透过现象看本质

著名数学家G·波利亚认为：掌握数学就意味着善于解题. 如何提高我们的解题能力？这是我们所期待的. 正确解题的关键是要善于挖掘和灵活处置问题中的隐含条件，我们在平时的学习中应有意识地培养这种“透过现象发现本质”，挖掘隐含条件的能力，这样才能提高解题的正确率.

在高一的一次联考试卷中笔者出了这样的一道题：

如图1所示，在等边△ABC中，AB=a，O为三角形的中心，过O的直线交AB于M，交AC于N，（1）设■=m■，■=n■，求■+■的值；

（2）求■+■的最大值和最小值.

■

图1

因为开学初到月考时间不长，所学内容只有“平面向量”和“解三角形”，而且又作为考试的最后一题，本来原题是只求第（2）问中■+■的最大值和最小值. 考虑到很多同学没有思路，可能得分很低，甚至不能得分，所以添了第（1）问“求■+■的值”. 因为前不久的例题中刚出现过这样的一道题：“经过△OAB的重心G的直线l与OA，OB两边分别交于P，Q两点，设■=m■，■=n■，则■+■=_________.”

这样的话笔者想，第（1）问应该没问题，基本上都能得到正确答案.

出乎意料的是，第（1）问的得分依然不高，更甚至有同学连答案都写不出，第（2）问更离谱，很少有学生能解出正确答案来. 主要差错是解第（1）问时，想不到“正三角形的中心也是它的重心，而且如图1所示的O为三角形的中心，则■=■（■+■）”，抓不住问题的本质；第（2）问很多同学试图利用（1）中的结论，从向量出发，先求出■+■，再来求最值. 实际上对于第（2）问，很多同学不会化简变形■+■的表达式，即使稍作化简的也不能求出最值. 当然，对于这样的两问放在同一个题目中是否合适确实也值得商榷. 跳开这一点，从同学们的答题情况来分析，大多数同学都受思维定式的影响：解综合题时上一问的结论对下一问一定是有用的. 实际上，本题中的（1）（2）问之间的联系不大，用（1）问中■+■=3去解第（2）问会使运算烦琐，并且技巧性很强. 很多同学都是这样来解的：■2=（■-■）2=（m■-■）2=m2■2-2m■·■+■2=m2a2-2ma×■a×■+■=m2-m+■a2.

同理可得：

■2=（■-■）2=（n■-■）2=n2■2-2n■·■+■2=n2-n+■a2，所以■+■=■■+■（？鄢）.

接下来就不知道怎么做或取几个特殊值找出大概的特殊值，因此出现了一部分过程错或根本没有过程但答案正确的情况. 受第（1）问的影响，利用向量能解出答案吗？其实用上第（1）问中的■+■=3，代入上述表达式进行化简变形，也可以继续解下去.

解：因为■+■=3，所以m+n=3mn，对上述（？鄢）式通分，分子为m2-m+■+n2-n+■=m2+n2-m-n+■=（m+n）2-2mn-（m+n）+■=9（mn）2-2mn-3mn+■=9（mn）2-5mn+■=mn-■（9mn-2）.

分母为：m2-m+■·n2-n+■=m2n2-m2n+■-mn2+mn-■+■-■+■=（mn）2-mn（m+n）+■+mn-■+■=（mn）2-3（mn）2+■+■=（mn）2-■mn+■=mn-■■，所以可得■+■=■·■+■=■×■=■×■=■×■=■×■=■·1+■=■+■. 因为■+■=3，所以m+n=3mn，所以（3n-1）m=n？圯m=■，所以mn=■=■=■. 因为■≤n≤1，所以1≤■≤2，结合二次函数图象可得：当■=1或2，即n=1或■时，（mn）max=■，从而■+■min=■+■×2=■；当■=■，即n=■时，（mn）min=■，从而■+■max=■+■=■.

