“问题解决”目标的内涵及实现

张丹

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）把“问题解决”作为课程目标之一，其内涵包括经历发现和提出问题、分析和解决问题的全过程，获得分析问题和解决问题的策略，学会合作交流，形成评价与反思的意识。美国加州大学教授舍费尔德（A.Schoenfeld）通过实验观察，提出了问题解决能力的四个构成要素——认知的资源、发现式解题策略、控制和信念系统。[1]这些都说明了问题解决多方面的教育价值。在数学教学中积极倡导问题解决，不仅可以提高学生解决问题的能力，还可以加深学生对知识和方法的深入理解，促进学生的数学交流，提高学生的自信心，发展学生的创新精神和实践能力。

需要指出的是，问题解决中的“问题”不仅包括常规问题，还包括非常规问题。常规问题一般是封闭型的，有一个确定的答案，而且给出了所有必要的已知信息，学生解决问题的方式主要是从已有认知结构中提取熟悉的“模式”，更多地体现出常规性和重复性。非常规问题一般是开放的，没有确定的答案，解决它没有现成的方法和程序，学生解决问题的方式主要是寻找和提炼信息、探索解决问题的方法，更多地体现出探索性和创造性。

下面就《标准》关于问题解决的具体目标加以阐述。

一、初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力

首先，《标准》提出要发展学生“从头到尾”发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。学生要具有数学的意识和眼光，能在实际生活、其他学科、数学内部等方面产生疑问——发现问题；能进一步将疑问概括、表述为可以解决的问题——提出问题；能理解问题中的条件和目标，识别问题情境中蕴含的数学关系，确定解决问题的方向——分析问题；能选择合适的方法和程序，综合应用所学的知识和方法解决问题，并对结果进行解释和评价——解决问题。

在发现和提出问题、分析和解决问题的过程中，学生将不断增强应用意识。特别地，学生将认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，相信数学的用途和价值，这也体现了“信念系统”在问题解决中的作用。为此，数学课程和教学应努力揭示数学与日常生活、自然界和其他学科的联系，数学概念的引入应当揭示它的现实背景，数学知识形成以后应当介绍它的真实应用；应提供机会鼓励学生运用所学的知识解决实际问题，并引导学生有意识地体会并掌握一些重要的解决问题的策略；应展现数学应用的具体实例，将学生引入丰富多彩的数学应用的王国中；甚至在物理、化学等其他学科的教学中，也应当尽可能地呈现它们与数学的联系。

需要强调的是，《标准》将发现问题和提出问题也作为问题解决领域的重要组成部分，而这正是学生的薄弱点。在义务教育阶段，首先要培养学生的是发现和提出问题的意识和习惯。所以，最好的途径是给学生自主发现和提出问题的机会。具体包括：

第一，面临情境或将要学习的内容，鼓励学生自主发现和提出问题。

第二，解决完一个问题后，鼓励学生提出新的问题。美国学者布朗（S.Brown）与沃尔特（M.Walter）通过研究，得到提出问题的一个很有用的方法——“否定假设法”（what-if-not，如果它不是这样的，那又可能是什么呢？）。“这是从原问题出发，产生新问题的非常有效的方法。运用这种策略提出问题有两个关键步骤：首先，列出情境信息的特征；而后是‘what-if-not，即学生选择一些特征加以改变来提出问题。”[2]

比如，一位教师首先鼓励学生解决如下的问题：亮亮家、芳芳家和学校的位置如下图所示。星期天要到校参加实践活动，他们7点从家里出发，7点5分同时到达学校。亮亮从家到学校每分钟走50米，芳芳从家到学校每分钟走40米，亮亮家到芳芳家的距离是多少米？

然后，通过独立思考、合作交流，师生共同整理了题目中包含的信息：同时出发、相对而行、在一条直线上行走、行走的速度、行走的时间、关于相遇的情境等。接着教师提出问题：你能改变其中的一个信息，再提出一个问题吗？于是学生改变信息，产生了一个又一个新问题：如果不是在一条直线上行驶，会怎么样呢？如果不是相对而行会怎么样呢？如果不是同时到达会怎么样呢？

第三，学习完所学内容后，鼓励学生进一步提出想要研究的问题。比如，学习了“质数与合数”的内容后，学生提出了如下“有趣”的问题：

（1）学习质数和合数有什么用？

（2）有没有一个办法，能快速地找到质数？

（3）质数有没有公式？

（4）有没有最大的质数？

（5）2与3差1，3与5差2，5与7差2，7与11差4……质数是否有一定的规律？

（6）哥德巴赫猜想研究的是什么？

第四，设计专门的活动，鼓励学生发现和提出问题。“‘综合与实践是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动”，[3]发现并选择可以研究的问题并清晰地加以表述无疑是其中重要的一环。因此，教师可以鼓励学生通过自主发现、小组甄选、讨论分析、清晰表述等活动，从生活中、从学习中发现和提出具有挑战性的问题。

