一题多解是学会解题的方便之门

一题多解是直觉思维不断闪现的过程；一题多解也是不断地对解题过程进行反思、比较创新的过程；同时也是感受数学美，发现数学美，创造数学美的过程. 因此，我们认为一题多解是学习解题、欣赏解题的方便之门.

例1-1 在△ABC中，设=a，=b，=c，若a·b=b·c=c·a，判断△ABC的形状.

例1-2 在四边形ABCD中， =a，=b，=c，=d，已知a·b=b·c=c·d=d·a，求证：四边形ABCD是矩形.

研究例1-1的解法.

解法1：因为a+b=-c，所以a2+2a·b+b2=c2. 又因为a·b=b·c，所以a2+2b·c+b2+c2-2c2=0，所以a2+（b+c）2-2c2=0，所以a2+（-a）2-2c2=0，所以a2=c2，即a=c. 同理可得a=b，所以有a=b=c，所以△ABC是等边三角形.

点评：解法1的解答过程是利用已知条件减少变量，并朝三角形边长关系转化的过程.

解法2：因为a+b=-c，所以c2=a2+b2+2a·b，所以a·b=. 同理：b·c=，c·a=. 又因为a·b=b·c=c·a ，所以==，解之得a2=c2，b2=a2，所以a=b=c，所以△ABC是等边三角形.

点评：解法2的思路具有各个击破的显著特点，另外解题过程可跟余弦定理沟通. （如图1）

图1

在△ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2-2a·bcosB=a2+b2+2a·b，所以a·b=.

解法3：（如图2）

图2

由已知得a·b=a·bcos（π-B），b·c=b·ccos（π-C），c·a=c·a·cos（π-A）. 又因为a·b=b·c=c·a，所以 a·bcosB=b·ccosC=c·a·cosA，所以acosB=c·cosC，bcosC=acosA ①.

又因为===2R，所以a=2RsinC，b=2RsinA，c=2RsinB，代入①式得：2RsinCcosB=2RsinBcosC，2RsinAcosC=2RsinCcosA，所以sin（C-B）=0，sin（A-C）=0，所以在△ABC中，C=B=A，△ABC是等边三角形.

点评：（1）解法3从角入手判断三角形形状，整个解题过程是从已知出发不断朝角之间的关系转化的过程；（2）解法1和解法2都是从边入手判断三角形形状，而解法3是从角入手进行判断.

解法4：（如图3）因为a·b=b·c=c·a，所以（a·b）2=（b·c）2=（c·a）2.

图3

所以a2·b2cos2（π-B）=b2·c2·cos2（π-C）=c2·a2cos2（π-A），a2·b2cos2B=b2·c2cos2C=c2·a2cos2A，a2·b2（1-sin2B）=b2·c2（1-sin2C）=c2·a2（1-sin2A），所以a2·b2-a2·b2sin2B=b2·c2-b2·c2sin2C=c2·a2-c2·a2sin2A. 又因为S△ABC=a·bsinB=·b·csinC=c·asinA，所以4S2△ABC=a2·b2sin2B=b2·c2sin2C=c2·a2·sin2A，所以a2·b2=b2·c2=c2·a2，所以a2=b2=c2，所以a=b=c，所以△ABC是等边三角形.

点评：（1）解法4的处理方法具有一定的整体性，整个解题过程显得流畅自然；（2）解法4和三角形面积公式（S△ABC=a·bsinB=b·csinC=c·asinA）相互沟通，相互联系，具有一种奇异美！

解法5：因为a+b+c=0，所以（a+b+c）·b=0，所以a·b+b·c=-b2. 同理可得a·b+c·a=-a2，a·c+b·c=-c2. 又因为a·b=b·c=c·a，所以-a2=-b2=-c2，所以a=b=c.

点评：（1）处理方法具有整体性与相通性，因而缩短了解题长度，使得解题过程十分简洁；（2）巧妙运用m·0=0，使解题过程十分流畅、简约，并有一种奇异之美.

解法6：因为a·b=b·c，所以（a-c）·b=0. 又因为a-c≠0，b≠0，所以（a-c）⊥b. 延长线段CA，使=c，则=a-c，如图4所示，则⊥，

图4

在Rt△EBC中，因为A为CE的中点，所以a=c，同理b=c，故a=b=c.

点评：（1）解法6的根本特点是数形结合，并赋予已知条件一种几何解释；（2）解法6本身也十分自然、流畅、简约！

例1-1解法总评：

（1）全面体现基本方法. 判断三角形形状的通常方法有三类：从边入手，从角入手，从边角同时入手. 例1-1的6种不同解法都可归纳为前两类方法中的某一类.

