探寻数学解题之“路”

解数学题不仅能提高我们的解题能力，重要的是通过解题的探路过程，让我们获得数学思维方法，领悟数学中育人的文化内涵.

题目：a，b，c分别是△ABC三内角A，B，C的对边，且满足5（a2-b2）=3c2，求■的值.

解题最容易想到的方法就是最熟悉的思路. 本题已知条件是三角形的三边关系，结论所要求的是A，B的正切值的比值.我们最熟悉的思路，是利用余弦定理或正弦定理将条件中的边关系转化为角关系.

熟路 由正弦定理将5（a2-b2）=3c2转化为5sin2A-5sin2B=3sin2C，即5sin2A-5sin2B=3sin2Acos2B+6sinA·cosBsinBcosA+3sin2Bcos2A？摇①.

断路 sin2A（5-3cos2B）-sin2B·（5+3cos2A）=6sinAcosBsinBcosA.

问路 此路为什么不通？是否走错了方向？其原因在哪？等式的左边很难继续变形，且左边与右边差异性变大. 这表明移项化简时缺少全局眼光，没有考虑到各项之间的关系和所求的目标.

修路 由结论■=■知需要将条件转化为含有sinAcosB和sinBcosA的因式，即通过适当的变换将5sin2A，5sin2B转化为与3sin2A·cos2B，3sin2Bcos2A有关的项. 我们不难得5sin2A=5sin2A（sin2B+cos2B），5sin2B=5sin2B（sin2A+cos2A）.

①式可化为5sin2A（sin2B+cos2B）-5sin2B（sin2A+cos2A）=3sin2Acos2B+6sinAcosBsinBcosA+3sin2Bcos2A，即可得sin2Acos2B-3sinAcosBsinBcosA-4sin2Bcos2A=0，（sinAcosB-4sinBcosA）·（sinAcosB+sinBcosA）=0. 又因为tanA+tanB≠0，所以sinAcosB-4sinBcosA=0，即■=4.

熟路 由余弦定理c2=a2+b2-2ab·cosA得5a2-5b2=3a2+3b2-6abcosC，

即2a2-8b2=-6abcosC ②.

回路？摇 一些同学再用余弦定理2abcosC=a2+b2-c2代入②式得5（a2-b2）=3c2重回条件. 余弦定理不行，能否用改用正弦定理？

改路 由正弦定理得2sin2A-8sin2B=6sinAsinB（cosAcosB-sinAsinB）.

断路 2sin2A-8sin2B+6sin2Asin2B=6sinAsinBcosAcosB（以下变形类似①式，略）.

问路 为什么用余弦定理还是这样烦琐？此路真的这样难走吗？余弦定理用好了吗？条件中等式特征发挥作用了吗？

修路 若用a2=b2+c2-2bccosA，则■c=c-2bcosA，c=5bcosA.

根据正弦定理得sinC=5sinBcosA，即sinAcosB+sinBcosA=5sinBcosA，所以■=4.

改路 由于bcosA是AC在AB上的投影，此题能否利用几何法进行处理？

在△ABC中，作CD⊥AB，垂足为D，由c=5bcosA得4AD=DB，则■=4.

新路 此题能否直接从条件出发用几何法进行解决？

设CD为AB边上的高，记CD=h，AD=x，DB=y，则a2-b2=y2-x2，

5（y2-x2）=3（x+y）2，即5y-5x=3x+3y，y=4x，■=■=4.

新路 以上各思路都是从条件出发，将边关系转化为角关系，通过变形化简求出结论. 此题能否从结论出发，将角关系转化为边关系？

■=■=■=■=■=4.

此路需要逆向思维，虽然此路我们不习惯，但确实是一个行之有效的方法.

领悟 多数人解题喜欢走熟路.面对“新”题，由于题目的条件和情境发生了变化，过去的熟路，现在可能成为生路，或对此路感到不习惯了. 那就需要对老路进行修理或改路，然后再上路，甚至重开新路. 不然的话，最终只能“无”路可走. 解数学题是这样，人生之路也不就是如此吗？我们学数学，学会解题是必需的，更重要的是要通过学习，提高我们的思维能力，让我们走进数学，让数学走进生活. ■endprint

解数学题不仅能提高我们的解题能力，重要的是通过解题的探路过程，让我们获得数学思维方法，领悟数学中育人的文化内涵.