第（2）问从向量角度考虑明显复杂，但只要有扎实的基本功，耐心地算下去也能得出正确解答. 其实再回头来考虑第（2）问，要求“■+■的最大、最小值”，首先把■+■的表达式写出来，再利用求最值的方法来求解，思路很清晰. 仔细剖析，注意到OM，ON分别在△AOM和△AON中，而且这两个三角形的顶角∠MAO=∠NAO=30°，设∠MOA=α，则∠NOA=180°-α，因此还可以利用正弦定理来解.

在本题中，很多同学没有抓住∠MOA和∠NOA互补这一隐含条件，只局限于向量方法，给解题带来困难. 我们应该如何提高解这种类型的数学题的正确率呢？正确解题的关键是要善于挖掘和灵活处置问题中的隐含条件. 只有对相关的数学概念、符号、关系式的意义及有关知识的纵横联系做到心中有数、熟练掌握、灵活运用，才能不被表象迷惑，才能抓住题目的本质，全面理解所给数学材料，正确解题.

■从概念特征挖掘隐含条件

很多数学概念本身就有其特殊性，譬如：数列是定义在正整数集或它的有限子集上的一种特殊函数；三角函数中的正、余弦的有界性：-1≤sinα≤1，-1≤cosα≤1；向量中特殊的零向量；集合问题中经常会涉及空集……限于篇幅，这里取三个例题示意.

1. 数列定义域的特殊性

例1 已知an=n2+λn，且数列{an}是单调递增的，则实数λ的取值范围是________.

很多同学会这样解：an=n2+λn=n+■■-■，要使{an}是单调递增的，所以对称轴-■≤1，从而λ≥-2. 其实本题中隐含着n∈N*，数列是一种特殊的函数，它的定义域是正整数集或它的有限子集，图象由一些孤立点组成，因此只需-■<■，从而正确答案是λ>-3. 当然本题还可以从条件“{an}是单调递增数列”出发来解.

另解：因{an}是单调递增数列，所以an+1>an对？坌n∈N*恒成立？圯（n+1）2+λ（n+1）>n2+λn？圯λ>（-2n-1）max？圯λ>-3.

2. 圆锥曲线的统一定义endprint

例2 方程■=x+y-2表示的曲线是___________.

本题若通过化简方程，与常见的曲线方程进行比较，得出曲线形状，运算量大，结果也并不直观. 应跳出定式思维，注意方程的特点，观察特征，联系到圆锥曲线的统一定义. 方程可变形为：

■=■，即平面上点P（x，y）到点（-1，-1）的距离与到直线x+y-2=0的距离之比为■，由圆锥曲线的统一定义可知，该方程表示的曲线为双曲线.

3. 三角函数的有界性：-1≤sinα≤1，-1≤cosα≤1

例3 已知sinx+siny=■，求t=sinx-cos2y的最值.

错解：由已知条件可得：sinx=■-siny，所以t=sinx-cos2y=■-siny-cos2y=■-siny-（1-sin2y）=sin2y-siny-■=siny-■■-■. 又-1≤siny≤1，所以当siny=■时，t的最小值为-■；当siny=-1时，t的最大值为■.

很多同学在解本题时只关注了 -1≤siny≤1，忽略sinx+siny=■这一隐含条件，事实上，-1≤siny≤1，-1≤■-siny≤1？圯-■≤siny≤1，因此，当siny=■时，t的最小值为-■；当siny=-■时，t的最大值为■.

■从题目条件挖掘隐含条件

1. 思维严密，判断完整

例4 在△ABC中，已知2a=b+c，sin2A=sinBsinC，则△ABC的形状为____.

结合正弦定理可得：a2=bc，所以4a2=（b+c）2=4bc？圯（b-c）2=0？圯b=c，看似答案是“等腰三角形”，实际上再代入到2a=b+c中，进一步可得a=b=c，所以正确答案是“等边三角形”. 因此要挖掘条件，用好、用透题中已知条件，判断完整.

2. 用好“递进式”问题间的关系

例5 在△ABC中，已知■·■=3■·■.

（1）求证：tanB=3tanA；

（2）若cosC=■，求A的值.

