既定成本下再生水合作博弈定价模型

张宏伟，胥然然，张雪花，2

（1.天津工业大学管理学院，天津 300387；2.天津工业大学环境经济研究所，天津 300387；3.天津大学环境科学与工程学院，天津 300072）

联合国环境规划署2010年发布的《绿色用水法：为人类和环境管理淡水资源》指出：目前全球水资源保护面临的最大挑战就是如何在保持淡水生态系统及环境可持续发展的前提下，满足人类社会日渐增大的用水需求[1].非常规水的开发利用是迎接这一挑战有效的途径之一，非常规水源主要有雨水、再生水、海水等，其中再生水的处理技术最为成熟，成本也较低，故本文选择再生水作为研究对象.再生水被誉为城市的第二水源，可用于农田灌溉、工业冷却、市政绿化、道路喷洒、地下水回灌和补充地表水等，具有明显的经济效益、社会效益和环境效益.目前，在新加坡，再生水占日供水量的15%以上，而我国再生水利用率还不足10%，这与我国2/3城市严重水资源短缺、人均水资源占有率仅为全球水平1/4的形势很不相称[2-3].我国再生水利用率低的一个最主要的原因就是再生水定价的不合理.再生水定价过低，不能使再生水生产厂家获得应有的利润，影响再生水处理厂投资和再生水生产的积极性.再生水定价过高，用户不能通过使用再生水而获得所期望的消费者剩余，对再生水利用起不到很好的激励作用，会导致再生水销售阻滞，影响再生水的推广应用.因此，再生水的合理定价问题已成为学界研究的热点.吴艳等[4]在Hotelling线性城市模型中引入质量差异，建立了自来水和再生水的纵向差异化双寡头垄断市场的价格竞争模型，分析了再生水需求和竞争均衡价格的影响因素.孙凌帆等[5]研究了再生水资源成本价格模型的建立过程及其计算方法，给出了再生水的定价区间即下限应不低于供水的运行成本，上限应为自来水价格.吕荣胜等[6]对再生水制水成本进行分析和计算，采用加成法得出再生水成本价格模型.黄延林等[7]构建了影子价格模型、边际机会成本模型及市场价格模型，对再生水资源价值进行量化分析.段涛等[8]设计了一种具有可分性的再生水特许经营权拍卖机制，并研究了在这种拍卖机制下项目公司向政府指定机构售水的价格影响因素以及政府指定机构向用户售水的价格确定方法.以上多是从生产方视角分析再生水定价，这种定价模式有可能导致用户对使用再生水缺乏动力，使得再生水由于缺乏市场而无法得到大规模推广.本文以合作博弈的新视角，从供需双方利益分配角度对再生水定价开展研究.

1 供需关系分析及利益模型构建

1.1 供水方与用户关系分析

再生水提供方（简称供水方）与再生水使用方（简称用户）本质上是供需关系.供水方通过向用户提供再生水获得利益，用户使用再生水会节省水费，可见再生水的推广对供需双方都有利.虽然再生水的使用会带来巨大的利益，但利益如何分配是关系再生水行业发展的关键问题，而利益分配主要体现于再生水的定价方面.本文从再生水与用户利益分配入手，分析再生水定价问题.再生水供水方与用户是合作关系，没有供就不会有用，也就不会形成再生水市场.因此可以从合作博弈视角，分析供水方和用户的利益分配，进而由利益分配得出再生水定价.

1.2 供水方与用户利益模型构建

假定用（M，1，2，3，…，n）表示供水方与用户的联盟，其中M代表供水方，1，2，3，…，n代表参与合作的用户，M所获得利益可以用公式（1）表示：

式中：lM为M所获得利益（元）；d为再生水定价（元/ t）；c为再生水成本（元/t）；xi为成员的日用水量（t）.

成员i所获得的利益可以用公式（2）表示：

式中：li为成员i所获得的利益（元）；p为成员i以前所用水的水费，即为自来水水费（元/t）.

由此可以看出，在一般情况下，无论是对于供水方还是用户而言，只有进行合作，才能使得双方都获益.因此，对于供水方和用户，进行合作是明智的选择.可见，再生水的供与需是一对多的合作博弈问题.

