滑模面的程度调整切换增益值。为尽可能精确估计，希望聚合干扰是导致滑模面偏离的主要或全部原因，但现有ASMC并未考虑初始跟踪误差的影响。对大角度姿态跟踪来说，初始跟踪误差所引起的滑模面偏离程度远大于聚合干扰。继而产生的切换增益会远大于控制所需值。模型参考ASMC利用全局滑模的特点消除了初始跟踪误差对切换增益自适应过程的影响，因此能有效地解决过度适应问题。

注3：在实际应用中，为消除非连续ASMC中的抖振，可采用边界层法对式（15）所示的姿态控制律进行连续化。此时，由于滑模函数值无法严格为零，自适应律使切换增益持续增加并最终无界。为解决该参数漂移问题，采用Sigma修正对式（15）、（16）进行修正。相应的连续化ASMC算法设计为

3 仿真测试

仿真中设＝diag［950 600 360］kg·m2，ΔJ为标 称值 10%，外部干扰力矩为［sin0.1t2cos0.1t3sin0.2t］T×10－3N·m，初 始MRP姿态σb（t0）＝［0.3 －0.4 －0.5］T，初始姿态角速度为ωb（t0）＝［0 0 0］Trad／s，初始期望MRP姿态为σd（t0）＝［－0.2 0.3 0.1］T，期望角速度ωd（t0）＝［sin0.05t5sin0.02t3sin0.02t］T×10－3rad／s。为验证本文方法的有效性，将文献［6］提出的现有ASMC算法用于此姿态跟踪控制。为便于比较，调节两种控制器的参数使误差MRP响应的调节时间均为30s，令记模型参考ASMC设计为R－ASMC，文献［6］的 ASMC设计为C－ASMC。

设仿真采样时间为0.001s以近似实现无穷频率的切换动作。仿真结果如图2～4所示。由图2可知：当聚合干扰上界未知时，两种ASMC设计均可保证误差MRP的调节时间要求。由图3可知：C－ASMC中的控制力矩出现了严重的抖振，RASMC中的抖振被有效抑制。因非连续ASMC算法的抖振程度与切换增益成正比，这意味着CASMC产生的切换增益远大于R－ASMC，即出现了过度适应问题。这可由图4的切换增益对比结果得到验证。由图4可知：C－ASMC的切换增益值约13.5，R－ASMC中的≈0.8，说明本文方法能有效解决现ASMC设计的过度适应问题。

图2 两种控制器作用下的误差MRP响应Fig.2 Error MRP response under action of two controllers

图3 两种控制器的轴1控制力矩Fig.3 1st axis control torque of two controllers

图4 两种控制器的切换增益对比Fig.4 Switching gain of two controllers

测试两种控制器边界层滑模条件下的性能。设仿真采样时间为0.2s，均用式（17）、（18）的sigma修正保证切换增益的一致有界性。因误差MRP响应对比和切换增益对比类非连续ASMC的情况，本文仅给出连续化控制器的轴1控制力矩如图5所示。由图5可知：C－ASMC的控制力矩出现了大幅值跳变，在t≈13s时，控制力矩从－20N·m变为10N·m，这显然不利于执行机构的伺服控制系统对该力矩指令的实现。

图5 两种连续化控制器轴1控制力矩Fig.5 1st axis control torque of two continuous controllers

4 结束语

本文对基于模型参考自适应滑模技术的姿态跟踪控制进行了研究。将积分滑模控制的全局滑模特点扩展到模型参考控制策略，设计了刚体航天器姿态跟踪的模型参考自适应滑模控制方法。该方法消除了初始跟踪误差对切换增益自适应过程的影响，有效解决了现有自适应滑模控制中的过度适应问题，且无需设计标称控制器。仿真结果验证了所提方法的有效性。与现有的ASMC算法相比，本文方法能很大程度减少切换增益值，且与积分滑模控制需要设计显式的标称控制律不同，基于模型参考的ASMC策略利用参考轨迹描述标称姿态跟踪系统的响应过程，可与现有的路径规划方法结合解决约束条件下的姿态跟踪问题，设计上有较大的灵活性。

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