这道题目的第（1）问同学们能很顺利地解出来，设△ABC的三边长分别为a，b，c，则有cbcosA=3cacosB，结合正弦定理得：sinBcosA=3sinAcosB，所以tanB=3tanA. 第（2）问很多同学根据以往解题经验认为解三角形问题应该要用到正弦、余弦定理，虽然能解，但需要经过多次边角互化，浪费很多时间，也不一定能得出正确答案. 这是2012年江苏高考数学的第15题，考试中就有很多同学没能解出正确结果，解答题的第一题做得这么棘手，也影响了整场考试的发挥. 其实这道题目的设置是“递进式”设问，如能注意发现第（1）问中tanB=3tanA的关系，结合第（2）问中cosC=■，可以求出tanC=2，然后利用三角形中三个内角和为180°，结合诱导公式可得：tan（A+B）=-2，即■=-2. 又tanB=3tanA，代入前式得：■=-2，所以tanA=1或tanA=-■. 由tanB=3tanA>0可得A∈0，■，所以tanA=1.

注：很多解答题一般以多个设问形式给出，起点低，有梯度，对于这类“递进式”设问、难度逐渐增大的题目，在解题时我们要摆脱定式思维，充分挖掘隐含信息，注意上一问对下一问的暗示，我们可以通过前一个设问的铺垫和提示确定下一个问题的解题方向.

■从解题答案挖掘隐含条件

例6 在等比数列{an}中，S2=7，S6=91，则S4=________.

在等比数列中，若Sn≠0，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…依次成等比数列，因此可以设S4=x，则7，x-7，91-x成等比，所以（x-7）2=7（91-x）？圯x2-7x-28×21=0？圯x=28或-21，所以S4=28或-21. 此时不禁要问：两解都符合要求吗？事实上，本题中S4=（a1+a2）+（a3+a4）=S2+S2×q2=S2·（1+q2）>0，所以S4=28.

因此，当答案中出现两解时我们要谨慎，注意是否有增根，要舍去其中的解的话一定要找到舍去理由，因为有的题目确实有两解. 如：“在△ABC中，若b=2asinB，则∠A=________.” 利用正弦定理：■=■？圯sinA=■，所以∠A=30°或150°. 本题确实有两解.

当然也会存在解出两解，其中一解不太容易舍去的情况. 比如：

例7 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，已知a+c=10，C=2A，cosA=■.

（1）求■的值；（2）求b的值.

解：（1）由正弦定理可得：■=■=■？圯■=2cosA=■.

（2）由（1）得■=■，a+c=10？圯a=4，c=6. 因为a2=b2+c2-2bccosA，所以16=b2+36-2b×6×■？圯b2-9b+20=0？圯b=4或5.

看上去解答很完美，也比较简略. 事实上，把b=4代入已知条件发现此时a=b，C=A+B. 又C=2A，所以C=■，A=B=■，这与已知cosA=■产生矛盾. 所以b=5.

所谓“隐含条件”是指隐含在文字叙述中，需要认真分析才能挖掘出来的条件. 现在高考命题总是从一个具体的角度切入并与教材知识点有机结合，将所考查的知识点巧妙地隐藏在所设置的情景中，考查我们是否具备一种去粗取精、去伪存真、由表及里的提炼加工能力. 因此，解题时要能做到“透过现象看本质”，把隐含条件分析挖掘出来，这常常是解题的关键.

著名数学家G·波利亚认为：掌握数学就意味着善于解题，不仅要掌握标准题的解法，还要善于独立思考，并通过自我探索寻找解题途径.

“透过现象抓住本质”，注意挖掘题目中的隐含条件，巧妙进行变形，既能加快解题速度，又可避免不必要的错误. 总之，我们解题能力的提高，不是一朝一夕能做到的，若能牢牢树立“只看书不做题不行，埋头做题不总结积累不行”的思想，对待数学题要既能钻进去，又要能跳出来，坚持有目的、有计划地进行训练，这样做可以使我们的解题能力得到发展和提高！■endprint

例2 方程■=x+y-2表示的曲线是___________.