教师还可以安排一些专门的活动，鼓励学生思考并讨论：自己提出的问题是什么意思？什么是合理的问题？什么是数学问题？问题的基本结构是什么？大家所提的问题有几类？你是怎样想到这个问题的？是什么启发了你？鼓励学生积累发现和提出问题的经验。

二、获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识

问题解决的价值不只是获得具体问题的解，更重要的是学生在问题解决的过程中获得发展。其中重要的一点是使学生学习一些解决问题的基本方法，体验解决问题的方法的多样性，并在此基础上形成自己解决问题的某些策略。

事实上，从波利亚开始，大家对解决问题的策略已经有了许多研究，提出了一些比较常用的策略，包括使用图表或其他的表示方法、寻找模式、列举所有的情况、从特例开始试验、猜测与检验、尝试错误、构造简单问题等。数学课程和教学应该提供给学生一些解决问题的策略方面的实践与指导，以使他们能根据不同的问题合理地使用这些策略。笔者选择其中最基本的三个策略——画图策略、列表策略和模拟操作策略加以阐述。

画图策略是一种非常重要的分析问题和解决问题的策略，它是利用“图”的直观来对问题中的关系和结构进行表述，从而帮助人们分析问题和解决问题的。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于人们探索解决问题的思路，预测结果。同时，画图又是一个“去情境化”的过程，它能提炼情境中的数量关系，并且进行直观的表达。总的来说，画图策略的作用主要体现在：可以帮助理解问题；可以帮助解决问题；可以促进反思和交流；可以导致发现。

列表策略的作用主要体现在：第一，学生通过列表枚举出一些符合条件的结果，然后通过验证从中选择最终的答案。比如，对于“鸡兔同笼”问题，教材大多选择列表的策略，鼓励学生进行枚举，学生通过枚举每一种情况并进行检验得到问题的最终答案。如果头和腿的数目较多，学生也可以在枚举过程中发现一些规律从而进行调整，如“发现腿数还差得很多，多增加些兔子”，又如可以从假设有一半鸡或兔子开始枚举。这不仅能使学生学习解决问题的重要策略，还可以培养学生的数感和估算能力，使学生经历建立假设、检验假设的过程，发展学生自己进行判断的能力。随着对这个问题的不断讨论，越来越多的教师认识到了枚举方法的重要性。正如张景中先生提到的：“小学数学里有很多应用题，解题的思想方法常常因题而异。可不可以引导学生探索一下，用一个思想来解各种各样的题目呢？试商的思想，其实有普遍意义，可以用来求解许多不同类型的问题，包括应用问题，只要问题中的条件数据和解答之间有确定性的关系。例如，修一条长32千米的公路，已经修了24千米，已修的路程是剩下的几倍？我们用类似试商的办法来试解。如果是1倍，剩下的是24千米，总长48千米，比题设数据大了；如果是2倍呢，剩下的是12千米，总长36千米，仍比题设数据大；3倍呢，剩下8千米，总长32千米，正好符合要求。我想很多老师不会这样引导学生思考，认为这是个笨办法。其实，这个办法具有一般性，把试解的倍数看成自变量，把根据试解算出的总长看成试解倍数的函数，找寻使函数值符合题目要求的自变量，这个思路能解决很多问题，是‘大智若愚。这样思考试算，最终也会发现具体的规律，列出通常的算式。”[4]不难看出，“试商”就是我们说的枚举并验证的方法，它是一个“大智若愚”的方法。第二，学生可以将问题中的信息用表格的形式加以整理，往往既能起到整理信息的作用，也有助于学生探索出解决问题的思路。

模拟操作策略是借助实际操作或模拟操作分析问题和解决问题的策略。一方面，可以通过模拟问题中的情境，帮助学生理解题意和分析问题。另一方面，学生可以通过操作解决问题。

需要指出的是，学生所采用的策略，在教师眼中也许有优劣之分，但在学生的思考过程中并没有好坏之别，都能反映出学生对问题的理解和他们所作出的努力。只要解题过程及答案具有合理性，就值得肯定，这为树立学生的自信心和培养他们的创新精神提供了很有价值的机会。同时，有研究表明，“学生不仅能够自己去发现问题解决的策略，而且可以利用学生自己发现的策略去促进他们的数学理解”[5]。因此，在教学中，应提供给学生更多的展示属于他们自己的思维方式和解题策略的机会，提供给学生更多的解释和评价他们自己的思维结果的权利。还应鼓励学生共同分享他们各自的策略，由此体会解决问题的不同方法，学习和评价不同的策略，并丰富和扩充自己的策略。在这种环境中，学生创新意识的培养才会成为可能。

三、学会与他人合作交流

许多国家都将培养学生数学交流的能力作为课程的重要目标。例如，英国著名的“科克罗夫特报告”（Cockcroft Report）指出：“所有这些对数学有用的理解都来源于这样的事实，即数学提供了一种有力的、简洁的和准确无误的交流信息的手段……它提供了对所有儿童要教数学的主要的理由。”[6]

