求极限的主要方法、相互关联及最优求解

周丽

摘 要 本文归纳总结了求极限的八大方法，并指出这八大方法之间的关联，最后给出极限的最优求解。

关键词 极限 关联 最优求解

中图分类号：O171 文献标识码：A

The Main Method， Interrelation and Optimal

Solution of Seeking the Limits

ZHOU Li

（School of Economics and Management， Guangzhou University of Chinese Medicine， Guangzhou， Guangdong 510006）

Abstract This paper summarizes the eight methods of seeking limits， and indicates the interrelation between the eight methods， finally reaches the conclusion of optimal solution of seeking the limits.

Key words limits; interrelation; optimal solution

0 引言

所有的大学数学教材，如《高等数学》、《微积分》、《经济数学》、《医药高等数学》等，基本上第一部分介绍的一定是函数的极限，第二部分介绍的是导数与微分，第三部分是积分等。我们知道，高等数学的核心就是微分和积分，即第二部分和第三部分，无论是微分还是积分，都是根据极限来定义的，所以极限是大学数学的基石，需要学生牢牢掌握它。而极限的求法五花八门，碰到求极限题问题，究竟要用哪种方法求解、哪种方法又是最优求解，是学生必须要掌握的问题。该文即是归纳总结求极限方法，帮助学生理顺思路，寻求最优的求解过程。

1 极限的求法

极限的求法有以下几种：

①四则运算法则：

设  （）=，  （）=，则：

例如：

=  =  =

②复合函数的极限运算法则

若 （）=，   （）=

则  （（））=   （）=

例如：   =   =

③无穷小分出法得到的公式

例如： =   =

④无穷小的性质：有界函数与无穷小量之积为无穷小量。

例如：（1） =  = 0

（2） （3 + ） = 0

⑤消去零因子法（一般通过分解因式，通分或有理化后再消去零因子）

例如：

（1） =  =  =

（2）

（3）（  ） =

=   =  =

⑥两个重要极限

= 1及 =

例如：（1） = （+1） = （+1） = 2

（2） =  =

⑦等价无穷小替换

这种方法需要理解并记忆一些等价的公式，以下是几种常用的等价无穷小关系：当→0时， （1+）

例如：（1） =  = 1

（2）

⑧洛必达法则

首先判断 是否为或型，如果是，则用洛必达法则有  =

再判断类型，若仍为或型，则继续用洛必达法则;若为或，则得原极限为或;若得极限不存在，则洛必达法则使用不当，需利用前面的方法求极限。

例如：（1）

（2）

2 小结

以上归纳了求极限的八种方法，而这八种方法并非独立，毫无关联的。其中①②两种方法是最基本，最简单的方法，可以为后几种方法打基础的。第③种方法可以直接检验条件，从而套公式的。第④种方法要特别留神，一方面它比较独立，另一方面容易与第⑥，第⑦种方法混淆，发生错解。第⑤，第⑥种方法可以被第⑦，第⑧种方法替代，而第⑦，第⑧种方法可以相互结合，相融在一个题中。

可以这样说，洛必达法则是求极限最普遍的方法，而等价无穷小替换是求极限最快捷的方法。这两者并不矛盾，可以交错结合使用。也就是说，在一个极限题中，如果能用等价无穷小替换先替换，再考虑用洛必达法则，使用完洛必达法则后，若3有等价无穷小，也可再使用等价无穷小，再用洛必达法则。

下面具体举例子来说明：

第①-④种方法无需举例了，对第⑤种方法可用第⑧种方法替换

例如：⑤中的（1）

（3）

第 ⑥种方法可被第⑦种方法替换

例如：⑥中的（1） =  = （+1） = 2

⑥中的（2）

我们注意到此题用到了第②种方法

现在再举例说明第⑦第⑧两种方法的结合

例如：

参考文献

[1] 迟彦惠.经济数学[M].广州：华南理工大学出版社，2007：42-56.

[2] 严云良，郑洁钢.医药高等数学[M].北京：科学出版社，2012：7-13.