多项式拟合模型在GPS水准测量中的应用

王 强，崔希民，张恒璟，杜俊秀

（1.中国矿业大学 地球科学与测绘工程学院，北京100083；2.辽宁工程技术大学 测绘学院，辽宁 阜新123000）

GPS水准使得大地水准面或高程异常变为直接观测量，如果拟合方法求定的大地水准面差距或高程异常有足够的精度，则GPS水准可在一定范围内代替低等级的水准测量。利用GPS观测得到的大地高，通过高程拟合，计算出所需要的正常高，可以成倍提高测量生产作业效率，且为通过GPS测量确定大地水准面的研究提供参考［1-2］。

GPS高程曲面拟合的方法有很多，多项式曲面拟合模型广泛应用在小区域控制测量中［3］。在拟合模型中，法方程病态时最小二乘解挠动较大的问题直接影响拟合参数的求解［4-5］。本文通过实例，对多项式拟合模型进行分析，并讨论中心化处理和拟合点位置分布对提高GPS高程拟合精度的影响。用自编GPS高程软件，比较各次拟合方法的优劣，从而探究在实际工程中采用多项式拟合GPS水准代替水准测量的现实性。

1 多项式曲面拟合模型

多项式曲面法拟合似大地水准面的基本原理是将高程异常近似地看作一定区域内各点坐标的曲面函数，用已联测水准的GPS点（也称为公共点）高程异常拟合这一函数，求得函数的拟合系数，进而确定一定区域内高程异常与点平面坐标的函数关系。利用这一函数计算其他GPS点（也称为待定点）的高程异常，最后求点的正常高。

多项式拟合方程的一般形式如下［6］：

其中

式中：ξi表示高程异常；a0，a1，a2，…an为拟合系数；εi为残差。

式（2）中，如果取未知数一次项，则称平面拟合；取所有的二次项，又称二次多项式拟合；只取二次项中的交叉项，称为相关平面拟合；取三次项，称三次多项式拟合，以此类推。

2 拟合模型精度评定

2.1 内符合精度

根据参与拟合计算已知点的值ξi′与拟合值ξ′i，用Vi＝ξi′-ξ′i求拟合残差Vi，从而来求拟合内符合精度，计算公式为

式中：μ为内符合精度；n为参与计算的已知点个数。

2.2 外符合精度

为了检查GPS高程异常拟合效果，在设计计算方案时，常会用一部分已知点作为公共点，而将另外一部分已知点作为检核点参与拟合计算，根据检核点的ξi′值与拟合值ξ′i，用式（4）计算外符合精度M，计算公式为

式中n为参于检核的点数。

2.3 GPS水准精度评定

1）用GPS水准求出的GPS点间的正常高程差，在己知点间组成附合或闭合高程路线，按计算的闭合差与表1中允许残差比较，来衡量GPS水准所达到的精度［7］。

表1 水准限差

2）检核点拟合残差△H＝H水-H拟。所以由误差传播定律可知：

即

由式（6）可得

式中：σ拟代表检核点高程拟合中误差；σ水代表水准点的高程中误差；σΔH代表检核点的外符合精度。

评定GPS水准所能达到的等级精度主要是由检核点高程拟合中误差评定。由式（7）可以看出，检核点高程拟合中误差小于检核点的外符合精度。因此，评定参考的主要依据就是外符合精度。将外符合精度与限值做比较，就可以评定GPS水准所能达到的等级精度。

3 中心化处理

当法方程系数矩阵最大值与最小值之比过大时，会造成矩阵主对角线元素不占优，法方程系数矩阵病态［8］。如果直接把X，Y代入模型，称为非中心化处理。本文在利用这些实验数据时，为了改善法方程系数矩阵的病态性，将测区坐标中心化处理，先求出测区公共点坐标分量的平均值，将测区点的平面坐标进行平移，平移的X，Y方向分量为该GPS测区中心点的X，Y坐标，这个过程叫做中心化。中心化使得数值计算更为方便，并减少计算精度的损失。设中心点的坐标为其模型为

在实验中要采用新的ΔX，ΔY坐标进行数学计算和模型检验。

4 算例比较分析

4.1 采用数据

本测区总共13个已知控制点，都是与国家二等水准联测的点，水准精度为三等。同时有X，Y、大地高和水准高，点号从G01—G13，测区的面积约为20km×25km，高程异常在15m左右。如果选取的公共点个数为N，则检核点的个数为（13-N）个。测区控制点有大地经纬度，也有大地坐标所对应的直角坐标，本文只选择直角坐标，即坐标格式为X，Y进行实验。

4.2 拟合方案

拟合方案采用完全二次多项式拟合、非完全二次多项式拟合、一次多项式拟合和三次多项式拟合。在测区选择的数据情况有：第一组在测区选择7个公共点参与拟合计算，其余6个点为检核点；第二组（参与拟合点在测区外围进行内推）选择9个公共点参与拟合计算，其余4个点为检核点；第三组（参与拟合点在测区内部进行外推）选择9个公共点参与拟合计算，其余4个点为检核点。以上每一组都分为直接代入X，Y坐标和中心化后代入两种情况。三次多项式拟合选择的拟合计算点个数固定为11个，检核点个数为2。（下列各表中“非”代表直接带入X，Y 坐标，“中”代表对坐标中心化处理；“内”代表内符合精度，“外”代表外符合精度，单位为mm）