（2）全面运用基本内容. 判断三角形时经常用到的两个重要定理——正弦定理、余弦定理，以及三角形的面积公式在例1-1的不同解法中都有涉及.从解法1到解法6在“问题解决”的驱动下，使不同的数学知识自然地沟通起来，联系起来！

（3）处理技巧异彩纷呈. 不同的解题方法具有一定的共性的同时，更使我们难以忘怀的是它们在处理技巧上的新颖性和独特性，甚至一定程度的创造性，显示出了不同解法的奇异美. 相信新颖、独特的处理技巧对同学们以后的解题会产生深远而持久的影响.

（4）体现深刻的化归思想. 在例1-1中，几乎所有的解法都是通过以下模式推理的：从a=b，b=c导出a=b=c（或从A=B，B=C导出A=B=C），这体现了一种化归的重要思想. 在证明三点共线，或三线共点等问题时经常要用到这种重要思想.

下面继续研究例1-2的解法.

解法1：因为a+b+c+d=0，所以a+b=-（c+d），所以a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2. 又因为a·b=c·d，所以a2+b2=c2+d2，同理：a2+d2=b2+c2. 所以d2=b2，即b=d，同理：a=c. 所以四边形ABCD是平行四边形. 又因为2=（a+b）2=a2+2a·b+b2=c2+b2+2b·c=（c+b）2=2，所以=，所以四边形ABCD是矩形.endprint

解法2：首先用解法1的方法证得四边形ABCD是平行四边形. 因为a·b=b·c，所以（a-c）·b=0. 又因为a-c≠0，b≠0，所以a-c⊥b. 又因为a，c共线，所以a⊥b，所以四边形ABCD是矩形.

点评：解法2受到例1-1解法6的启发，但根据解题需要，解题过程又有一定变化.

解法3：因为a+b+c+d=0 ①，①式两边求与a的数量积得②式：a2+a·b+c·a+d·a=0 ②，①式两边求与c的数量积③式：a·c+b·c+c·c+d·c=0 ③，②-③得：a2=c2，即a=c，同理可得b=d. 所以四边形ABCD是平行四边形（下同解法2）.

点评：解法3与例1-1解法5处理方法类似.

解法4：首先用解法3证明四边形ABCD是平行四边形. 又因为a·b=d·a，所以abcos（π-B）=da·cos（π-A），所以abcosB=da·cosA. 又四边形ABCD是平行四边形，所以A+B=180°，所以cosB=cos（180°-A）= -cosA，所以cosA=-cosA，即cosA=0. 所以在四边形ABCD中，A=，所以四边形ABCD是矩形.

解法5：（如图5）

图5

不妨作=c，则a-c=. 又因为a·b=b·c，所以（a-c）·b=0，所以⊥b ①. 又因为c·d=d·a，所以（c-a）·d=0，即（a-c）·d=0，所以⊥d ②. 由①②得b平行于d，同理可证：a平行于c，所以四边形ABCD是平行四边形，所以a，c共线. 又因为（a-c）⊥b，所以a⊥b（如图5），所以四边形ABCD是矩形.

一题多解的过程是直觉思维不断闪现的过程，在探求多种解题思路的过程中，同学们头脑中要常有一个挥之不去的想法：不这样做行不行呢？换成别的方法行不行呢？解某道题的方法对这道题有没有作用呢？这正是诱发直觉思维的最好的契机；一题多解的过程是思维不断发散的过程，从不同侧面、不同角度，尽可能多地尝试不同的解决方法正是一题多解产生的动力和魅力所在；同时一题多解的过程也是不断地感受、发现、创造数学美的过程，方法的多样性显示了数学美的奇异性，不同解法的相通性又显示了数学美的普遍性、和谐性. 一题多解的过程同时也是沟通、联系不同的数学知识、数学方法，使它们融会贯通的过程. 因此，我们认为一题多解是感悟解题、学习解题的方便之门.endprint

解法2：首先用解法1的方法证得四边形ABCD是平行四边形. 因为a·b=b·c，所以（a-c）·b=0. 又因为a-c≠0，b≠0，所以a-c⊥b. 又因为a，c共线，所以a⊥b，所以四边形ABCD是矩形.

点评：解法2受到例1-1解法6的启发，但根据解题需要，解题过程又有一定变化.

