末端质量和关节惯量对柔性臂运动稳定性的影响分析

刘广瑞 吴晓铃 陈 园 虞正平

1.郑州大学，郑州，450001 2.重庆大学机械传动国家重点实验室，重庆，400044 3.北方重工集团公司，沈阳，110860

0 引言

自20世纪80年代以来，柔性结构的运动学、动力学与控制问题的研究受到了国内外研究人员的广泛关注［1－8］。总的来说，该领域的研究分为动力学、控制方法、结构设计三个方面，研究的目标可以归结为柔性臂末端位置弹性振动的抑制。柔性机械臂动力学建模与仿真的研究涉及航空航天、机器人、土木工程等许多应用领域。文献［9－12］用各种方法建立了柔性机械臂的动力学模型。柔性机械臂控制的研究主要集中在各种控制方法在柔性机械臂振动抑制中的应用［13－16］。柔性机械臂本身的一些动力学参数，如末端质量和驱动关节惯量等，对柔性机械臂的弹性运动有重要影响，但这方面的研究却较少。滕悠优［17］研究了末端附加质量位置对响应频率特性的影响，得出了一些有益结论。但是，相关研究仍然不够深入和系统。

在国外，从动力学建模和控制方法角度研究柔性机械臂的例子比较多，但从机械设计角度研究柔性机械臂的例子比较少。文献［18－20］用有限元方法和反馈线性化方法研究了柔性机械臂的动态载荷负载能力问题，提出了计算柔性机械臂最大许用载荷的方法，认为柔性机械臂末端位置质量有一上限，超过这一上限，柔性机械臂的运动精度和运动稳定性会受到影响。

本文在建立末端有集中质量的柔性机械臂的动力学模型的基础上，对无限维的动力学模型进行了截断。在选取了状态和输出后，建立了柔性机械臂的状态空间表达式，并推导出以驱动力矩为输入、以末端位置弹性振动为输出的柔性机械臂系统传递函数。用劳斯判据判断了系统稳定性，得到了柔性机械臂系统稳定的充要条件，建立了末端位置弹性运动稳定性判据。在稳定判据的基础上，用MATLAB计算和推理，分析研究了末端附加质量和驱动关节转动惯量对末端位置弹性振动稳定性的影响。

1 柔性机械臂的动力学模型

1.1 末端有集中质量的柔性机械臂动力学模型的建立

本节用拉格郎日方程建立了单连杆柔性机械臂的动力学模型。实验和计算所用柔性机械臂的有关参数如下：材质为45钢，全长1009mm，加持长 100mm，悬 伸 长 909mm，宽 48.5mm，厚3.8mm，密度为 7.8×103kg／m3，弹性模量为210GPa。

图1所示的柔性机械臂的末端载有一个集中质量块，即mt≠0。此处柔性机械臂系统的总动能Ek包括电动机转子和夹头的动能Ek1、柔性机械臂本身的动能Ek2、末端集中质量块所携带的动能Ek3，因此有

电动机转子和夹头的动能为

式中，It为驱动关节转动惯量，包括电动机转子和刚性夹头的转动惯量。

图1 末端有集中质量的某单连杆柔性机械臂示意图

柔性机械臂本身的动能为

式中，ρ为机械臂材料密度；A为机械臂横截面面积；l为机械臂的纵向长度；x为机械臂纵向位置变量；w为纵向位置x处在时刻t的弹性变形量，是w（x，t）的简写；θ为t时刻机械臂的刚性转角。

末端集中质量块所携带的动能为

弯曲变形弹性势能为

拉格郎日函数为

考虑到小变形、边界条件及其变化、模态型函数等因素，用假设模态法对拉格郎日函数进行简化，得到

式中，Πi为第i阶振型的广义刚度；γi为积分系数；φi、φj为柔性机械臂弹性运动的第i阶、第j阶模态型函数；qi、qj为柔性机械臂弹性运动的第i阶、第j阶广义模态坐标。

列写拉格朗日方程并化简，得到：

式中，Mi为第i阶振型的广义质量；τ为力矩。

在式（8）、式（9）中加入结构阻尼：

式中，ξi为柔性机械臂第i阶弹性模态结构阻尼；ωi为第i阶模态固有频率。

写成矩阵形式：

1.2 模态截断技术与模型降阶

利用文献［4］中介绍的模型降阶方法，根据本例的实际情况，取二阶弹性模态，得到末端有集中质量的平面单连杆柔性机械臂动力学模型，形如式（12），其中的变量变为

驱动关节转动惯量It＝0.3664kg·m2，材料密度与截面积的乘积ρA＝1.4375kg／m，柔性臂的长度l＝0.909m，弹性模量E＝210GPa，截面惯性矩I＝2.22×10－10m3，取末端质量mt＝2kg，得到式（12）中的矩阵M、R、K：

惯量矩阵M中每个元素的单位是kg·m2；阻尼矩阵R中每个元素的单位是N·s／m，刚度矩阵K中每个元素的单位是N／m。

2 状态空间表达式与传递函数

2.1 状态空间表达式

选取状态变量：

取末端位置弹性振动为输出，即取y＝w（l，t）＝φ1（l）q1（t）＋φ2（l）q2（t）为输出。得到如下状态空间表达式：

2.2 传递函数

以柔性机械臂关节驱动力矩u为输入，以末端位置弹性振动y为输出，用MATLAB的Control Toolbox中的控制模型转换函数，编写简单的程序就可得到如下传递函数：

