基于近似因子分解法的铸造充型过程数值模拟研究

牛晓峰 王冠乾 梁 伟 侯 华

1.太原理工大学，太原，030024 2.中北大学，太原，030051

0 引言

铸造充型过程被认为是一个不可压缩流的非定常流动现象，其液态金属流动时所遵循的质量守恒定律和牛顿第二定律采用连续性方程、动量方程描述。目前求解Navier－Stokes方程的主要方法有SIMPLE法、MAC法和SOLA法等。SOLA法是最常用的方法，但求解压力场和速度场时，需要在连续性方程和动量方程之间进行多次迭代，计算效率不高［1－4］。

本文为提高计算效率，采用近似因子分解法进行压力场和速度场的计算，由于这一过程的每一步均可采用托马斯算法求解三对角方程，所以计算简单，计算效率较高。建立了基于有限差分法（FDM）的流动场数值模拟程序，采用重力砂型铸造，铸件材质为纯铝，针对Benchmark件进行充型过程流动场数值模拟，并将模拟结果与实验结果进行比对，验证了数学模型的正确性。

1 理论分析

铸造充型过程的守恒型控制方程如下［5-8］：

式中，u、v、w分别为三个坐标轴方向的速度分量；t为时间；ρ为流体的密度；p为压力；gx、gy、gz分别为重力加速度在三个坐标轴方向上的分量；τxx、τyy、τzz为正应力；τxy、τxz、τyx、τyz、τzx、τzy分别为不同方向上的切应力。

根据梯形法则及式（1），通过第n个时间段和第n＋1个时间段的平均，建立如下隐式差分方程：

式（2）是一个非线性差分方程，根据Beam－Warming方法［5］将其线性化，具体过程如下：

由于ρ、gx、gy和gz保持不变，故有Jn＋1＝Jn。

引入单位矩阵，式（6）可以写为

根据Beam－Warming方法，将式（7）表达为因子形式，即

如果将式（8）左右两边的两个因子相乘，将会发现式（8）与式（7）并不完全相同，多出的项包含因子（Δt）3，不影响式（7）所具有的二阶精度，于是我们用式（8）替代式（7），在式（8）中出现的因子形式称为近似因子分解。

引入记号ΔUn≡Un＋1－Un，则式（8）可写为

式（9）为增量形式，通过求解式（9），得到ΔUn，然后由Un＋1＝ΔUn＋Un得到下一时间段上Un＋1的值。具体过程如下：

2 算例分析与验证

构造铸件三维实体模型如图1所示，投影图如图2所示，网格剖分图（网格尺寸：2.0mm×2.0mm×2.0mm）如图 3 所 示［9－11］。 铸 件 材质为纯铝，重力砂型铸造， 浇 注 速 度 为0.7m／s，浇注温度为700℃，其他参数见表1。计算效率见表2。

图1 三维实体模型

表1 物理参数

表2 计算效率

图2 铸件投影图

图3 网格剖分结果图

铸件充型过程数值模拟结果与实验结果对比如图4～图7所示。

图4 0.83s铸件充型过程数值模拟结果与实验结果对比

图5 1.43s铸件充型过程数值模拟结果与实验结果对比

对比图4～图7发现，模拟结果与实验观察结果基本吻合，说明本文所开发的基于FDM充型过程流动场数值模拟程序是正确的。由表2可知，由于计算过程中每一步均可采用托马斯算法求解三对角方程，计算简单，所需计算时间较短。

图6 1.93s铸件充型过程数值模拟结果与实验结果对比

图7 2.51s铸件充型过程数值模拟结果与实验结果对比

3 结语

应用近似因子分解法进行速度场和压力场的计算，将式（1）所描述的非定常三维问题在每个时间步上分解为三个独立的一维问题，由于过程的每一步均可采用托马斯算法求解三对角方程，所以计算简单，可有效提高计算效率。

本文建立了基于有限差分法的流动场数值模拟程序，为验证计算模型的正确性，采用重力砂型铸造，铸件材质为纯铝，针对Benchmark件进行充型过程流动场数值模拟，并将模拟结果与实验结果进行比对，发现模拟结果与实验观察结果基本吻合，说明本文所开发的基于FDM充型过程流动场数值模拟程序是正确的。

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