解法3：因为a+b+c+d=0 ①，①式两边求与a的数量积得②式：a2+a·b+c·a+d·a=0 ②，①式两边求与c的数量积③式：a·c+b·c+c·c+d·c=0 ③，②-③得：a2=c2，即a=c，同理可得b=d. 所以四边形ABCD是平行四边形（下同解法2）.

点评：解法3与例1-1解法5处理方法类似.

解法4：首先用解法3证明四边形ABCD是平行四边形. 又因为a·b=d·a，所以abcos（π-B）=da·cos（π-A），所以abcosB=da·cosA. 又四边形ABCD是平行四边形，所以A+B=180°，所以cosB=cos（180°-A）= -cosA，所以cosA=-cosA，即cosA=0. 所以在四边形ABCD中，A=，所以四边形ABCD是矩形.

解法5：（如图5）

图5

不妨作=c，则a-c=. 又因为a·b=b·c，所以（a-c）·b=0，所以⊥b ①. 又因为c·d=d·a，所以（c-a）·d=0，即（a-c）·d=0，所以⊥d ②. 由①②得b平行于d，同理可证：a平行于c，所以四边形ABCD是平行四边形，所以a，c共线. 又因为（a-c）⊥b，所以a⊥b（如图5），所以四边形ABCD是矩形.

一题多解的过程是直觉思维不断闪现的过程，在探求多种解题思路的过程中，同学们头脑中要常有一个挥之不去的想法：不这样做行不行呢？换成别的方法行不行呢？解某道题的方法对这道题有没有作用呢？这正是诱发直觉思维的最好的契机；一题多解的过程是思维不断发散的过程，从不同侧面、不同角度，尽可能多地尝试不同的解决方法正是一题多解产生的动力和魅力所在；同时一题多解的过程也是不断地感受、发现、创造数学美的过程，方法的多样性显示了数学美的奇异性，不同解法的相通性又显示了数学美的普遍性、和谐性. 一题多解的过程同时也是沟通、联系不同的数学知识、数学方法，使它们融会贯通的过程. 因此，我们认为一题多解是感悟解题、学习解题的方便之门.endprint

解法2：首先用解法1的方法证得四边形ABCD是平行四边形. 因为a·b=b·c，所以（a-c）·b=0. 又因为a-c≠0，b≠0，所以a-c⊥b. 又因为a，c共线，所以a⊥b，所以四边形ABCD是矩形.

点评：解法2受到例1-1解法6的启发，但根据解题需要，解题过程又有一定变化.

解法3：因为a+b+c+d=0 ①，①式两边求与a的数量积得②式：a2+a·b+c·a+d·a=0 ②，①式两边求与c的数量积③式：a·c+b·c+c·c+d·c=0 ③，②-③得：a2=c2，即a=c，同理可得b=d. 所以四边形ABCD是平行四边形（下同解法2）.

点评：解法3与例1-1解法5处理方法类似.

解法4：首先用解法3证明四边形ABCD是平行四边形. 又因为a·b=d·a，所以abcos（π-B）=da·cos（π-A），所以abcosB=da·cosA. 又四边形ABCD是平行四边形，所以A+B=180°，所以cosB=cos（180°-A）= -cosA，所以cosA=-cosA，即cosA=0. 所以在四边形ABCD中，A=，所以四边形ABCD是矩形.

解法5：（如图5）

图5

不妨作=c，则a-c=. 又因为a·b=b·c，所以（a-c）·b=0，所以⊥b ①. 又因为c·d=d·a，所以（c-a）·d=0，即（a-c）·d=0，所以⊥d ②. 由①②得b平行于d，同理可证：a平行于c，所以四边形ABCD是平行四边形，所以a，c共线. 又因为（a-c）⊥b，所以a⊥b（如图5），所以四边形ABCD是矩形.

一题多解的过程是直觉思维不断闪现的过程，在探求多种解题思路的过程中，同学们头脑中要常有一个挥之不去的想法：不这样做行不行呢？换成别的方法行不行呢？解某道题的方法对这道题有没有作用呢？这正是诱发直觉思维的最好的契机；一题多解的过程是思维不断发散的过程，从不同侧面、不同角度，尽可能多地尝试不同的解决方法正是一题多解产生的动力和魅力所在；同时一题多解的过程也是不断地感受、发现、创造数学美的过程，方法的多样性显示了数学美的奇异性，不同解法的相通性又显示了数学美的普遍性、和谐性. 一题多解的过程同时也是沟通、联系不同的数学知识、数学方法，使它们融会贯通的过程. 因此，我们认为一题多解是感悟解题、学习解题的方便之门.endprint