“大”“小”两原则取“元”求解物理学中的积分问题

贺春元 刘丙国 刘振深

【摘要】如何选取合适的“元”是学生学习运用积分方法求解物理问题面临的首要问题。对于刚刚升入大学的学生来讲，由于对微积分等知识的掌握还不够纯熟，导致遇到具体问题时往往无从下手。本文针对大学物理中所涉及到的典型的积分问题，首次提出了取“元”的“大”“小”两原则，避免了高等数学中专业化的描述对学生造成的理解上的困惑，使学生能够简洁、直观、快速地选取出合适的元来求解问题，大大地提高了学生解题的效率，同时也使学生能更容易掌握利用微积分解决问题的思路和方法。

【关键词】物理  积分

【课题项目】本课题受到河南理工大学教育教学改革研究项目的支持（2014JG057）。

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）10-0086-01

学习大学物理和高中物理最显著的区别在于所用的数学工具的不同，由于在高中时学生所学的数学知识有限，因此只能够处理一些相对简单的理想化的物理问题。而进入大学以后，随着对矢量和微积分知识的学习，学生们可以处理更加复杂的物理问题，但是如何利用高等数学的微积分理论来处理物理问题却是学生面临的一大挑战。一个简单的例子，力做功的问题。在高中时学生解决的问题只局限于恒力做功的情况，而到了大学，就需要利用矢量和微积分的知识来求解更具有实际意义的变力做功的问题。

微积分思想被广泛地用于处理大学物理中遇到的很多问题，例如前面已经提到的力学部分的变力做功问题，还有转动惯量的计算，以及电磁学部分电场强度和电势的求解，磁场强度的计算等等。微积分的应用贯穿了整个大学物理的学习过程。不难发现，在运用定积分来求解物理问题的时候，其关键的问题就是如何选择一个合适的“元”。大学物理的知识体系中主要涉及三种元的选取：“质量元”、“电荷元”和“电流元”，而这三种“元”最终实际上都归结到如何选择“空间元”，即“线元”dl，“面元”ds和“体元”dv。当这些“元”选取好后，接下来进行的定积分运算学生们在高数的学习中都已经掌握，对学生来说不成问题。问题出在在具体的物理问题中如何去选择“空间元”，这是学生们最难解决的问题。而在高等数学的教学中，对这一问题数学老师给出的是非常专业的繁琐晦涩的描述，并没有教给学生一个容易理解且易操作的方法。

定积分通常表示为f（x）dx，其中a，b分别代表积分的上，下限，f（x）为被积函数，x为积分变量，dx为积分变量的微小变化量。在具体的物理问题中，x，f（x）都有确切的物理意义与之相对应。在我们的讨论问题中dx即为“空间元”。对于刚接触微积分的大学生来说，微积分只是纯粹的数学知识，并没有很好地掌握微积分的思想，因此当将这种数学工具应用到处理具体的物理问题时，特别是如何选取“空间元”，常常感觉无从下手。实际上总结起来，“空间元”的选取决定于两个因素：研究对象本身的几何特征以及涉及到的物理问题。一个合适的“元”即要满足定积分这种数学方法本身的要求，同時也要使得最终的计算尽量简单，便于求解。于是我们总结出了针对大学物理部分涉及到的“空间元”选择的“大”“小”两原则：“大”是指选取的“空间元”看上去占有的空间要大，这样做的优点是得到的最终的定积分会是一个非常简单的计算，比如可能只是一重积分。但同时由于定积分本身的特殊要求，该“元”也不能选的太大，即同时也要尽量的“小”，即如果将选择的这个“大”的“空间元”分割成很多更小的“元”时，这些小“元”要具有完全相同的被积函数f（x）。同时满足这两个条件得到的“空间元”才是最完美的。

“大”“小”两原则，不仅可以避免高等数学中专业化描述对学生造成的困惑，而且以非常直观且易理解形式便于学生掌握，使学生能够精准快速地寻找到一个最合适的“空间元”。下面结合一个实例来体会“大”“小”两原则的优势。

例：半径为R的带正电的球体，电荷体密度ρ=Ar（A>0，r

依据题意，该带点球体的电场具有如下特征：在同一球面上的各点，电场强度的大小相等，电场的方向为过球心沿着半径方向向外。于是可以利用高斯定理来求解电场强度。取球体内半径为r的一个闭合球面为高斯面，通过此高斯面的电通量为：

根据高斯定理，该电通量等于高斯面内包含的净电荷除以ε0。由于该带点球体的电荷不是均匀分布的，因此需要用定积分来求高斯面内包含的电荷量，即  =dq，dq即为在带电体上选取的“电荷元”。“电荷元”的表达式通常有三种表达形式dq=ρdV，？滓dS，？姿dl，其中ρ，，分别代表电荷的体密度，面密度和线密度。具体取哪种形式要结合带电体本身的特征。本题中带电体为球体，故取dq=ρdv这种形式。求解本题的关键在于如何选取“体元”。如果不考虑计算量的话实际上我们完全可以选最小的“空间元”来进行计算，即在球坐标系的一个最小的体积空间，即dV=rsinθdrdθdφ，很明显对这样的一个体积元进行积分是一个复杂的三重积分，这样不会错，但效率较低，也就是说在本题中这个“体元”实际上选小了，不是最合适的。合适的“元”应该是以r为半径，厚度为dr的球壳。该“体元”大小为dV=4πr2dr，最终的积分是一个简单的一重积分。很明显这个“体元”要比前面取的“元”要“大”，但由于dr很小，而电荷的体密度只与r有关，因此可以认为在这个球壳内的所有点ρ是相同的，即如果将这个球壳切割成很多小块的话，它们具有相同的被积函数，也就是说这样的一个球壳“体元”同时满足了“大”“小”两原则，因此是最好的一个“元”

“空间元”也可以有其他的形状，如条、段、环、带、扇、片、壳等，具体取什么形状即要结合物体本身的形状也要结合所讨论的具体问题。这就要求学生在透彻理解和掌握了“空间元”选择的“大”“小”两原则基础上再通过做题来积累经验，就可以快又好地应用微积分的思想分写解决很多实际的物理问题了。

参考文献：

[1]物理学，马文蔚改编，东南大学等七所工科院校，高等教育出版社，ISBN 978-7-04-018253-8.

[2]力学，漆安慎，杜婵英，高等教育出版社，ISBN 978-7-04-06624-8