题目：a，b，c分别是△ABC三内角A，B，C的对边，且满足5（a2-b2）=3c2，求■的值.

解题最容易想到的方法就是最熟悉的思路. 本题已知条件是三角形的三边关系，结论所要求的是A，B的正切值的比值.我们最熟悉的思路，是利用余弦定理或正弦定理将条件中的边关系转化为角关系.

熟路 由正弦定理将5（a2-b2）=3c2转化为5sin2A-5sin2B=3sin2C，即5sin2A-5sin2B=3sin2Acos2B+6sinA·cosBsinBcosA+3sin2Bcos2A？摇①.

断路 sin2A（5-3cos2B）-sin2B·（5+3cos2A）=6sinAcosBsinBcosA.

问路 此路为什么不通？是否走错了方向？其原因在哪？等式的左边很难继续变形，且左边与右边差异性变大. 这表明移项化简时缺少全局眼光，没有考虑到各项之间的关系和所求的目标.

修路 由结论■=■知需要将条件转化为含有sinAcosB和sinBcosA的因式，即通过适当的变换将5sin2A，5sin2B转化为与3sin2A·cos2B，3sin2Bcos2A有关的项. 我们不难得5sin2A=5sin2A（sin2B+cos2B），5sin2B=5sin2B（sin2A+cos2A）.

①式可化为5sin2A（sin2B+cos2B）-5sin2B（sin2A+cos2A）=3sin2Acos2B+6sinAcosBsinBcosA+3sin2Bcos2A，即可得sin2Acos2B-3sinAcosBsinBcosA-4sin2Bcos2A=0，（sinAcosB-4sinBcosA）·（sinAcosB+sinBcosA）=0. 又因为tanA+tanB≠0，所以sinAcosB-4sinBcosA=0，即■=4.

熟路 由余弦定理c2=a2+b2-2ab·cosA得5a2-5b2=3a2+3b2-6abcosC，

即2a2-8b2=-6abcosC ②.

回路？摇 一些同学再用余弦定理2abcosC=a2+b2-c2代入②式得5（a2-b2）=3c2重回条件. 余弦定理不行，能否用改用正弦定理？

改路 由正弦定理得2sin2A-8sin2B=6sinAsinB（cosAcosB-sinAsinB）.

断路 2sin2A-8sin2B+6sin2Asin2B=6sinAsinBcosAcosB（以下变形类似①式，略）.

问路 为什么用余弦定理还是这样烦琐？此路真的这样难走吗？余弦定理用好了吗？条件中等式特征发挥作用了吗？

修路 若用a2=b2+c2-2bccosA，则■c=c-2bcosA，c=5bcosA.

根据正弦定理得sinC=5sinBcosA，即sinAcosB+sinBcosA=5sinBcosA，所以■=4.

改路 由于bcosA是AC在AB上的投影，此题能否利用几何法进行处理？

在△ABC中，作CD⊥AB，垂足为D，由c=5bcosA得4AD=DB，则■=4.

新路 此题能否直接从条件出发用几何法进行解决？

设CD为AB边上的高，记CD=h，AD=x，DB=y，则a2-b2=y2-x2，

5（y2-x2）=3（x+y）2，即5y-5x=3x+3y，y=4x，■=■=4.

新路 以上各思路都是从条件出发，将边关系转化为角关系，通过变形化简求出结论. 此题能否从结论出发，将角关系转化为边关系？

■=■=■=■=■=4.

此路需要逆向思维，虽然此路我们不习惯，但确实是一个行之有效的方法.

领悟 多数人解题喜欢走熟路.面对“新”题，由于题目的条件和情境发生了变化，过去的熟路，现在可能成为生路，或对此路感到不习惯了. 那就需要对老路进行修理或改路，然后再上路，甚至重开新路. 不然的话，最终只能“无”路可走. 解数学题是这样，人生之路也不就是如此吗？我们学数学，学会解题是必需的，更重要的是要通过学习，提高我们的思维能力，让我们走进数学，让数学走进生活. ■endprint

解数学题不仅能提高我们的解题能力，重要的是通过解题的探路过程，让我们获得数学思维方法，领悟数学中育人的文化内涵.

