例谈新课程下实现数学探究方式的实践

姚卫

“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造过程。”学生基于对数学的恐惧心理和对教师的依赖心理和语言表达能力较差等原因，没有探究数学的能力与习惯。我在教学实践中，尝试用以下几种数学探究的方法对学生的学习方式进行一些改变。

一、 创设问题情境，提高学生自主性

课堂教学是学生能动学习的过程，是师生平等对话的过程，教学过程是师生交往、积极互动、共同发展的过程。因此师生关系是平等的、民主的、和谐的。教师不再是知识的权威、真理的化身，教师由传统教学中主角地位转向课堂教学中师生交往的“平等中的首席”。课堂上教师要把学习的主动权交给学生，让学生在问题情景中进行自主探究和合作交流，真正成为课堂的主人。通过创设问题情境，提高学生的学习积极性，激发学生的数学思维，让学生更好地投入到数学的学习中来。

案例1：在“四种命题的相互关系”这节课的教学中通过以下个问题引导学生探究“四种命题的相互关系”：问题1：原命题、逆命题、否命题、逆否命题的一般形式是什么？问题2：原命题与逆命题是什么关系？原命题与否命题是什么关系？原命题与逆否命题是什么关系？问题3：根据问题2的方法，你能分析逆命题与逆否命题、否命题与逆否命题、逆命题与否命题是什么关系？问题4：你能判断下列命题及它的逆命题、否命题、逆否命题的真假吗？（1）若x=0，则2x=0;（2）若x=0，则xy=0;（3）若（x-2）（x-1）=0，则x=2;（4）若a>0，则ab>0。问题5：根据问题4，我们能得到什么结论呢？问题6：根据今天所学的四种命题的真假性的关系，如果我们直接证明某一个命题为真命题有困难时，可采取什么办法？为什么？问题7：本节课，我们学习了哪些知识？哪些方法？

案例2：在“空间两点间的距离公式”课例中，通过问题引导学生去将空间的知识、方法等与已有的平面的知识、方法进行类比，使得学生能够探究出空间两点间的距离公式及其证明方法，使得学生能体会到学习数学的成就感。

研究表明：“具有启发性、创新性、发散性的课堂提问和以‘问题串和‘立体性提问为主的课堂提问是有效的”，也一定能引导学生对数学知识的探究。

二、以多媒体技术引导学生探究数学相关问题

现代信息技术与学科的整合，实现了学习内容的呈现方式、学生的学习方式、教师的教学方式、和师生互动方式的变革，为学生的学习和发展提供了丰富的教学环境和有力的学习工具。数学实践活动的目的，就是培养学生的创新精神和创新意识，数学实践活动课是培养学生主动探究和主动创新的自由天地。我们可以根据教学的需要以及学生的心理特点， 充分发挥多媒体技术优势，就可以创造出生动、形象、具体的问题情境，引发学生的学习兴趣，拓展学生的思路，培养学生的创新意识，优化学生的思维过程。

案例3：双曲线的定义及其标准方程的新课教学中，新课标人教A版选修2-1提供的“拉链”的探究比较难以在课堂上完成，可以利用几何画板来创设探究性的情境。在几何画板中画圆A、圆A上任一点C及圆A外一点B，做线段BC的垂直平分线与直线AC的交点P，那么P随点C的运动轨迹是双曲线（如图1）。再引导学生分析点P到B、C两点的距离相等，而线段AC的长度是圆A的半径，从而得到P点到A的距离与P点到B的距离的差是定值的几何性质，从而引出双曲线的定义。当然如果将点B移动到圆A内就变成椭圆了（如图2），类似的还有抛物线的定义。

三、以错题来引导学生探究概念和公式的来源

学生做错题是因为对相关的概念和公式的理解不透彻，到底在什么地方没有理解透，刚好通过错题发现和引导学生探究，去弄清楚在知识的理解上存在的问题，对于学生存在的问题，教师可以利用这样的问题，反面地去教育学生，引起学生的注意力，让学生更加注意自己的问题，在今后的学习中能够更好地对待这样的问题。而对于其他学生或者别人在数学学习中产生的问题，就可以以这样的题目进行举例分析，让学生通过观察别人产生的问题，带入到自己的学习之中，在自己在碰到类似的知识点时，就可以更为全面地进行解决，提高对知识的理解程度。