本题若通过化简方程，与常见的曲线方程进行比较，得出曲线形状，运算量大，结果也并不直观. 应跳出定式思维，注意方程的特点，观察特征，联系到圆锥曲线的统一定义. 方程可变形为：

■=■，即平面上点P（x，y）到点（-1，-1）的距离与到直线x+y-2=0的距离之比为■，由圆锥曲线的统一定义可知，该方程表示的曲线为双曲线.

3. 三角函数的有界性：-1≤sinα≤1，-1≤cosα≤1

例3 已知sinx+siny=■，求t=sinx-cos2y的最值.

错解：由已知条件可得：sinx=■-siny，所以t=sinx-cos2y=■-siny-cos2y=■-siny-（1-sin2y）=sin2y-siny-■=siny-■■-■. 又-1≤siny≤1，所以当siny=■时，t的最小值为-■；当siny=-1时，t的最大值为■.

很多同学在解本题时只关注了 -1≤siny≤1，忽略sinx+siny=■这一隐含条件，事实上，-1≤siny≤1，-1≤■-siny≤1？圯-■≤siny≤1，因此，当siny=■时，t的最小值为-■；当siny=-■时，t的最大值为■.

■从题目条件挖掘隐含条件

1. 思维严密，判断完整

例4 在△ABC中，已知2a=b+c，sin2A=sinBsinC，则△ABC的形状为____.

结合正弦定理可得：a2=bc，所以4a2=（b+c）2=4bc？圯（b-c）2=0？圯b=c，看似答案是“等腰三角形”，实际上再代入到2a=b+c中，进一步可得a=b=c，所以正确答案是“等边三角形”. 因此要挖掘条件，用好、用透题中已知条件，判断完整.

2. 用好“递进式”问题间的关系

例5 在△ABC中，已知■·■=3■·■.

（1）求证：tanB=3tanA；

（2）若cosC=■，求A的值.

这道题目的第（1）问同学们能很顺利地解出来，设△ABC的三边长分别为a，b，c，则有cbcosA=3cacosB，结合正弦定理得：sinBcosA=3sinAcosB，所以tanB=3tanA. 第（2）问很多同学根据以往解题经验认为解三角形问题应该要用到正弦、余弦定理，虽然能解，但需要经过多次边角互化，浪费很多时间，也不一定能得出正确答案. 这是2012年江苏高考数学的第15题，考试中就有很多同学没能解出正确结果，解答题的第一题做得这么棘手，也影响了整场考试的发挥. 其实这道题目的设置是“递进式”设问，如能注意发现第（1）问中tanB=3tanA的关系，结合第（2）问中cosC=■，可以求出tanC=2，然后利用三角形中三个内角和为180°，结合诱导公式可得：tan（A+B）=-2，即■=-2. 又tanB=3tanA，代入前式得：■=-2，所以tanA=1或tanA=-■. 由tanB=3tanA>0可得A∈0，■，所以tanA=1.

注：很多解答题一般以多个设问形式给出，起点低，有梯度，对于这类“递进式”设问、难度逐渐增大的题目，在解题时我们要摆脱定式思维，充分挖掘隐含信息，注意上一问对下一问的暗示，我们可以通过前一个设问的铺垫和提示确定下一个问题的解题方向.

■从解题答案挖掘隐含条件

例6 在等比数列{an}中，S2=7，S6=91，则S4=________.

在等比数列中，若Sn≠0，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…依次成等比数列，因此可以设S4=x，则7，x-7，91-x成等比，所以（x-7）2=7（91-x）？圯x2-7x-28×21=0？圯x=28或-21，所以S4=28或-21. 此时不禁要问：两解都符合要求吗？事实上，本题中S4=（a1+a2）+（a3+a4）=S2+S2×q2=S2·（1+q2）>0，所以S4=28.

