函数的极值及其应用

王玉红

摘 要 函数的极值是微分学中一个重要的组成部分，在一元函数极值的有关理论基础上，进一步探讨多元函数的极值问题，并通过典型例题阐明函数极值的计算方法及其在实践中的应用。

关键词 一元函数 多元函数 极值 极值应用

中图分类号：O172 文献标识码：A

The Extreme Value and the Application for Functions

WANG Yuhong

（Inner Mongolia Vocational College of Chemical Engineering， Hohhot， Inner Mongolia 010070）

Abstract The extreme value of functions is one of the most important parts in differential calculus. In this paper， based on the correlative theory of the extreme value for functions of single variable， the extreme value for functions of several variables is further investigated. At the same time， by the typical examples， the numerical method and the applications of the extreme are studied.

Key words functions of single variable; functions of several variables; extreme value; extreme value applications

0 引言

函数的极值是高等数学中微分学理论的一个重要的组成部分，它在数学教学、工农业生产、工程技术及科学实验等方面，常常会遇到这样一类的问题：在一定条件下，怎样使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等，这类问题在数学上可归结为求某一函数的最大值或最小值问题，本文介绍了一元函数、多元函数的极大值和极小值问题，通过典型例题阐明函数极大值和极小值的求法及其在经济中的应用。

1 一元函数的极值

定义①：设函数（）在区间（）内有定义，（），若在的某去心邻域内有：（）≤（）（或（）≥（）），则称（）是函数（）的一个极大值（或极小值），称为（）的极大值点（或极小值点）。 极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为函数的极值点。一元函数极值的求法比较简单，如：

例1 求函数（） = 的极值。

解：函数（） = 的定义域为（，+），

（） = 1 = 1，令（） = 0，得驻点 = 1（，+），而当 = 0时，（）不存在，故 = 0是函数的不可导点，且 = 0（，+）

经过讨论，（）在（，0）∪（1，+）内单调递增，在（0，1）内单调递减。所以，所求函数的极大值为（0）= 0，极小值为（1）= 。

2 多元函数的极值

定义②：设二元函数 =  （）在点（）的某个邻域内有定义，若对该邻域内任何一个异于（）的点（）都有： （）≤ （）（或 （）≥ （）），则称二元函数 =  （）在点（）处有极大值（或极小值）。极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。

（1）无条件极值：二元函数在自变量仅受定义域限制下，求解极值的方法为：

首先，通过解方程得到驻点;其次，对每个驻点求出它们的二阶偏导数： = （）， = （）， = （）;最后，依据当>0，>0时，函数在此点取极小值;当>0，<0时，函数在此点取极大值;当<0时，函数在此点没有极值;当 = 0时，不能确定，需进一步判断。

例2 求函数 （） =  + 的极值。

解：（）=  ，（）= ，

则解方程组，得驻点（0，0）、（1，1），所以在这两点处可能有极值点，进一步计算可得（） = 6，（） = ，（） = ，在驻点（0，0）处， = 0， = ， = 0，则 =  = <0，因此在点（0，0）处没有极值。

在驻点（1，1）处， = 6， = ， = 6，则 =  = 27>0，因此在点（1，1）处取得极小值 （1，1） = 。

（2）条件极值：对于二元函数 =  （）在约束条件下的条件极值：

方法一：若在条件 （）= 0下求函数 =  （）的极值，且 （）= 0确定了显函数 = （）或 = （），则可用消元法转化为一元函数的极值问题来解决，此法很简单。

方法二（拉格朗日乘数法）：若在条件 （）= 0下求函数 =  （）的极值，且函数 =  （）在区域上存在一阶、二阶连续偏导数，而且 （） = 0确定了隐函数，此时可以用拉格朗日乘数法，首先，求出拉格朗日函数（）在区域内的驻点。然后利用二阶全微分方法对每个驻点进行判断，我们主要会这一方法。

例3 求二元函数 （）=  + 在条件 +  = 2下的极值。

解：作拉格朗日函数： （）=  +  + （ +   2），

求得 （）关于的偏导数并令其为零，

=  +  = 0， =  +  = 0，在条件 +  = 2下解得：

= 1，  = 1， = 1，于是，点（1，1）可能是极值点，而

（） = （ + ） + （ + ），

（） =  +

故，（1，1） = 2（ + ）>0，所以在点（1，1）取得极小值，极小值为（1，1）= 2。

推广到个变元的函数 （，，…，），设其具有对各个变元的连续偏导数，并且这些变元之间还满足至多个联系方程（，，…，）= 0（ = 1，2，…，），这里（ = 1，2，…，）具有对各个变元的连续偏导数，并且它们关于某个变元的亚可比不等式等于零，对此用同样的方法来讨论函数 （，，…，）在限制条件 = 0下的极值问题。

例4 求三元函数（） = 在限制条件 +  +  = 1及 +  +  = 0下的极值。

解：作拉格朗日函数

=  + （ +  + ） + （ +  + ）

求关于、、的偏导数并令为零，在限制条件 +  +  = 1及 +  +  = 0下，

解得： = ，  = ，  = ; = ，  = ，  = ; = ，  = ，  = ; = ，  = ，  = ; = ，  = ，  = ; = ，  = ，  =

而由限制条件所确定的点集： ={（）∣ +  +  = 1，  +  +  = 0}是一个有界闭集，所以此函数在这个有界闭集上定有最大值和最小值，经求值比较得最大值即为极大值，最小值即为极小值。

3 函数极值的应用

例5 设总成本函数和总收益函数分别为（） =  + 33 + 10，（） = 18，求利润最大时的产量、价格和利润。

解：由于（）=  + 33，（） = 18

当（）= （）且（）> （）时，可获得最大利润，有 + 33 = 18，解得： = 1， = 5，

所以，仅当 =  = 5时，有（）> （），因此，利润最大时的产量为， = 5。

由收益函数可得价格函数： = （） =  = 18，利润最大时的价格： = 18，利润函数为： = （） = （）（） =  + ，最大利润为： = 15。

注释

① 邹豪思，冯尚.高等数学（上册，第1版）[M].内蒙古大学出版社，2006.

② 陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中.数学分析（下册，第2版）[M].北京：高等教育出版社，2000.