用MATLAB绘出如图2、图3所示的阶跃响应曲线。对比图2、图3可知，增加末端附加质量使末端弹性运动的稳定性降低。

图2 有末端附加质量时的末端位置阶跃响应

图3 无末端附加质量时的末端位置阶跃响应

3 末端质量变化对末端振动的影响

从计算的结果来看（与无末端附加质量的情形对比），末端集中质量的存在使柔性机械臂弹性振动的稳定性变差，并有可能使使之失稳。上面的计算是以末端质量取2kg得到的，据此有理由相信，应该存在一个使柔性机械臂弹性运动稳定的最大末端位置质量，超过该质量便会失稳，可是如何得到这个临界质量呢？下面对此进行探讨。

探讨的总体思路是：要得到系统失稳的临界质量，首先要得到系统稳定的判别式（判别式包含末端位置附加质量的表达式），然后通过解析或计算的方法分析末端位置附加质量对稳定性的影响。所以，分析的具体步骤是：①进行符号运算，得到包含末端附加质量的状态空间表达式；②将该状态空间表达式转换为传递函数表达式；③构造劳斯表；④根据劳斯判据得到输入输出稳定的充要条件（稳定判别式）；⑤由判别式分析计算末端位置附加质量对系统稳定性的影响，得到临界稳定质量（保证末端位置弹性振动稳定的最大末端位置质量）。在该阶段的分析中，假定驱动关节转动惯量Id保持不变。

3.1 状态空间表达式

选取状态变量：

控制输入：

输出变量：

得到状态空间表达式：

用MATLAB符号推理功能，得到A、B中的各个元素：

3.2 推求传递函数的符号表达式

借助MATLAB的符号推理功能得到传递函数的符号表达式：

将传递函数的分母（决定系统稳定性的系统的特征多项式）进一步改写为

3.3 构造劳斯表

按照劳斯判据，构造劳斯表（表1）。

表1 劳斯表

3.4 根据劳斯判据得到输入输出稳定的充要条件

经过仔细分析得到了保证以驱动力矩为输入、以末端位置弹性振动为输出的柔性臂控制系统输入输出稳定的充要条件。

稳定性准则1：

稳定性准则2：

3.5 末端位置附加质量对系统稳定性的影响

分析计算方法思路：借助MATLAB，令末端质量mt从0开始以一定步长不断增加直至上限，在此过程中不断计算参数ki、ωi、φi、Mi、Πi、γi，判断式（18）、式（19）是否成立。若成立，则继续循环，否则停止运算，记下此时的mt，此值即是mt的稳定上限，超过此值系统将变得不稳定。程序如4所示。

运行结果如下：

（1）柔性机械臂存在末端附加质量时，特征值、固有频率、型函数发生变化，模态质量、模态刚度也相应发生变化。

图4 用MATLAB计算流程图

（2）mt≠0情况下，mt对特征值、固有频率、型函数、模态刚度没有影响，但对模态质量有影响，即mt对特征值ki、模态固有频率ωi、模态型函数φi、模态刚度系数γi及模态刚度Πi没有影响，但对模态质量Mi有影响。这一点非常重要。

（3）存在一个末端质量区域，使柔性机械臂在该区域内输入输出稳定。

（4）第一个条件（式（18））不一定满足，第二个条件（式（19））总满足。

（5）驱动电动机的转子及夹头处的总的转动惯量对输入输出稳定性有较大的影响。这个惯量越大，稳定的区域越大。图5～图8中的驱动关节转动惯量It分别为0.3664kg·m2、0.5kg·m2、1kg·m2、1.5kg·m2。

图5 稳定性随末端质量的变化（It＝0.3664kg·m2）

图6 稳定性随末端质量的变化（It＝0.5kg·m2）

3.6 转动惯量变化对末端位置弹性振动的影响

由图5～图8可知，驱动关节转动惯量It为0.3664kg·m2、0.5kg·m2、1kg·m2、1.5kg·m2时，对应末端位置弹性振动稳定的末端附加质量上限分别约为0.1kg、0.1kg、0.5kg、0.9kg。可见，驱动关节转动惯量越大，末端位置弹性振动稳定的末端附加质量上限越高。

图7 稳定性随末端质量的变化（It＝1.0kg·m2）

图8 稳定性随末端质量的变化（It＝1.5kg·m2）

4 结论

（1）柔性机械臂的末端附加质量对其末端位置弹性振动是有影响的。

（2）末端附加质量的大小对特征值、固有频率、型函数、模态刚度没有影响，对模态质量有影响。

（3）末端附加质量存在一个上限，超过这个上限，柔性机械臂末端位置弹性振动将会失稳。该上限与该机械臂的驱动关节的转动惯量有关。转动惯量越大，末端附加质量的上限越高。

（4）上述驱动关节转动惯量和末端位置附加质量可以通过建立柔性机械臂末端位置弹性运动稳定性判据来计算。

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