群模糊层次分析法的改进及应用

李 亮 龚光红

(北京航空航天大学 自动化科学与电气工程学院，北京100191)

陈金磊 柳琼俊

(北京机电工程研究所 信息化室，北京100074)

层次分析法(AHP，Analytic Hierarchy Process)是一种从定性分解到定量分析，再到定量综合的决策方法.它采用两两判断矩阵来确立指标的权重，其应用难点在于基于专家主观评价来构造的两两判断矩阵难以获得满意的一致性［1］.目前提出的解决方法主要有:经验估计法、最优传递矩阵法、向量夹角余弦法、模式识别法、诱导矩阵法等［2］.这些方法要求专家反复输入、循环计算一致性直到达到设定阈值为止，增加了AHP使用和计算复杂度［3］.

为了提高AHP实用性，针对实际决策中人类思维的模糊性，采用模糊数学中三角模糊数相关理论提出一种改进的群模糊层次分析法(IGFAHP，Improved Group Fuzzy Analytic Hierarchy Process)，同时引入专家权重系数考虑不同专家不同权重的影响.

1 IGFAHP介绍

IGFAHP将专家的语言意见通过三角模糊数转化为直接模糊判断矩阵，并导出可能度矩阵计算权重.同时IGFAHP根据专家重要程度以及相关指标计算专家权重系数，来评价不同专家对决策结果的影响.

IGFAHP主要步骤包括评价指标集的确定，各指标权重的确定，模糊评判矩阵的确定以及综合评判的确定与排序.

1.1 评价指标集的确定

设系统决策总目标A可以分成m个指标子集，分别记为 B1，B2，…，Bm，Bi(i=1，2，…，m)之间相互独立，定义满足:

1.2 各指标权重的确定

专家对指标权重的评价存在模糊性.采用三角模糊数既描述其模糊性，又适合作数学处理［4］.按照表1所示的指标标度表结合专家对某指标重要性的意见构造各层次指标的模糊判断矩阵.

表1 指标标度表Table1 Index scale

设上一层指标B与下一层指标C1，C2，…，Cn之间存在隶属关系(B为 C1，C2，…，Cn的父指标)，则专家给出的权重意见按标度表转换后，可得直接模糊判断矩阵Rw，表达式为

式中，ri=(li，mi，ui)是三角模糊数，i=1，2，…，n;li，mi，ui分别表示指标Ci在与父指标 B进行比较时，专家给出的最悲观估计值、最可能估计值和最乐观估计值;Rw是一个1×n的三角模糊数矩阵，表示专家给出父指标B下各指标的重要性程度.

通过Rw可以计算出指标 C1，C2，…，Cn的相对于父指标B的权重，其方法如下:设有s(s≥1)个专家给出指标 C1，C2，…，Cn相对于父指标 B的三角模糊数矩阵集表达式为

式中，k=1，2，…，s.当 s=1 时为个体决策;当 s＞1时为群体决策.计算相对权重步骤如下:

1)集结s个专家的偏好信息.s个专家的偏好信息分为相同和不同两种情况.

若专家的重要程度相同，则综合判断矩阵的表达式为

若专家的重要程度不同，则通过对专家知名度、职称、学历、判断依据、熟悉程度和自信度6种常见因数进行评分比较得出专家权重系数［5］.设有s位专家，第t个专家的权重系数计算表达式为

式中，at，bt，ct，dt，et，ft为专家的职称、学历、判断依据、熟悉程度和自信度，对应的分值如表2所示.

表2 专家权重系数打分表Table2 Expert weight factor scoring

归一化处理为

则s个专家的偏好判断信息后的综合判断矩阵为

2)计算归一化的综合判断矩阵.指标Ci对应的归一化后得，表达式为

记归一化的综合判断矩阵为Sw，表达式为

3)求得各指标相应的可能度，建立可能度矩阵V.为了比较两个三角模糊数接近程度，定义三角模糊数可能度(PD，Possible Degree)，可能度为实数值，计算表达式［6］为

式中，M1=(a1，b1，c1)，M2=(a2，b2，c2)为 2 个任意的三角模糊数.计算方法如图1所示.

图1 三角模糊数可能度计算示意图Fig.1 Triangular fuzzy number possible degree calculating

对于 n个指标 C1，C2…Cn，把三角模糊数(i=1，2，…，n)进行两两比较并按式(10)计算每两个指标 Ci和 Cj的可能度 V(≥)，得到可能度矩阵(为实数矩阵)，表达式为

4)求取相对权重，按照式(13)从可能度矩阵中求得每一个指标的相对权重，取最小值:

式(14)递归可求出任意一指标相对根指标(指标体系根节点)的相对权重［7］.设根指标的绝对权重为1，并定义任意一指标的绝对权重为该指标相对根指标的相对权重乘以根指标的绝对权重，记为W.则该指标体系树的绝对权重集为

对于整个指标体系树，任意指标的绝对权重满足如下性质:0≤Wi≤1(i=1，2，…，n);对于同一层的指标:∑W=1.

1.3 模糊评判矩阵的确定

评判集的确定借鉴改进矩阵方法给出指标评价的等级划分标准，把评判集划分为5个等级，即E={e1，e2，e3，e4，e5}.

专家组中的专家依据自己的知识和实践经验对指标集Ai(i=1，2，…，m)中的每一个评估指标在系统评估评判集 E={e1，e2，e3，e4，e5}={低，较低，中，较高，高}中的相应评语处划钩，对应的模糊评价如表3所示［8］.按照此种方法对评估子集中的每一个评估指标进行评判，即可得到模糊评判矩阵 Ri(i=1，2，…，m).