图1 控制网略图

第一组控制网的GPS数据：G01—G07为公共点，G08—G13为检核点；

第二组控制网的GPS数据：G01—G09为公共点，G10—G13为检核点；

第三组控制网的 GPS数据：G01、G02、G03、G04、G08、G10、G11、G12、G13 为公共 点，G05、G06、G07、G09在拟合区域外围，为检核点；

特别地，针对三次多项式拟合，G01—G11为参与拟合的公共点，G12—G13为检核点。

4.3 拟合结果

通过对第一组、第二组和第三组数据分别进行中心化和非中心化的完全二次多项式拟合、非完全二次多项式拟合、一次多项式拟合，利用间接平差原理求得拟合模型。

表2～5列出在不同拟合方式下所得到的拟合数、内外符合精度和条件数。

表2 第一组拟合结果（7个点）

表3 第二组拟合结果（9个点内推）

表4 第三组拟合结果 （9个点外推）

可以看出，特别是对于三次多项式拟合，直接代入坐标计算拟合系数常数项过大，法方程严重病态，拟合结果不稳定，内外符合精度低，法方程条件数达到1039；中心化处理后，法方程的病态得到缓解，内外符合精度提高，法方程条件数只有1013。

表5 三次多项式拟合结果（11个拟合点）

4.4 拟合结果比较分析

1）由表2～5数据分析可知，对于一次、不完全二次，中心化后的数据拟合结果与直接代入坐标拟合精度差不多。但是对于完全二次和三次多项式，中心化后的数据拟合结果都比直接代入的精度高，模型可靠。特别是三次多项式拟合，中心化后可以显著改善法方程的病态性，使结果稳定，提高精度。

2）由前三组数据分析可知，内外符合精度没有必然的联系。内符合精度反映的是拟合模型的拟合精度，外符合精度反映的是转换参数的有效性。内符合精度高，不一定外符合精度就高，反之亦然。

3）由前三组数据分析可知，对于本测区而言，在坐标代入方式和选择公共拟合点个数相同的情况下，完全二次多项式拟合的精度最高，一次多项式次之，不完全二次多项式精度最低，说明具体的测区有具体的适合模型。

4）第一组选择拟合点数为7个，第二组选择拟合点数为9个。由一、二组数据结果分析可知，在基准拟合点分布大概相同的情况下，选择的基准拟合点数越多，拟合的模型内外符合精度越高。

5）第二组和第三组选择的基准拟合点的个数相同，但是基准拟合点的分布不一样。第二组选择的点位于测区的边缘和内部，实行的是内推；第三组选择的基准拟合点位于集中的一个区域，实行的是外推。第二组内符合精度稍微高于第三组，外符合精度明显优于第三组。由此分析可知，内推模型明显优于外推模型。

6）三次与完全二次拟合相比较，拟合的次数和参数个数变多，但是内外符合精度并没有提高。由此分析可知，多项式拟合中，并不是拟合次数越高越好。

由上述结果可知，对于本测区而言，最合适的多项式拟合模型是基准公共点均匀分布在测区外围和内部、具有适量多的公共点数、中心化后的完全二次多项式拟合模型。其外符合精度在11mm左右，经计算，能够达到四等水准测量的精度。

5 结束语

GPS拟合高程精度在地形复杂地区，由于大地水准面相对不规则，需要选取合适的函数模型构造大地水准面模型来接近真实的大地水准面，这样拟合的结果会较好，拟合高程精度将会提高。从本文讨论中可知：

1）对于同类地形复杂情况，在GPS水准拟合过程中，拟合模型一旦选定，拟合精度的高低还取决于基准点的个数、选取及分布。选取的基准点个数应该尽可能的多；选取的基准点应均匀分布在测区四周和中央（可以尽量避免外推），并反映出该测区真实地形，则经过内插所获得的各点的拟合高程精度将进一步提高。

2）在多项式拟合中，尽量对坐标进行中心化处理，以得到更优的效果。

3）不同的区域选用不同的拟合方法精度会不一样，所以应该根据实际情况，选择不同的拟合方法。对于本区域的情况，可以用二次多项式拟合模型代替四等水准测量。

［1］邓罡.GPS高程拟合代替水准测量研究［D］.长沙：中南大学，2012.

［2］王增利，黄腾，邓标.基于二次曲面的拟合推估法在GPS高程测量中的应用［J］.测绘工程，2009，18（1）：51-53.

［3］李晓桓.GPS水准拟合模型的优选［J］.测绘通报，2003（7）：11-13.

［4］归庆明，郭建锋，边少锋.基于特征系统的病态性诊断［J］.测绘科学，2002，27（2）：13-15.

［5］徐天河，杨元喜.均方误差意义下正则化解优于最小二乘解的条件［J］.武汉大学学报：信息科学版，2004，29（3）：223-226.

［6］岳建平，岳东杰.工程GPS测量的精度及其应用［J］.测绘通报，1999（11）：27-29.

［7］中华人民共和国国家技术监督局.GB 12898—1991国家三、四等水准测量规范［S］.北京：中国标准出版社，1991.

［8］张恒璟，程鹏飞，孙小荣.多项式拟合模型病态性问题的分析与应用研究［J］.测绘通报，2012（7）：35-38.