在问题解决的过程中与他人合作交流，学生不仅能获得更多的帮助和启示，他们的数学思考能力也将得到发展。实际上，思考和交流是交叉在一起的。无论是口头的还是书面的交流，学生首先面临向他人清晰而有信心地表达自己的想法的挑战，这就需要他们预先组织自己的数学思维，这实际上是他们获得对自己问题解决过程深入理解的过程，同其他人讨论是使自己的策略和思想得到详细的检查、提炼和完善的基本方法之一；在讨论问题解决的各种各样的方案时，学生将有机会看到别人的观点和方法，评价这些观点和方法的正确性和适用性，并在解决以后出现的问题时加以运用，通过仔细地听取和思考他人的观点，学生将学习成为有着批判眼光的思考者；学生还要将自己的语言与数学语言联系起来，这就为他们学习数学语言积累了经验，奠定了基础，有助于学生欣赏数学语言的精确性和力量。总之，当学生在合作交流的基础上最终提出能有效地解决问题的方案时，他们的思考能力也就同时得到了提高。当然，交流的过程也为教师提供了观察、了解和帮助学生的机会。

因此，如果数学教育中充满了丰富的交流，学生就可以获得双重的效益：为了学会数学进行交流和学会数学地交流。交流应该成为数学学习的一个很自然的组成部分，数学课程和教学应提供多种机会促进学生的合作与交流。例如：可以要求学生记录他们在当天数学学习中的收获和遇到的问题，这个活动可以促使学生自觉思考一天的工作，表达自己对所学内容的想法，这种活动也能提醒学生，他们和教师一样对所学内容是负有责任的。

四、初步形成评价与反思的意识

有研究表明，学生在问题解决中的失败常常不是由于他们缺乏数学知识，而是由于他们不能有效地应用所学的知识。好的问题解决者常常监控并调整他们解决问题的过程。他们要通过仔细阅读问题或提出自己的疑惑来确信他们是否真正理解了问题；他们常常做计划，并定期检查正在做的事，以了解他们是否正在正确的轨道上前进；如果遇到了重大挫折，他们就尝试换一个解决问题的角度；而解决了一个问题之后，他们能回顾整个解题过程，反思结果和解决问题的策略是否合理、是否有不同的解决问题的途径、与其他问题是否有联系等。总之，学生的评价和反思意识与水平在问题解决的过程中起着很大的作用。实际上，这就是“元认知”的重要性。元认知是指“个体对自我认知过程的认知，以及在这种认知基础上的自我监督、计划与调节（弗拉维尔，1979）”[7]。数学教育家莱斯特（Lester）强调元认知在数学解决问题中的作用，具体地说，“在导引阶段，元认知可以引导解题者去寻找题目的关键字，确认解题方向；在组织阶段，元认知有助于解题者模式识别和解题迁移；在执行阶段，元认知起调控解题者行为的作用；在验证阶段，元认知可以促使解题者对解题进行反思”[8]。

数学课程和教学可以通过设计以下一些问题，帮助学生逐步形成评价和反思的习惯：在开始解决问题前，你确实理解问题了吗？到目前为止解过类似的问题吗？能否将此问题转化为以前解过的问题？可能有哪些解决问题的途径供选择？需要制订一个计划吗？这个计划可行吗？或者，我们应该重新考虑计划？这个问题的解合理吗？解决这个问题时，你运用了什么策略？是否还有其他解决问题的方法？……。特别地，我们不能仅仅满足于求解一个具体的问题，还应促使学生的数学思考得到进一步的发展。例如：引导学生对所求解的问题抽象化或一般化；思考解决问题过程中使用的策略能否作为解决一类问题的重要方法；比较解决问题的不同策略，以体会它们不同的特点与适用性；在解决问题的基础上提出新的问题；等等。

【参考文献】

[1]王延文，齐建华，游安军.“问题解决”及其研究综述[J].数学教育学报，1995（8）：35-39.

[2]李祥兆.数学问题提出的实证研究述评[J].数学教育学报，2005（11）：63-66.

[3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[4]张景中.感受小学数学思想的力量——写给小学数学教师们[J].人民教育，2007（18）：32-35.

[5]蔡金法.关于“通过问题解决进行数学教学”的研究综述——一些已经回答和尚未回答的问题[J].浙江教育学院学报.2009（1）：28-36.

[6]科克罗夫特.数学算数——英国学校数学教育调查委员会报告[M].范良火，译.北京：人民教育出版社，1994.

[7]刘伟方，司继伟，王玉璇.认知策略选择的元认知因素[J].心理科学进展.2011（19）：1328-1338.

[8]喻平.数学问题解决的实证研究述评[J].数学教育学报，2002（2）：16-20.

（作者单位：北京教育科学研究院）