表3 评判值转换表Table3 Evaluation-value converting

1.4 综合评判的确定和排序

设由上述指标权重确定方法经计算得到系统评估子集B的各指标Bi对应的权重集为

设Ri为评价子集A的各指标Bi到评价评判集E={低，较低，中，较高，高}的评判值可得指标Bi的评判模糊为

指标体系的最下层有l个指标，计算最下层的综合评价评判模糊向量为(D1，D2，…，Dl)，系统总的评判模糊值为

设系统有k个方案，根据可得出方案集的综合评价评判模糊向量:

采用式(11)比较综合评价评判模糊向量(T1，T2，…，Tk)的值，即可得到各个方案的综合评价评判实数值g.对于方案i:

计算各方案的综合评价评判实数值，得到各方案的评价实数向量G，对G进行实数排序，得到各方案的优劣程度，从而得到最终决策结果.

2 实验分析

对于IGFAHP，专家给出n个指标的模糊判断矩阵为

则其一致性检验函数为F(n)，为其计算方法为

通过比较AHP(AHP计算方式见文献［9］)和IGFAHP方法对一致性的影响:选取常用的3～9同层指标数，并采用蒙特卡洛法进行仿真分别得出20次和100次仿真实验平均的一致性.从表4和表5中可看出IGFAHP方法对一致性的显著改进.

式中，aik=(bik，cik，dik)，bik，cik，dik∈R+并且 0 ＜bik＜cik＜dik＜1;wk为理想权重并满足:wk∈R+，

表4 20次实验平均F(n)Table4 20 times experimental average F(n)

表5 100次实验平均F(n)Table5 100 times experimental average F(n)

3 应用实例

以飞行器总体方案的风险评价为例，构建一个单层具有5个子指标的指标体系如图2所示，设有2个专家对3个方案进行评价，得出3个方案评价排序结果，从而选出最优方案，图2为飞行器方案评价风险指标体系［10－15］.

图2 风险指标体系Fig.2 Risk index system

专家针对指标体系中的各项指标分别给出如表6所示的模糊权重输入.对综合评价值进行排序，结果为:0.546(2号方案)＞0.339(3号方案)＞0.231(1号方案).这里综合实数评价值越大，表示风险越高，故1号方案风险最小，为较优方案.

表6 专家输入及综合评价值Table6 Expert input and comprehensive evaluation

4 结论

1)IGFAHP中专家权重系数的引入将AHP扩展到群决策领域;

2)蒙特卡洛方法实验结果显示基于模糊判断矩阵的权重计算方法显著改善AHP的一致性.

References)

［1］ Zhu K J，Jing Y，Chang D Y.A discussion on extent analysis method and applications of fuzzy AHP［J］.European Journal of Operational Research，1999，116(2):450 －456

［2］ El-Gayar O F，Fritz B D.A web-based multi-perspective decision support system for information security planning［J］.Decision Support Systems，2010，50(1):43 －54

［3］ Lenzen M.Uncertainty in impact and externality assessments-implications for decision-making［J］.International Journal of Life Cycle Assessment，2006，11(3):189 － 199

［4］ Ramik J，Perzina R.A method for solving fuzzy multicriteria decision problems with dependent criteria［J］.Fuzzy Optimization and Decision Making，2010，9(2):123 －141

［5］ Wang Q K，Pan S.On influence factors of Wuhan housing industry based on the AHP［J］.Systems Engineering Procedia，2012，3:158－165

［6］ Notsu A，Kawakami H，Tezuka Y，et al.Intergration of information based on the similarity in AHP［J］.Procedia Computer Science，2013，22:1011 －1020

［7］ Chang D Y.Applications of the extent analysis method on fuzzy AHP［J］.European Journal of Operational Research，1996，95(3):649－655

［8］ 刘颖芬，占济舟.FAHP中的一致性与标度［J］.东北师大学报:自然科学版，2010(2):27－30 Liu Yingfen，Zhan Jizhou.Consistency and scale in FAHP［J］.Journal of Northeast Normal University:Natural Science Edition，2010(2):27－30(in Chinese)

［9］ 荣盘祥，杨晓宇.基于改进FAHP的交通系统脆性分析［J］.哈尔滨理工大学学报，2009(1):12－15 Rong Panxiang，Yang Xiaoyu.The brittleness analysis of the traffic system based on the modified FAHP［J］.Journal of Harbin U-niversity of Scinece and Technology，2009(1):12 －15(in Chinese)

［10］ 王虹昙，赵国荣.FAHP综合评价法在预警机作战效能评估中的应用［J］.青岛大学学报:工程技术版，2010，25(1):37－41 Wang Hongtan，Zhao Guorong.Application of FAHP in ope-rational effectiveness evaluating of early warning aircraft［J］.Journal of Qingdao University:E ＆ T，2010，25(1):37 －41(in Chinese)

［11］ Chen J，Chen I.Aviatic innovation system construction using a hybrid fuzzy MCDM model［J］.Expert Systems with Applications，2010，37(12):8387 －8394

［12］ Dehghanian P，Fotuhi-Firuzabad M，Bagheri-Shouraki S，et al.Critical component identification in reliability centered asset management of power distribution systems via fuzzy AHP［J］.IEEE Systems Journal，2012，6(4):593 －602

［13］ Ku C，Chang C，Ho H.Global supplier selection using fuzzy analytic hierarchy process and fuzzy goal programming［J］.Quality ＆ Quantity，2010，44(4):623 －640

［14］ Wu H，Chen J，Chen I.Innovation capital indicator assessment of Taiwanese Universities:a hybrid fuzzy model application［J］.Expert Systems with Applications，2010，37(2):1635 －1642

［15］ Celen A，Yalqn N.Performance assessment of Turkish electricity distribution utilities:an application of combined FAHP/TOPSIS/DEA methodology to incorporate quality of service［J］.Utilities Policy，2012，23:59 －71