因此，当答案中出现两解时我们要谨慎，注意是否有增根，要舍去其中的解的话一定要找到舍去理由，因为有的题目确实有两解. 如：“在△ABC中，若b=2asinB，则∠A=________.” 利用正弦定理：■=■？圯sinA=■，所以∠A=30°或150°. 本题确实有两解.

当然也会存在解出两解，其中一解不太容易舍去的情况. 比如：

例7 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，已知a+c=10，C=2A，cosA=■.

（1）求■的值；（2）求b的值.

解：（1）由正弦定理可得：■=■=■？圯■=2cosA=■.

（2）由（1）得■=■，a+c=10？圯a=4，c=6. 因为a2=b2+c2-2bccosA，所以16=b2+36-2b×6×■？圯b2-9b+20=0？圯b=4或5.

看上去解答很完美，也比较简略. 事实上，把b=4代入已知条件发现此时a=b，C=A+B. 又C=2A，所以C=■，A=B=■，这与已知cosA=■产生矛盾. 所以b=5.

所谓“隐含条件”是指隐含在文字叙述中，需要认真分析才能挖掘出来的条件. 现在高考命题总是从一个具体的角度切入并与教材知识点有机结合，将所考查的知识点巧妙地隐藏在所设置的情景中，考查我们是否具备一种去粗取精、去伪存真、由表及里的提炼加工能力. 因此，解题时要能做到“透过现象看本质”，把隐含条件分析挖掘出来，这常常是解题的关键.

著名数学家G·波利亚认为：掌握数学就意味着善于解题，不仅要掌握标准题的解法，还要善于独立思考，并通过自我探索寻找解题途径.

“透过现象抓住本质”，注意挖掘题目中的隐含条件，巧妙进行变形，既能加快解题速度，又可避免不必要的错误. 总之，我们解题能力的提高，不是一朝一夕能做到的，若能牢牢树立“只看书不做题不行，埋头做题不总结积累不行”的思想，对待数学题要既能钻进去，又要能跳出来，坚持有目的、有计划地进行训练，这样做可以使我们的解题能力得到发展和提高！■endprint

例2 方程■=x+y-2表示的曲线是___________.

本题若通过化简方程，与常见的曲线方程进行比较，得出曲线形状，运算量大，结果也并不直观. 应跳出定式思维，注意方程的特点，观察特征，联系到圆锥曲线的统一定义. 方程可变形为：

■=■，即平面上点P（x，y）到点（-1，-1）的距离与到直线x+y-2=0的距离之比为■，由圆锥曲线的统一定义可知，该方程表示的曲线为双曲线.

3. 三角函数的有界性：-1≤sinα≤1，-1≤cosα≤1

例3 已知sinx+siny=■，求t=sinx-cos2y的最值.

错解：由已知条件可得：sinx=■-siny，所以t=sinx-cos2y=■-siny-cos2y=■-siny-（1-sin2y）=sin2y-siny-■=siny-■■-■. 又-1≤siny≤1，所以当siny=■时，t的最小值为-■；当siny=-1时，t的最大值为■.

很多同学在解本题时只关注了 -1≤siny≤1，忽略sinx+siny=■这一隐含条件，事实上，-1≤siny≤1，-1≤■-siny≤1？圯-■≤siny≤1，因此，当siny=■时，t的最小值为-■；当siny=-■时，t的最大值为■.

■从题目条件挖掘隐含条件

1. 思维严密，判断完整

例4 在△ABC中，已知2a=b+c，sin2A=sinBsinC，则△ABC的形状为____.

结合正弦定理可得：a2=bc，所以4a2=（b+c）2=4bc？圯（b-c）2=0？圯b=c，看似答案是“等腰三角形”，实际上再代入到2a=b+c中，进一步可得a=b=c，所以正确答案是“等边三角形”. 因此要挖掘条件，用好、用透题中已知条件，判断完整.

2. 用好“递进式”问题间的关系

例5 在△ABC中，已知■·■=3■·■.

（1）求证：tanB=3tanA；

（2）若cosC=■，求A的值.