题目：a，b，c分别是△ABC三内角A，B，C的对边，且满足5（a2-b2）=3c2，求■的值.

解题最容易想到的方法就是最熟悉的思路. 本题已知条件是三角形的三边关系，结论所要求的是A，B的正切值的比值.我们最熟悉的思路，是利用余弦定理或正弦定理将条件中的边关系转化为角关系.

熟路 由正弦定理将5（a2-b2）=3c2转化为5sin2A-5sin2B=3sin2C，即5sin2A-5sin2B=3sin2Acos2B+6sinA·cosBsinBcosA+3sin2Bcos2A？摇①.

断路 sin2A（5-3cos2B）-sin2B·（5+3cos2A）=6sinAcosBsinBcosA.

问路 此路为什么不通？是否走错了方向？其原因在哪？等式的左边很难继续变形，且左边与右边差异性变大. 这表明移项化简时缺少全局眼光，没有考虑到各项之间的关系和所求的目标.

修路 由结论■=■知需要将条件转化为含有sinAcosB和sinBcosA的因式，即通过适当的变换将5sin2A，5sin2B转化为与3sin2A·cos2B，3sin2Bcos2A有关的项. 我们不难得5sin2A=5sin2A（sin2B+cos2B），5sin2B=5sin2B（sin2A+cos2A）.

①式可化为5sin2A（sin2B+cos2B）-5sin2B（sin2A+cos2A）=3sin2Acos2B+6sinAcosBsinBcosA+3sin2Bcos2A，即可得sin2Acos2B-3sinAcosBsinBcosA-4sin2Bcos2A=0，（sinAcosB-4sinBcosA）·（sinAcosB+sinBcosA）=0. 又因为tanA+tanB≠0，所以sinAcosB-4sinBcosA=0，即■=4.

熟路 由余弦定理c2=a2+b2-2ab·cosA得5a2-5b2=3a2+3b2-6abcosC，

即2a2-8b2=-6abcosC ②.

回路？摇 一些同学再用余弦定理2abcosC=a2+b2-c2代入②式得5（a2-b2）=3c2重回条件. 余弦定理不行，能否用改用正弦定理？

改路 由正弦定理得2sin2A-8sin2B=6sinAsinB（cosAcosB-sinAsinB）.

断路 2sin2A-8sin2B+6sin2Asin2B=6sinAsinBcosAcosB（以下变形类似①式，略）.

问路 为什么用余弦定理还是这样烦琐？此路真的这样难走吗？余弦定理用好了吗？条件中等式特征发挥作用了吗？

修路 若用a2=b2+c2-2bccosA，则■c=c-2bcosA，c=5bcosA.

根据正弦定理得sinC=5sinBcosA，即sinAcosB+sinBcosA=5sinBcosA，所以■=4.

改路 由于bcosA是AC在AB上的投影，此题能否利用几何法进行处理？

在△ABC中，作CD⊥AB，垂足为D，由c=5bcosA得4AD=DB，则■=4.

新路 此题能否直接从条件出发用几何法进行解决？

设CD为AB边上的高，记CD=h，AD=x，DB=y，则a2-b2=y2-x2，

5（y2-x2）=3（x+y）2，即5y-5x=3x+3y，y=4x，■=■=4.

新路 以上各思路都是从条件出发，将边关系转化为角关系，通过变形化简求出结论. 此题能否从结论出发，将角关系转化为边关系？

■=■=■=■=■=4.

此路需要逆向思维，虽然此路我们不习惯，但确实是一个行之有效的方法.

领悟 多数人解题喜欢走熟路.面对“新”题，由于题目的条件和情境发生了变化，过去的熟路，现在可能成为生路，或对此路感到不习惯了. 那就需要对老路进行修理或改路，然后再上路，甚至重开新路. 不然的话，最终只能“无”路可走. 解数学题是这样，人生之路也不就是如此吗？我们学数学，学会解题是必需的，更重要的是要通过学习，提高我们的思维能力，让我们走进数学，让数学走进生活. ■endprint