案例4：有这样一道数列题：设数列{an}是等比数列，且前20项的和是8，前30项的和是26，求前10项的和。学生在解这道题通常有两种解法：其一利用等比数列的求和公式列方程组解得q10=3或q10=-■（舍），进而解出S10=2;其二是利用等比数列的和的一个性质（等比数列中的Sk，S2k -Sk，S3k -S2k……也成等比数列）求解，列出等式（S20-S10）2=S10·（S30-S20），代入数字后解出S10=2或S10=32。法二显然要比法一从计算量上要小得多，故学生多选法二，但是法二出现增根，学生不知道如何舍去，容易出错。于是带领学生从性质推导过程中寻找出现增根的原因，容易得到Sk，S2k-Sk，S3k -S2k……成等比数列，且公比为qk，但若k为偶数，qk>0，则Sk，S2k -Sk，S3k -S2k……中每一个式子同正或同负！该题的恰好为偶数，所以，若S10=32，则会出现S10，S20 -S10，S30 -S20的符号不同，所以是增根。

“利用错题展开探究教学，充分调动学生头脑中已有的知识和经验，大胆质疑，生成新的理解与见地，在交流中澄清认识，在思维碰撞中，催生新智慧，体验喜悦。” 这样的探究课“有助于建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神;有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，有助于发展学生的创新意识和实践能力”。

无论是数学概念，数学定理，还是数学思想和方法，都是通过无限的特殊的个体而总结出的不变的一般的性质和规律。面对忽略了过程的“冷酷”的结论性数学概念、定理和思想方法，学生们感到“茫然”。学生通过课堂可以感受到“知识不是老师教的，而是自己发现的”这一现象，在孩子好奇心和争强好胜的性格特点下很容易培养学生学习数学的兴趣。兴趣是最好的老师，学生有浓厚的学习兴趣后，在开展探究时就可以更深刻、更广泛，形成良性循环后，探究就可以变成学习的常态。

责任编辑  罗  峰endprint

“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造过程。”学生基于对数学的恐惧心理和对教师的依赖心理和语言表达能力较差等原因，没有探究数学的能力与习惯。我在教学实践中，尝试用以下几种数学探究的方法对学生的学习方式进行一些改变。

一、 创设问题情境，提高学生自主性

课堂教学是学生能动学习的过程，是师生平等对话的过程，教学过程是师生交往、积极互动、共同发展的过程。因此师生关系是平等的、民主的、和谐的。教师不再是知识的权威、真理的化身，教师由传统教学中主角地位转向课堂教学中师生交往的“平等中的首席”。课堂上教师要把学习的主动权交给学生，让学生在问题情景中进行自主探究和合作交流，真正成为课堂的主人。通过创设问题情境，提高学生的学习积极性，激发学生的数学思维，让学生更好地投入到数学的学习中来。

案例1：在“四种命题的相互关系”这节课的教学中通过以下个问题引导学生探究“四种命题的相互关系”：问题1：原命题、逆命题、否命题、逆否命题的一般形式是什么？问题2：原命题与逆命题是什么关系？原命题与否命题是什么关系？原命题与逆否命题是什么关系？问题3：根据问题2的方法，你能分析逆命题与逆否命题、否命题与逆否命题、逆命题与否命题是什么关系？问题4：你能判断下列命题及它的逆命题、否命题、逆否命题的真假吗？（1）若x=0，则2x=0;（2）若x=0，则xy=0;（3）若（x-2）（x-1）=0，则x=2;（4）若a>0，则ab>0。问题5：根据问题4，我们能得到什么结论呢？问题6：根据今天所学的四种命题的真假性的关系，如果我们直接证明某一个命题为真命题有困难时，可采取什么办法？为什么？问题7：本节课，我们学习了哪些知识？哪些方法？

案例2：在“空间两点间的距离公式”课例中，通过问题引导学生去将空间的知识、方法等与已有的平面的知识、方法进行类比，使得学生能够探究出空间两点间的距离公式及其证明方法，使得学生能体会到学习数学的成就感。

研究表明：“具有启发性、创新性、发散性的课堂提问和以‘问题串和‘立体性提问为主的课堂提问是有效的”，也一定能引导学生对数学知识的探究。

二、以多媒体技术引导学生探究数学相关问题

现代信息技术与学科的整合，实现了学习内容的呈现方式、学生的学习方式、教师的教学方式、和师生互动方式的变革，为学生的学习和发展提供了丰富的教学环境和有力的学习工具。数学实践活动的目的，就是培养学生的创新精神和创新意识，数学实践活动课是培养学生主动探究和主动创新的自由天地。我们可以根据教学的需要以及学生的心理特点， 充分发挥多媒体技术优势，就可以创造出生动、形象、具体的问题情境，引发学生的学习兴趣，拓展学生的思路，培养学生的创新意识，优化学生的思维过程。

