一类耦合超混沌系统同步控制

张恩宾 刘红敏

摘 要 本文主要研究了一类耦合超混沌系统的同步控制问题，基于实际应用背景给出了一种可行的同步控制定义，在此定义下分别对两个典型耦合超混沌系统的同步控制进行了研究，利用全局Lyapunov函数稳定性理论分析方法，分别给出了针对不同耦合方式的耦合超混沌系统的同步控制方法，并且这种方法对所有初值都是成立的。

关键词 超混沌系统 同步控制 Lyapunov函数

中图分类号：O415.5文献标识码：A

Synchronization of Some Coupled Hyperchaotic Systems

ZHANG Enbin， LIU Hongmin

（Information Engineering Department， He'nan College of Finance & Taxation， Zhengzhou， He'nan 451464）

Abstract This paper studies mainly of synchronization of some coupled hyperchaotic systems， Base on the application of communications， we has been a new viable definition of synchronization. Following this definition， we have been studied on two well-known hyperchaotic systems， and a new result on the systems synchronized for all initial conditions has been given， which has been proved using the Lyapunov function method.

Key words Hyperchaotic systems; synchronization; Lyapunov function

0 引言

近年来，混沌系统的同步控制及其在保密通信中的应用研究得到了广泛的关注，混沌同步技术更是其中的关键问题（[1][2][3]）。对混沌同步控制的研究有以下主要结论：

定理1[3] 给定两个混沌系统

=  （）                                                                         （1）

=  （） + （）                                                        （2）

其中，（）为一对角阵，系统（1）称为驱动系统，系统（2）称为受迫系统。若||（0）（0）||充分小，则存在一个有限值（ = 1，2，…，）对 = （，，…，）有≥使得系统（1）和（2）是同步的（证明参见[3]）。

这种方法主要通过计算Lyapunov指数来整定反馈系数矩阵，这就存在几个问题。首先，在计算Lyapunov指数时计算量大且右端项 （）必须可微;其次，必须保证初值相差很小。这些都为实际应用带来了很多不便，特别是对高维超混沌系统就不太适用了。

由于高维超混沌系统能产生更复杂的动态特性，因此成为了研究的重点，在文献[4][5]基础上，通過分析两类典型的耦合混沌系统的同步控制，给出了基于Lyapunov函数的一种中给出了一种基于观测器的方法，给出了对任意初值的同步控制方法，本文在文献[5]的基同步控制方法，并且这种方法对任意初值都是有效的。

1 耦合超混沌同步控制

本文基于保密通信的实际应用背景，结合文献中已有的方法，给出了一种可行的混沌同步定义，下文主要基于此定义进行讨论：

定义1 设有下面两个系统：

=  （）                                                                         （3）

=  （） + （）                                                        （4）

其中， （，）是与 （）有关的适当反馈项，记（） = （）（）为误差系统，若||（）|| = 0，我们就称系统（1）、（2）是同步的。

1.1 线性耦合超混沌系统的同步控制

我们考虑Chua系统[6]：

（5）

其中 （） = 3（）1.6（∣∣∣+1∣）为一分段线性函数。

在定义1中取（） = （），其中 = （，，，）， = [，，，]， = [，，，]，可得系统（5）的受迫系统为：

（6）

设 = ， = ， = ， = 。则得误差方程：

（7）

取Lyapunov函数为（） =  +  +  + ，显然对于任意的≠0都有（）>0，考虑：

（） = · + · + 2· + ·            （8）

由（7）得：（） = 2（）[ （） （）]2（）                                                 （9）

我们的目的是使（）<0，下面考虑 （） （）的估计。

为了方便不妨记 = 、 =  ，我们分别在区间（，]，（]，（1，）上简单计算可得：

≤（（）（））（）≤

又 = 则

（（）（））≤

代入（9）得

（）≤2（）

（10）

因为总是非正的，故我们取>0，>0，>0，>0则（）<0也即是说误差方程（7）是在Lyapunov意义下是渐近稳定的，所以系统（5）、（6）当反馈矩阵满足上述条件时是同步的，且对任意初值成立。又由（10）我们可以看 = 0， = 0，>0， = 0时，同样可以得到混沌系统的同步控制，即可以用一个非零元素来控制，这在应用中有实际意义。

图1 Chua系统同步误差（ = 0， = 0， = 0， = 0）

1.2 非线性耦合超混沌系统同步控制

本节我们考虑系统[7]：

（11）

由于該系统含有非线性耦合项，因此不能直接采用上节的控制方法。我们对此设置观测项，取 =  + （），其中 = （，）， = [，，，]， = [，，，]，给出定义1中的受迫系统形式为：

（12）

下面我们对进行整定，使系统（12）是对系统（11）的全局观测，即实现系统同步。

记 = 得误差系统方程：

（13）

构造Lyapunov函数为（） =  +  +  + ，≠0有（）>0，考虑（） =  +  +  + 代入（13）得

（） = （）（）（）（）0.5（ + ）0.50.25

（14）

因为0.5（ + ），0.5，0.25都是非正项，故我们取>0.5，>0.75，>0.75，>0.8则有（）<0，即当上述条件满足时误差方程（13）渐近稳定，所以此时系统（11）和（12）是同步的，并且对任意初值成立。

图2 系统同步误差仿真结果（ = 1， = 2， = 2， = 2.5）

2 结束语

上述方法主要针对不同的耦合形式，构造不同的同步系统，使得以误差方程为线性系统，通过构造相应的Lyapunov函数，利用稳定性判别方法，理论分析证明了其（下转第244页）（上接第206页）有效性，并且可以得到同步控制参数的估计，从而实现混沌系统的同步控制，并且在实际应用中也是可行的，从计算机模拟结果可以看出本文的方法是有效的。另外，这种方法可以类似的推广到一般的耦合超混沌系统。

参考文献

[1] T. L. Carroll and L. M. Pecora， “Synchronization chaotic circuits，” IEEE Trans. Circuit Systems， vol 38，pp. 456. Apr. 1991.

[2] L. kocarev， K. S. Halle， K. Eckert， L. O. Chua. Experimental demonstration of secure communication via chaotic synchronization[J].Int. J. Bifurc. Chaos，1992.2（3）：709-713.

[3] L. Kocarev， A. Shang， and L. O. Chua， “Transtitions in dynamical regimes by driving： a unified method of control and synchronization of chaos，” Int.J.Bifurc.Chaos，1993：479-483.

[4] O. Morgul and E. Solak， “Observer based synchronization of chaotic systems，” Phys. Rev. E， vol. 54， no. 5， pp. 4803～4811，1996.

[5] Giuseppe Grassi and Saverio Mascolo， “Nonlinear Observer Design to Synchronize Hyperchaotic Systems via a Scalar Signal，” IEEE Trans. Circuits Systems， vol. 44， NO. 10， Oct. 1997：1011～1014.

[6] T. Matsumoto， L. O. Chua， and K. Kobayashi， “Hyperchaos： Laboratory experiment and numerical confirmation，” IEEE Trans. Circuits Systems， vol. CAS-38， no. 11， pp. 1143-1147， Nov. 1986.

[7] O. E. R？ssler， “An equation for hyperchaos，” Phs. Lett.， vol. 71A， no. 2-3， pp. 155-157，1979.