弹性体受热冲击作用的热力耦合特性分析

王颖泽，宋新南

(江苏大学能源与动力工程学院，江苏镇江212013)

弹性体热冲击问题的研究对于各种承受变温载荷结构的疲劳分析和寿命预测具有重要的实用价值.在热冲击下，材料变形加速诱发的动态热应力的幅值远大于稳态热应力，为此在研究热冲击问题时，首先考虑弹性体的动态响应.但当热作用周期急剧缩短以至于达到甚至小于材料的热松弛时间时，热量将以有限的波速传递，热量传递呈现延迟特性并诱发有别于传统导热的非傅里叶效应［1-2］.此时，要想全面的揭示热冲击的本质特征，除了考虑材料变形的加速过程外，还要计及快速加热过程的非傅里叶效应以及材料变形率与温度场之间的耦合效应.H.M.Lord等［3］充分考虑快速加热过程的非傅里叶效应，提出了能够描述热以有限速度传播的L-S理论，同时文献［4］和［5］也分别基于双延迟效应和能量非耗散假设先后提出了能够刻画固体“次声”效应的G-L理论和G-N理论.在这些理论中，由于控制方程中需要引入延迟项和耦合项，在准确描述快速传热过程的同时，加大了问题求解的数学难度.为此，当前围绕热冲击问题的求解分析主要从2种途径展开，第1种是采用直接解耦的方法，在忽略耦合项的基础上单独求解温度场，然后在求解应力-应变场时计入温度的影响，从而得到数学上的简化［6-8］;第2种则是借助于积分变换及数值反演技术或直接采用数值模拟手段对控制方程进行耦合求解［9-11］.从工程角度来看，第1种处理方法可以得到便于分析的解析解，但由于其弱化了耦合项的作用，为此得到的相关结论具有一定的局限性，而第2种方法则可以给出计及耦合效应的热弹性响应的分布规律，但在数值求解过程中无法避免的离散误差和截断误差将导致温度场和应力场的波动效应无法充分展现，同时也不便于深入研究各种因素对热弹性响应的影响［12］.为此，文中基于L-S广义热弹性理论，在现有研究的基础上，针对热冲击问题的瞬时特性，借助于积分变换的极限性质，推导计及非傅里叶效应以及变形率与温度间耦合效应的一维热弹性响应的渐进解.通过求解分析，得到快速加热条件下热弹性响应的分布规律，并给出延迟项和耦合项对热弹性响应的影响规律.

1 问题的数学描述

考虑一均质、各向同性，初始时刻均匀分布温度T0的半无限大体，当t＞0时刻，边界突然施加一个温度为T1的作用，如图1所示.

图1 半无限体的热冲击问题示意图

根据材料的本构关系可有

式中:u(x，t)为弹性体的位移;T(x，t)为弹性体的温度分布.

根据L-S理论，考虑加热过程中的非傅里叶效应和热力耦合效应，在描述位移场和温度场的控制方程中引入延迟项和耦合项，则可得到如下的描述热冲击问题的广义耦合热弹性控制方程:

相应的初始、边界条件为

式中H(t)为单位Heaviside函数.

2 热弹性响应的耦合求解

2.1 控制方程的量纲一化

为了便于分析，引入以下量纲一变量:

式中ε和δ分别表征延迟和耦合效应的量纲一特征参量.

将上述量纲一变量分别代入控制方程(3)和(4)以及初始、边界条件(5)和(6)中，进行量纲一化可得(为了便于表达去掉量纲一变量右上角的星号)

相应的量纲一应力可写成如下的形式:

2.2 变换域内控制方程的求解

分别对量纲一化的控制方程(8)和(9)进行

式中ri为系数方程r4-s［(1+εs)(1+ δ)+s］r2+s3(1+εs)=0的特征根.

根据边界条件:当 ξ→0 时，φ(ξ，s)和 φ'(ξ，s)均为零，由此可推得通解(17)中所有正实数根所对应的系数均为0，则其通解可改写为

式中Laplace变换可得

式中 φ(ξ，s)为)或

方程(16)为一4阶齐次微分方程，其通解可写成如下的形式:

为系数方程的两负实数根.

分别结合¯(ξ，s)和所对应的边界条件，可得到变换域内温度场和位移场的表示式为

采用同样的推导方法对方程(12)和(13)进行求解，可得到变换域内热应力场的表示式为

2.3 时间域内控制方程的渐进求解

理论上，只要分别对式(19)-(22)进行Laplace逆变换，即可得到时间域内热弹性响应的表达式，而实际问题中由于表达式过于复杂，无法采用解析的方法获取其逆变换解.但考虑到热冲击的瞬时特性，其作用周期及其短暂，而基于延迟特性诱发的非傅里叶效应以及变形与温度场之间的耦合效应主要对加热过程的初始动态响应产生影响［12］，当外部热作用时间急剧缩短时，表征热冲击行为的作用周期也随之缩短.