案例3：双曲线的定义及其标准方程的新课教学中，新课标人教A版选修2-1提供的“拉链”的探究比较难以在课堂上完成，可以利用几何画板来创设探究性的情境。在几何画板中画圆A、圆A上任一点C及圆A外一点B，做线段BC的垂直平分线与直线AC的交点P，那么P随点C的运动轨迹是双曲线（如图1）。再引导学生分析点P到B、C两点的距离相等，而线段AC的长度是圆A的半径，从而得到P点到A的距离与P点到B的距离的差是定值的几何性质，从而引出双曲线的定义。当然如果将点B移动到圆A内就变成椭圆了（如图2），类似的还有抛物线的定义。

三、以错题来引导学生探究概念和公式的来源

学生做错题是因为对相关的概念和公式的理解不透彻，到底在什么地方没有理解透，刚好通过错题发现和引导学生探究，去弄清楚在知识的理解上存在的问题，对于学生存在的问题，教师可以利用这样的问题，反面地去教育学生，引起学生的注意力，让学生更加注意自己的问题，在今后的学习中能够更好地对待这样的问题。而对于其他学生或者别人在数学学习中产生的问题，就可以以这样的题目进行举例分析，让学生通过观察别人产生的问题，带入到自己的学习之中，在自己在碰到类似的知识点时，就可以更为全面地进行解决，提高对知识的理解程度。

案例4：有这样一道数列题：设数列{an}是等比数列，且前20项的和是8，前30项的和是26，求前10项的和。学生在解这道题通常有两种解法：其一利用等比数列的求和公式列方程组解得q10=3或q10=-■（舍），进而解出S10=2;其二是利用等比数列的和的一个性质（等比数列中的Sk，S2k -Sk，S3k -S2k……也成等比数列）求解，列出等式（S20-S10）2=S10·（S30-S20），代入数字后解出S10=2或S10=32。法二显然要比法一从计算量上要小得多，故学生多选法二，但是法二出现增根，学生不知道如何舍去，容易出错。于是带领学生从性质推导过程中寻找出现增根的原因，容易得到Sk，S2k-Sk，S3k -S2k……成等比数列，且公比为qk，但若k为偶数，qk>0，则Sk，S2k -Sk，S3k -S2k……中每一个式子同正或同负！该题的恰好为偶数，所以，若S10=32，则会出现S10，S20 -S10，S30 -S20的符号不同，所以是增根。

“利用错题展开探究教学，充分调动学生头脑中已有的知识和经验，大胆质疑，生成新的理解与见地，在交流中澄清认识，在思维碰撞中，催生新智慧，体验喜悦。” 这样的探究课“有助于建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神;有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，有助于发展学生的创新意识和实践能力”。

无论是数学概念，数学定理，还是数学思想和方法，都是通过无限的特殊的个体而总结出的不变的一般的性质和规律。面对忽略了过程的“冷酷”的结论性数学概念、定理和思想方法，学生们感到“茫然”。学生通过课堂可以感受到“知识不是老师教的，而是自己发现的”这一现象，在孩子好奇心和争强好胜的性格特点下很容易培养学生学习数学的兴趣。兴趣是最好的老师，学生有浓厚的学习兴趣后，在开展探究时就可以更深刻、更广泛，形成良性循环后，探究就可以变成学习的常态。

责任编辑  罗  峰endprint

“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造过程。”学生基于对数学的恐惧心理和对教师的依赖心理和语言表达能力较差等原因，没有探究数学的能力与习惯。我在教学实践中，尝试用以下几种数学探究的方法对学生的学习方式进行一些改变。

一、 创设问题情境，提高学生自主性

课堂教学是学生能动学习的过程，是师生平等对话的过程，教学过程是师生交往、积极互动、共同发展的过程。因此师生关系是平等的、民主的、和谐的。教师不再是知识的权威、真理的化身，教师由传统教学中主角地位转向课堂教学中师生交往的“平等中的首席”。课堂上教师要把学习的主动权交给学生，让学生在问题情景中进行自主探究和合作交流，真正成为课堂的主人。通过创设问题情境，提高学生的学习积极性，激发学生的数学思维，让学生更好地投入到数学的学习中来。

案例1：在“四种命题的相互关系”这节课的教学中通过以下个问题引导学生探究“四种命题的相互关系”：问题1：原命题、逆命题、否命题、逆否命题的一般形式是什么？问题2：原命题与逆命题是什么关系？原命题与否命题是什么关系？原命题与逆否命题是什么关系？问题3：根据问题2的方法，你能分析逆命题与逆否命题、否命题与逆否命题、逆命题与否命题是什么关系？问题4：你能判断下列命题及它的逆命题、否命题、逆否命题的真假吗？（1）若x=0，则2x=0;（2）若x=0，则xy=0;（3）若（x-2）（x-1）=0，则x=2;（4）若a>0，则ab>0。问题5：根据问题4，我们能得到什么结论呢？问题6：根据今天所学的四种命题的真假性的关系，如果我们直接证明某一个命题为真命题有困难时，可采取什么办法？为什么？问题7：本节课，我们学习了哪些知识？哪些方法？