2 一对多合作博弈模型构建

在一个合作博弈中，通常将大联盟记为N={1，2，3，…，n}表示局中人集合，其中1，2，3，…，n代表参与合作的成员；所有局中人的任意一个子集称为子联盟，记为S=（1，2，3，…，s），即有S⊆N.除了强制性合作博弈，一般合作博弈应追求总收益的最大化，或总成本的最小化.对于联盟N={1，2，3，…，n}的利益分配问题也必须满足下面两个公式：

式中：xi为成员i所分得的利益，i=1，2，3，…，n；v（N）为联盟的总利益.即要求联盟成员所得利益总和等于联盟总利益.

即要求联盟成员所得利益不小于自己单独行动所获利益.

具体到本问题，供水方与用户大联盟N=（M，1，2，3，…，n），则有：

对于子联盟S=（M，1，2，3，…，s），则有：

3 合理定价求取

3.1 沙普利值定义

合作博弈的分配有很多概念，Lloyd Shapley提出了沙普利值.沙普利值是合作博弈中最具典型的一种分派方式解，它以局中人在合作博弈中的边际效益的平均值作为分配依据.这种分配方式能够实现帕累托最优、对称性和可加性.因此本文采用沙普利值进行利益分配，其具体表述如下：

式中：φi（v）为联盟某成员i所应分得的利益；v（S）为联盟S的总收益；|S|为联盟S中的成员数；[v（S）-v（S-{i}）]为联盟S中的某个成员i对联盟的贡献利益.

3.2 沙普利值求解即利益均衡分配

3.2.1 用户沙普利值

观察公式（7）可以看出，要想求得用户i的沙普利值，应首先考虑所有成员中包含i的联盟.若联盟的形式为S=（1，2，3，…，s）即只由用户组成的联盟，则V（S）=0，没有讨论意义，可称为无效联盟.故子联盟形式应该为S=（M，1，2，3，…，s），其中s=1，2，…，n.

（1）当联盟人数|S|=2时，即S={M，i}，易得

[v（S）-v（S-{i}）]=（p-c）xi.

（2）当联盟人数|S|=3时，即S={M，i，t1}，其中t1代表任意一个其他成员，即与i不同的用户.t1的选择有=（n-1）种，即这样的3人联盟S={M，i，t1}有种，并且此类联盟收益等情况均相同，可以看成一类来处理.易得

[v（S）-v（S-{i}）]=（p-c）xi.

（3）当联盟人数|S|=4时，即S={M，i，t1，t2}，其中t1，t2代表任意两个其他成员，即与i不同的两个用户. t1，t2的选择有种，即这样联盟有种.易得

[v（S）-v（S-{i}）]=（p-c）xi.

（4）依次类推，当联盟人数|S|=n+1时，即S= {M，i，t1，t2，…，tn-1}，这样的联盟S有种.易得

[v（S）-v（S-{i}）]=（p-c）xi.

综上所述，用户i的沙普利值计算如下：

3.2.2 供水方沙普利值

3.3 合理定价确定

根据上述分析，再生水的合理定价应该使再生水供水方M所获得的利益lM与供水方的沙普利值φM相等、再生水用户i所获得的利益li与用户的沙普利值φi相等.

4 应用研究实例

以天津市为例，再生水供水方设为M，市绿化用水量为x1，补给用水量为x2，道路用水量为x3，洗车行业用水量为x4，市政用水量为x5，工业用水量为x6，农业用水量为x7.

经过分析可得：

根据再生水平均制水成本1.5～3.5元/t，可以计算出再生水的合理定价，与当前天津市再生水价格进行对比，结果如表1所示.

表1 再生水合理定价Tab.1 Reasonable pricing of reclaimed water元/t

由表1可以看出，天津市再生水定价较低，再生水水厂的盈利能力较低，需要财政补贴.而财政补贴一旦出现不足，直接影响再生水企业的生产积极性，不利于再生水的推广.

5 结论

（1）再生水定价与自来水价格相关.当再生水成本不变的情况下，自来水价格越高，再生水与自来水价格差越大，用户使用再生水的意愿就越强烈.在自来水价格不变的情况下，再生水的定价与再生水的成本直接相关，而再生水的产量对再生水的成本有很大影响，当产量过低时会使再生水成本较高，势必导致再生水的定价较高，影响用户使用再生水的积极性.

（2）再生水合理定价能够使得供水方与用户由利用再生水获得的收益相等，有利于维护再生水市场稳定，从而促进再生水市场推广.

（3）再生水一对多合作博弈分析表明，合作博弈分析方法可以有效地解决准公共物品供需之间利益均衡分配的难题，为准公共物品的合理定价提供一种新思路.

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