根据Laplace变换的性质可知，当响应时间t取小值时，其影像s取大值，当s→∞时，通过适当整理可将表达式(19)-(22)的各项近似写成如下形式:

将式(23)分别代入式(19)-(22)中进行整理，则可得便于逆变换的形式，通过逆变换可得到t取小值时热弹性响应的解析表达式:

3 求解与分析

根据式(24)-(27)可知，在快速加热条件下，当考虑热量传播的延迟特性后，由外部热扰动作用形成的冲击效果以波的形式向前传播，且温度场、位移场和应力变场的建立均由波速为和的2组弹性波叠加而成.由k1和k2的表达式可知，波速的大小由表征延迟和耦合效应的特征系数ε和δ确定.通过计算，常温下金属材料铝和不锈钢的ε值分别为 4.14 和 0.564，δ值分别为 0.021 和0.026，而对于多孔材料和高分子材料而言其ε和δ要比常规金属大上1个量级［13］，为此，为了便于揭示常规材料在温变载荷作用下的热冲击特性，其表征延迟和耦合效果的特征参量ε和δ的分别在(0，3)和(0，1)区间取值.

图2给出的是在不同δ条件下，弹性波波速随特征参量ε的变化规律.随着ε的增加，延迟效果增大，v1和v2均呈现递减的趋势，当ε→0时，v1→1，而v2→∞，延迟效果对速度为v2的弹性波失效，相应的弹性体内各物理场将随着外部热扰动而同步响应，此时的热量的传递退化为常规的傅里叶导热.结合图3还可以看到，耦合效果对2组波波速的影响有所不同的，随着δ的增大，v1逐渐减小，而v2则增大，这表明耦合效果对于热弹性响应的影响较为复杂.

图2 不同δ下弹性波波速随ε的分布

图3 不同δ下温度场、位移场和应力场随时间的变化曲线

图3分别给出了在特征参量ε=3.0时，弹性体内ξ=1.0位置处在不同δ条件下，温度场、位移场和应力场的分布曲线.由前面的分析可知，各个物理场的建立分别是由速度不同的2组弹性波的叠加而成.从图中可以看到，由于延迟效应的存在，弹性体内热弹性响应不再与外部扰动同步，在τ＜k2时，由于弹性波前尚未到达该区域，各物理场尚未建立;当τ=k2时，速度为v2的弹性波波先到达该区域，受其影响，该区域的温度和应力剧烈变化，形成一次阶跃现象;随后当τ=k1时，速度为v1的弹性波波前也到达该区域，在其影响下，该区域的温度和应力再次突变，形成2次阶跃现象.由此可知，在弹性波传播过程中，由于波速的不同，先后在弹性体内形成2次阶跃.结合图2可知，由于耦合效应对2组弹性波的波速影响不同，在2组弹性波叠加下，耦合效应对于热弹性响应的影响则体现在2次阶跃出现的时机、间隔以及峰值大小之上.随着δ的减小，2次阶跃的间隔逐渐缩短，相应的形成的温度和应力峰值逐渐增大.

图4给出了在特征参量 ε=3.0，δ=1.0时，弹性体温度场和应力场的分布.从图中可以清楚地看到弹性波在弹性体内的传播过程，当τ=1.0时，弹性波波前分别到达ξ1=k1和ξ2=k2处，并先后形成2次阶跃，随着弹性波的传播，阶跃不断向弹性体内部推移，在推移的过程中阶跃的间隔范围逐渐增大，相应地弹性波的叠加区域也逐渐增大，弹性体内各物理场逐渐趋向连续的分布.

图4 弹性体内温度场和应力场的分布

图5给出了延迟和耦合效应对弹性体内温度场和应力场的影响.从图5a给出的温度场分布的影响可以看到，当ε=0时，热量在弹性体内的传递遵循傅里叶导热规律，温度场呈现连续分布，当ε＞0时，温度场的建立产生延迟，在延迟效应下，温度呈现阶跃性分布，且随着δ的增大，延迟效果和阶跃效果逐渐减弱，这说明耦合效应将削弱由延迟效应带来的影响.对于图5b应力的分布而言，延迟效应的存在除了使应力场呈现阶跃分布外，还使应力峰值减小，这表明延迟效应在一定程度上削弱了热冲击的作用效果.

图5 延迟和耦合效应对热弹性响应的影响

4 结论

1)当外部热扰动的作用周期急剧缩短时，热量在弹性体内将以有限的波速传播，温度场的建立将滞后于热扰动，这种延迟效应的存在将导致温度场的分布呈现阶跃式分布，并在温度波波前所到达区域形成巨大的温度梯度.受其影响，在相同区域将形成尖峰应力，但由于弹性波之间的相互叠加，削弱了热冲击的作用效果，即尽管由于延迟效应的存在造成热量在局部区域内积聚，但总的热冲击效果却由于弹性波的相互吸收作用而减弱，这也是在研究快速加热或冷却问题时需要特别重视的地方.

2)由变形率与温度场之间的耦合效应对于热弹性响应产生显著的响应，且随着耦合作用的增大，影响程度越显著，同时当延迟效应存在时，耦合效应的存在将削弱延迟效应带来的影响，这表明在分析非傅里叶效应下的热冲击行为时，要计入耦合效应的影响效果.

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