案例2：在“空间两点间的距离公式”课例中，通过问题引导学生去将空间的知识、方法等与已有的平面的知识、方法进行类比，使得学生能够探究出空间两点间的距离公式及其证明方法，使得学生能体会到学习数学的成就感。

研究表明：“具有启发性、创新性、发散性的课堂提问和以‘问题串和‘立体性提问为主的课堂提问是有效的”，也一定能引导学生对数学知识的探究。

二、以多媒体技术引导学生探究数学相关问题

现代信息技术与学科的整合，实现了学习内容的呈现方式、学生的学习方式、教师的教学方式、和师生互动方式的变革，为学生的学习和发展提供了丰富的教学环境和有力的学习工具。数学实践活动的目的，就是培养学生的创新精神和创新意识，数学实践活动课是培养学生主动探究和主动创新的自由天地。我们可以根据教学的需要以及学生的心理特点， 充分发挥多媒体技术优势，就可以创造出生动、形象、具体的问题情境，引发学生的学习兴趣，拓展学生的思路，培养学生的创新意识，优化学生的思维过程。

案例3：双曲线的定义及其标准方程的新课教学中，新课标人教A版选修2-1提供的“拉链”的探究比较难以在课堂上完成，可以利用几何画板来创设探究性的情境。在几何画板中画圆A、圆A上任一点C及圆A外一点B，做线段BC的垂直平分线与直线AC的交点P，那么P随点C的运动轨迹是双曲线（如图1）。再引导学生分析点P到B、C两点的距离相等，而线段AC的长度是圆A的半径，从而得到P点到A的距离与P点到B的距离的差是定值的几何性质，从而引出双曲线的定义。当然如果将点B移动到圆A内就变成椭圆了（如图2），类似的还有抛物线的定义。

三、以错题来引导学生探究概念和公式的来源

学生做错题是因为对相关的概念和公式的理解不透彻，到底在什么地方没有理解透，刚好通过错题发现和引导学生探究，去弄清楚在知识的理解上存在的问题，对于学生存在的问题，教师可以利用这样的问题，反面地去教育学生，引起学生的注意力，让学生更加注意自己的问题，在今后的学习中能够更好地对待这样的问题。而对于其他学生或者别人在数学学习中产生的问题，就可以以这样的题目进行举例分析，让学生通过观察别人产生的问题，带入到自己的学习之中，在自己在碰到类似的知识点时，就可以更为全面地进行解决，提高对知识的理解程度。

案例4：有这样一道数列题：设数列{an}是等比数列，且前20项的和是8，前30项的和是26，求前10项的和。学生在解这道题通常有两种解法：其一利用等比数列的求和公式列方程组解得q10=3或q10=-■（舍），进而解出S10=2;其二是利用等比数列的和的一个性质（等比数列中的Sk，S2k -Sk，S3k -S2k……也成等比数列）求解，列出等式（S20-S10）2=S10·（S30-S20），代入数字后解出S10=2或S10=32。法二显然要比法一从计算量上要小得多，故学生多选法二，但是法二出现增根，学生不知道如何舍去，容易出错。于是带领学生从性质推导过程中寻找出现增根的原因，容易得到Sk，S2k-Sk，S3k -S2k……成等比数列，且公比为qk，但若k为偶数，qk>0，则Sk，S2k -Sk，S3k -S2k……中每一个式子同正或同负！该题的恰好为偶数，所以，若S10=32，则会出现S10，S20 -S10，S30 -S20的符号不同，所以是增根。

“利用错题展开探究教学，充分调动学生头脑中已有的知识和经验，大胆质疑，生成新的理解与见地，在交流中澄清认识，在思维碰撞中，催生新智慧，体验喜悦。” 这样的探究课“有助于建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神;有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，有助于发展学生的创新意识和实践能力”。

无论是数学概念，数学定理，还是数学思想和方法，都是通过无限的特殊的个体而总结出的不变的一般的性质和规律。面对忽略了过程的“冷酷”的结论性数学概念、定理和思想方法，学生们感到“茫然”。学生通过课堂可以感受到“知识不是老师教的，而是自己发现的”这一现象，在孩子好奇心和争强好胜的性格特点下很容易培养学生学习数学的兴趣。兴趣是最好的老师，学生有浓厚的学习兴趣后，在开展探究时就可以更深刻、更广泛，形成良性循环后，探究就可以变成学习的常态。

责任编辑  罗  峰endprint