这道题目的第（1）问同学们能很顺利地解出来，设△ABC的三边长分别为a，b，c，则有cbcosA=3cacosB，结合正弦定理得：sinBcosA=3sinAcosB，所以tanB=3tanA. 第（2）问很多同学根据以往解题经验认为解三角形问题应该要用到正弦、余弦定理，虽然能解，但需要经过多次边角互化，浪费很多时间，也不一定能得出正确答案. 这是2012年江苏高考数学的第15题，考试中就有很多同学没能解出正确结果，解答题的第一题做得这么棘手，也影响了整场考试的发挥. 其实这道题目的设置是“递进式”设问，如能注意发现第（1）问中tanB=3tanA的关系，结合第（2）问中cosC=■，可以求出tanC=2，然后利用三角形中三个内角和为180°，结合诱导公式可得：tan（A+B）=-2，即■=-2. 又tanB=3tanA，代入前式得：■=-2，所以tanA=1或tanA=-■. 由tanB=3tanA>0可得A∈0，■，所以tanA=1.

注：很多解答题一般以多个设问形式给出，起点低，有梯度，对于这类“递进式”设问、难度逐渐增大的题目，在解题时我们要摆脱定式思维，充分挖掘隐含信息，注意上一问对下一问的暗示，我们可以通过前一个设问的铺垫和提示确定下一个问题的解题方向.

■从解题答案挖掘隐含条件

例6 在等比数列{an}中，S2=7，S6=91，则S4=________.

在等比数列中，若Sn≠0，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…依次成等比数列，因此可以设S4=x，则7，x-7，91-x成等比，所以（x-7）2=7（91-x）？圯x2-7x-28×21=0？圯x=28或-21，所以S4=28或-21. 此时不禁要问：两解都符合要求吗？事实上，本题中S4=（a1+a2）+（a3+a4）=S2+S2×q2=S2·（1+q2）>0，所以S4=28.

因此，当答案中出现两解时我们要谨慎，注意是否有增根，要舍去其中的解的话一定要找到舍去理由，因为有的题目确实有两解. 如：“在△ABC中，若b=2asinB，则∠A=________.” 利用正弦定理：■=■？圯sinA=■，所以∠A=30°或150°. 本题确实有两解.

当然也会存在解出两解，其中一解不太容易舍去的情况. 比如：

例7 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，已知a+c=10，C=2A，cosA=■.

（1）求■的值；（2）求b的值.

解：（1）由正弦定理可得：■=■=■？圯■=2cosA=■.

（2）由（1）得■=■，a+c=10？圯a=4，c=6. 因为a2=b2+c2-2bccosA，所以16=b2+36-2b×6×■？圯b2-9b+20=0？圯b=4或5.

看上去解答很完美，也比较简略. 事实上，把b=4代入已知条件发现此时a=b，C=A+B. 又C=2A，所以C=■，A=B=■，这与已知cosA=■产生矛盾. 所以b=5.

所谓“隐含条件”是指隐含在文字叙述中，需要认真分析才能挖掘出来的条件. 现在高考命题总是从一个具体的角度切入并与教材知识点有机结合，将所考查的知识点巧妙地隐藏在所设置的情景中，考查我们是否具备一种去粗取精、去伪存真、由表及里的提炼加工能力. 因此，解题时要能做到“透过现象看本质”，把隐含条件分析挖掘出来，这常常是解题的关键.

著名数学家G·波利亚认为：掌握数学就意味着善于解题，不仅要掌握标准题的解法，还要善于独立思考，并通过自我探索寻找解题途径.

“透过现象抓住本质”，注意挖掘题目中的隐含条件，巧妙进行变形，既能加快解题速度，又可避免不必要的错误. 总之，我们解题能力的提高，不是一朝一夕能做到的，若能牢牢树立“只看书不做题不行，埋头做题不总结积累不行”的思想，对待数学题要既能钻进去，又要能跳出来，坚持有目的、有计划地进行训练，这样做可以使我们的解题能力得到发展和提高！■endprint